【期末常考压轴题】苏科版八年级数学下册-专题18 二次根式的定义、二次根式的乘除法运算压轴题九种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20876" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20876 \h 1
\l "_Tc20306" 【考点一 二次根式的判断】 PAGEREF _Tc20306 \h 1
\l "_Tc4166" 【考点二 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc4166 \h 2
\l "_Tc7300" 【考点三 求二次根式的值】 PAGEREF _Tc7300 \h 3
\l "_Tc20647" 【考点四 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc20647 \h 4
\l "_Tc5913" 【考点五 复合二次根式的化简】 PAGEREF _Tc5913 \h 6
\l "_Tc4836" 【考点六 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc4836 \h 8
\l "_Tc2829" 【考点七 最简二次根式的判断】 PAGEREF _Tc2829 \h 10
\l "_Tc5407" 【考点八 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc5407 \h 11
\l "_Tc16306" 【考点九 已知最简二次根式求参数】 PAGEREF _Tc16306 \h 12
\l "_Tc17491" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17491 \h 14
【典型例题】
【考点一 二次根式的判断】
例题：（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．
【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意；
C．无意义，故此选项不合题意；
D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】略
2．（2023春·全国·八年级专题练习）在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，
二次根式有：（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【考点二 二次根式有意义的条件】
例题：（2023春·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）式子有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
2．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）在函数中，自变量x的取值 范围是________．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值 范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
【考点三 求二次根式的值】
例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，二次根式的值是（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A
【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）当时，二次根式的值等于（ ）
A．4B．2C．D．0
【答案】B
【分析】把代入解题即可
【详解】解：把代入得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）当x＝1时，二次根式的值等于（ ）
A．4B．0C．D．2
【答案】C
【分析】把代入解题即可
【详解】解：把代入得，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．
【考点四 利用二次根式的性质化简】
例题：（2023春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据数轴得到，，再根据二次根式的性质以及立方根的性质化简，再合并即可．
【详解】解：由图可知，，．
∴，
∴
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的性质、实数与数轴上点的对应关系，正确根据去绝对值方法和二次根式的性质进行分析是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期中）下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，，由此即可求解．
【详解】解：、，故正确，符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
、，故错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数是非负数，二次根式的结果是非负数是解题的关键．
2．（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】解：由数轴可知：，，，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
【考点五 复合二次根式的化简】
例题：（2023春·全国·八年级专题练习）问题探究：因为，所以
因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可;
（2）因为，且，由此把原式中被开方式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．
【详解】（1）解：
＝
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝
＝
=．
【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用二次根式的性质化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且，，为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)14或46．
【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：
（3）解：，
且，
且，
，，为正整数，
当，时；
当，时，．
所以的值为：14或46．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解．
【考点六 二次根式的乘除混合运算】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）计算
【答案】1
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：==1
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，熟练运用运算法则是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】由二次根式的乘除法知：，，可得答案．
【详解】解：原式=(−43÷2×13)18÷8×54．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘除计算法则和化简法则求解即可．
【详解】解：当，时，
原式
；
当，时，
原式
，
∴原式
【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的乘除计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2023春·八年级课时练习）计算：（1）4÷（﹣）×．
（2）÷×．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可；
（2）根据二次根式乘除混合运算法则解答即可．
【详解】解：（1）原式=﹣2÷×=﹣×=．
（2）÷×==．
【点睛】本题主要考查了分式的乘除运算法则，灵活运用分式乘除运算的法则成为解答本题的关键．
【考点七 最简二次根式的判断】
例题：（2023春·河南新乡·八年级校考期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可得．
【详解】解：A、是最简二次根式，此项符合题意
B、，则不是最简二次根式，此项不符题意
C、当时，不是二次根式，此项不符题意
D、，则不是最简二次根式，此项不符题意
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式定义逐个判断即可得到答案；
【详解】解：A、原式，故A不符合题意，
B、是最简二次根式，故B符合题意，
C、原式，故C不符合题意，
D、原式，故D 不符合题意，
故选：B；
【点睛】本题考查最简二次根式的定义：不含开得尽方的数，分母不含根号的根式叫最简二次根式．
2．（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．
【考点八 化为最简二次根式】
例题：（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）化为最简二次根式是___________
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，和化简方法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，化简方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）将化为最简二次根式的结果是__________．
【答案】
【分析】将分母有理化后进行化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）将（，）化为最简二次根式：_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．
【考点九 已知最简二次根式求参数】
例题：（2023春·八年级单元测试）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
故选B．
【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
【答案】D
【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
2．（2023春·八年级课时练习）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．
【答案】2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：
∴
∵最简二次根式与是同类最简二次根式
∴
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二次根式的定义进行筛选即可．
【详解】选项A中，是6的算数平方根，，所以是二次根式，选项A正确，符合题意；
选项B中，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误，不符合题意；
选项C中，不是二次根式，；选项C错误，不符合题意；
选项D中，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式的定义，当时，为二次根式，且，正确的理解二次根式的定义是解题的关键．
2．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，
必须，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0．
3．（2023春·广西百色·八年级校联考期中）下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法和化简二次根式，正确计算是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级期中）下列根式中，最简二次根式有（ ）个．
，，，，，，
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此解答即可．
【详解】解：，，，
故，，，是最简二次根式，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
5．（2023春·八年级课时练习）下列各式正确的是 ( )
A． ×＝9B．(4)2＝8C．÷D．＝7－4
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则分别对各项进行计算然后判断即可．
【详解】A．×＝3，故该选项错误；
B．(4)2＝32，故该选项错误；
C．÷＝=3，故该选项错误；
D．∵4＝，7＝， <，即4<7，
∴＝7－4，
故选：D
【点睛】本题考查了二次根式的运算和求算数平方根，熟悉相关性质是解题的关键
二、填空题
6．（2023春·甘肃平凉·八年级校考期中）将化为最简根式是 _____．
【答案】3
【分析】将18拆成，再开方即可．
【详解】解：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，将被开方数化成完全平方数与某数乘积的形式是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）计算： __．
【答案】12
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则即可求解．
【详解】解：原式 ．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（2023春·浙江温州·八年级校考期中）当时，二次根式的值是______ ．
【答案】
【分析】将代入原式即可求出答案．
【详解】解：当时，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质．解题的关键是掌握二次根式的性质．
9．（2023春·八年级课时练习）若与最简二次根式能合并成一项，则________．
【答案】-2
【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值．
【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项，
∴1-a=3，
∴a=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）代数式有意义时，应满足的条件为______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解：由题意得，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）要使下列式子有意义，字母x的取值必须满足什么条件？
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)x为任意实数；
(2)；
(3)且．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；
（2）根据二次根式以及分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：x为任意实数；
（2）解：根据题意得：，
解得：；
（3）解：根据题意得：，
解得：且．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．也考查了分式有意义的条件．
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：．
【答案】10
【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝＝5×2＝10．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确的计算是解题的关键．
13．（2023春·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)24y2
【分析】（1）根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
（2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算．
【详解】（1）解：
（2）＝3×8＝＝＝＝
【点睛】本题主要考查了根式的混合运算，熟练掌握二次根式乘除法运算法则，是解题的关键．
14．（2023春·八年级课时练习）计算
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可；
（2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可；
【详解】（1）解：原式===
（2）解：原式===
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则．
15．（2023春·贵州遵义·八年级校联考阶段练习）（1）填空： ______ ， ______ ；
（2）已知，化简：．
【答案】（1）3；5；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质求解即可；
（2）根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：（1），，
故答案为：；；
（2）．
，，




．
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
16．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）观察下列各式：
(1)请你猜想
___________，___________．
(2)请你将猜想到的规律用含有自然数的代数式表达出来，并证明其正确性．
【答案】(1)，
(2)，其中自然数，证明见解析
【分析】（1）根据题中所给等式，得到规律即可得到答案；
（2）根据题中所给等式，得到规律，利用分式运算及二次根式性质化简即可证明等式成立．
【详解】（1）解：由得到规律为，
，，
故答案为：，；
（2）解：由得到规律为，其中自然数．
证明如下：
自然数，
，即，其中自然数．
【点睛】本题考查代数式规律问题，涉及二次根式性质，准确根据等式找到规律是解决问题的关键．