【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题07 直角三角形中的锐角平分线模型（原卷版+解析版）

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专题07 直角三角形中的锐角平分线模型  【模型】如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知AC=6，BC=8，AD是△ABC的角平分线，求DC的长.【解析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则△ACD≌△AED(AAS)，∴AE=AC=6.在Rt△ABC中，由勾股定理得=10易知EB=设DC=x，则DE=x，DB=8 - x，在Rt△DEB中，由勾股定理解得x=3，∴DC=3. 【典例分析】【典例1】如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD的长吗？请写出求解过程．【解答】解：能∵BC2+AC2＝225，AB2＝225∴AB2＝BC2+AC2．∴∠C＝90°∵折叠∴CD＝DE，AC＝AE＝9cm，∠AED＝∠C＝90°∴BE＝AB﹣AE＝6cm在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2．∴BD2＝（12﹣BD）2+36∴BD＝【变式1-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则AB的长度为　  　cm．【答案】4【解答】解：∵∠C＝90°，DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴CD＝DE．又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC．又∵AC＝BC，∴AE＝BC，∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AE+BE＝4cm，∴AB＝4cm．故填4【变式1-2】如图，直角三角形纸片的两直角边AC＝6cm，BC＝8cm．现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合．求CD的长．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵△AED是△ACD翻折而成，∴AE＝AC＝6cm，设DE＝CD＝xcm，∠AED＝90°，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4cm，在Rt△BDE中，BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3．故CD的长为3cm．【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 　　．【答案】cm【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2，即CE的长为2，设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE，在Rt△CDE中，根据勾股定理得CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2，解得x＝，即CD长为cm．故答案为：cm．【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm．点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当t＝2时，求P，Q两点之间的距离；（3）当AP＝CQ时，求t的值？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm，∴BC＝＝24cm．（2）如图，连接PQ，BP＝7﹣2＝5，BQ＝6×2＝12，在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ＝＝13（cm）；（3）设t秒后，AP＝CQ．则t＝24﹣6t，解得 t＝．答：P、Q两点运动秒，AP＝CQ．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，综上所述，t＝8或；（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．  【夯实基础】1．（2022•雁塔区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（　　）A．7 B．8 C．4 D．4【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CE＝3，CD＝4，由勾股定理得：DE＝＝＝5，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ADE，∴AE＝DE＝5，∴AC＝AE+EC＝8，∴AD＝＝＝4，故选：D．2．（2021秋•定州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边的距离为（　　）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解答】解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，故选：D．3．（2022秋•海曙区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，AB＝15，则CE的长为（　　）A．4 B． C． D．5【答案】B【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，∴BC＝，在Rt△ACF和Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴AC＝AG＝9，设CE＝x，则FC＝FG＝x，BF＝12﹣x，BG＝15﹣9＝6，∵FG2+BG2＝BF2，即x2+62＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝，故选：B．4．（2021秋•鹿城区校级期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，BD为AC边的高线，则BD的长为 　　．【答案】【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BE＝EC＝4，∴AE＝，∵，∴，∴BD＝，故答案为：．5．（2021秋•陵城区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是　  　．【答案】8cm【解答】解：连接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，∴∠C＝∠BDE＝90°，在Rt△BCE与Rt△BDE中，，∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝CE+AE+AB﹣BD＝AC+AB﹣BC＝6+10﹣8＝8（cm），故答案为：8cm．6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，交AC于点E．若BC＝BD，AC＝4cm，BC＝3cm，AB＝5cm，则△ADE的周长是　 　．【答案】6cm【解答】解：如图，连接BE．∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠C＝90°．在Rt△BDE与Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴CE＝DE，∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AD+AC＝AB﹣BC+AC＝5﹣3+4＝6（cm）．故答案是：6cm．7．（2021秋•连云港期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　  　．【答案】【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴AE是CD的垂直平分线．∴CE＝DE．∴∠ADE＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝15．∴BD＝AB﹣AD＝6．∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE，∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE，∴9×12＝9CE+15DE，∴DE＝，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，故答案为：．8．（2021秋•东海县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）当△ABP为直角三角时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【解答】解：（1）当△ABC为直角三角时，（cm），①当∠APB＝90°时，点P与点C重合，BP＝BC＝8，∴t＝8，②当∠BAP＝90°，BP＝t，CP＝t﹣8，AC＝6，在Rt△ACP中，AP2＝62+（t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴102+[62+（t﹣8）2]＝t2，解得：t＝，综上所述，t＝8或；（2）在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．9．（2021秋•揭东区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AC的长．【解答】证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC为直角三角形；（2）设AB＝x，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x，∵AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣5）2+122，解得：x＝16.9，∴AC＝16.9．【能力提升】10．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．11．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝13，F是BC中点，∴AF⊥BC，BF＝CF，∵AF＝12，∴CF＝，∴BF＝5；（2）连接CD，∵BF＝CF＝5，∴BC＝10，∴S△ABC＝BC•AF＝60；∵AD＝BD，∴S△ADC＝S△BCD＝S△ABC＝30，即AC•DE＝30，∴DE＝．