【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题08 勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型）（原卷版+解析版）

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专题08 勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型）
解题思路


（1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等.
（2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.
【典例分析】
【类型一：折叠构造直角三角形】
【典例1】（保定二模）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．5
【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x
∵D是BC的中点，∴BD＝3
在Rt△NBD中，x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4．即BN＝4，选A
【变式1-1】如图所示的三角形纸片中∠B＝90°，AC＝13，BC＝5．现将纸片进行折叠，使得顶点D落在AC边上，折痕为AE．则BE的长为（　　）

A．2.4 B．2.5 C．2.8 D．3
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝＝12，
设BE＝x，
由折叠的性质可得：CD＝AC﹣AD＝13﹣12＝1，DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣x，
在Rt△DEC中，EC2＝CD2+DE2，
∴（5﹣x）2＝1+x2，
解得：x＝2.4，
∴BE＝2.4．
故选：A．
【类型二：折叠构造三垂直图形】
【典例2】（2020春•西城区校级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处
（1）求CE的长；
（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

【解答】（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10
∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10
由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=AF2−AB2=6
∴CF＝BC﹣BF＝4
设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2
∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3
（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P
此时，PA+PE最小，最小值为AE'
∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11
在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'=AD2+DE'2=221
【变式2】如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．
（1）求BF与FC的长．
（2）求EC的长．

【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，
∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．
∵AD＝BC＝10cm，
∴AF＝AD＝10cm．
又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2
∴82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．
在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
即16+x2＝64﹣16x+x2，
化简，得16x＝48，
∴x＝3，
故EC的长为3cm．
【类型三 ：折叠构造全等三角形】
【典例3】（思明区校级期中）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为（　　）

A．﹣2 B．﹣2.4 C．−22 D．−23
【解答】∵点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），∴OA＝8，OC＝4
由折叠得：∠CBO＝∠DBO，OD＝OC＝4，BD＝BC，∠ODB＝∠OCB
∵四边形ABCO是矩形
∴BC∥OA，OC＝AB＝4，∠OCB＝∠BAO＝90°，BC＝OA＝8
∴∠CBO＝∠BOA，∠ODE＝90°，BD＝OA，∴∠DBO＝∠BOA
∴BE＝OE，∴DE＝AE
设AE＝x，则BE＝OE＝8﹣x
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3
即OE＝5，DE＝AE＝3
过D作DF⊥OA于F
∵S△OED=12OD•DE=12OE•DF，∴DF=3×45=125=2.4
∴点D的纵坐标为﹣2.4，选B
【变式3-1】（红河州期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为　 　．

【解答】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10
根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10，DE＝BD
∵AC＝8，∴CE＝AE﹣AC＝2
在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2，∴BD2＝（BC﹣BD）2+CE2，∴BD2＝（6﹣BD）2+4
∴BD=103
【变式3-2】（成华区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，使点B落在矩形内点B′处，连接CB′，则CB′的长为　 　．

【解答】连接BB′交AE于H
∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3
又∵AB＝4，∴AE=AB2+BE2=42+32=5，∴BH=125，则BB′＝2BH=245
∵B′E＝BE＝EC
∴∠BB′C＝90°，根据勾股定理得，CB′=BC2−BB'2=62+(245)2=185
【变式3-3】（2020•张家港市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG
（1）求证：△ABG≌△AFG
（2）求∠EAG的度数
（3）求BG的长


【解答】（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°
∵将△ADE沿AE对折至△AFE
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°
又∵AG＝AG
在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG=AGAB=AF，∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG=12∠BAF
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠∠DAE，∴∠EAF=12∠DAF
∴∠EAG＝∠EAF+∠FAG=12（∠DAF+∠BAF）=12∠DAB=12×90°＝45°
（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE=12CD=12×6
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF+FG＝x+3
∵GE2＝CG2+CE2，∴（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得 x＝2
∴BG＝2
【类型三：折叠构造等腰三角】
【典例4】（2020•碑林区校级月考）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处
（1）试说明：B′E＝BF
（2）若AE＝3，AB＝4，求BF的长

【解答】（1）∵折叠，∴∠B'FE＝∠EFB，BF＝B'F
∵AD∥BC
∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'EF＝∠B'FE
∴B'E＝B'F，∴BF＝B'E
（2）∵折叠，∴AE＝A'E＝3，AB＝A'B'＝4，∠A＝∠A'＝90°
∴根据勾股定理可得B'E＝5
∵B'E＝BF，∴BF＝5
【变式4-1】（2019•潮南区一模）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D落在点H的位置上，点C恰好落在边AD上的点G处，连接EG．
（1）△GEF是等腰三角形吗？请说明理由；
（2）若CD＝4，GD＝8，求HF的长度．
【解答】
（1）∵长方形纸片ABCD
∴AD∥BC
∴∠GFE＝∠FEC
∵∠FEC＝∠GEF
∴∠GFE＝∠GEF
∴△GEF是等腰三角形
（2）∵∠C＝∠H＝90°，HF＝DF，GD＝8
设HF长为x，则GF长为（8﹣x）
在Rt△FGH中，x2+42＝（8﹣x）2
解得x＝3
∴HF的长为3
【夯实基础】
1．（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
2．（2022秋•槐荫区校级期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
【答案】C
【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．
3．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 　 　cm2．

【答案】15
【解答】解：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
∵将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，
∴EC＝DE，AC＝AD＝6cm，∠ADE＝∠C＝∠BDE＝90°，
∴DB＝4cm，
设EC＝DE＝xcm，
在Rt△BDE中，DE2+BD2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
∴BE＝BC﹣EC＝8﹣3＝5cm，
∴S△ABE＝×BE×AC＝×5×6＝15（cm2）．
故答案为：15．
4．（2021秋•兴文县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　 　．

【答案】10
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•BC＝10．
故答案为：10．
5．（2021秋•峨边县期末）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

【解答】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC＝AE＝6cm，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝62+82 ＝102，
∴AB＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝xcm，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，即CD＝3cm．
6．（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？

【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．
由折叠的性质可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．
∴BE＝4，∠DEB＝90°．
设DC＝x，则BD＝8﹣x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．
解得：x＝3．
∴CD＝3．
7．（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求折痕AD的长．

【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；（1分）
∵AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，（2分）
∴∠C＝90°；
∴△ABC是直角三角形．（1分）

（2）设折叠后点C与AB上的点E重合．
设CD＝x，则DE＝x，AE＝5，BE＝8，BD＝12﹣x；
∵∠AED＝∠C＝90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82＝（12﹣x）2，
解得：x＝，（3分）
∴AD＝＝．（3分）

【能力提升】
8.已知矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，分别以所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直线l经过C、E两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）如图，将矩形OABC中，将△COE沿直线l折叠后得到△CFE，点F在矩形OABC内部，延长CF交AB于G点．证明：GF＝GA；
（3）由上面的条件，求四边形AGFE的面积？

【解答】（1）解：设直线l的解析式y＝kx+b（k≠0）．
∵矩形OABC的边长OA＝4，AB＝3，E是OA的中点，
∴OC＝AB＝3，OE＝2，
∴E（2，0），C（0，3）．
∴，
解得，，
∴直线l的解析式y＝﹣x+3
（2）证明：如图2，连接EG．
∵四边形OABC是矩形，
∴∠COA＝∠OAB＝90°．
又根据折叠是性质得到∠COE＝∠CFE＝90°，OE＝EF，
∴∠EFG＝∠EAG＝90°．
又∵E是OA的中点，
∴OE＝EF，
∴EF＝EA，
∴在Rt△EFG和Rt△EAG中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EAG（HL），
∴GF＝GA；
（3）解：由（2）知，GF＝GA，根据折叠的性质知OC＝CF＝3．
∵BG＝AB﹣AG＝3﹣AG，CG＝CF+GF＝3+GA，AE＝2，
∴在直角△CBG中，由勾股定理得：CG2＝BC2+BG2，即（3+AG）2＝（3﹣AG）2+42，
解得，AG＝．
∵由（1）知，Rt△EFG≌Rt△EAG，
∴SRt△EFG＝SRt△EAG，
∴S四边形AGFE＝2SRt△EAG＝2×AE•AG＝2××2×＝，即四边形AGFE的面积是．