【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题12 等边三角形中的378和578模型（3大类型）（原卷版+解析版）

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专题12  等边三角形中的378和578模型（3大类型）【典例分析】【典例1】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（　　）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，∴设BD＝x，则AD＝16﹣x，在△DBC与△ADC中，∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2，解得：x＝3，∴CD＝3，∴＝24．故选：A【变式1】已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（　　）A． B．10 C．5 D．【答案】D【解答】解：∵直角三角形的两直角边为6和8，∴斜边长为：＝10，设直角三角形斜边上的高是h，∴×6×8＝×10×h，解得：h＝．故选：D【典例2】已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（　　）A．30° B．45° C．60° D．70°【答案】C【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝5，AC＝7，∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，解得：x＝，∴BD＝2.5，∵AB＝5，∴AB＝2BD，∴∠BAD＝30°∴∠B的度数是60°．故选：C．【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（　　）A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，故选：C．【变式2-2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（　　）A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故选：D．【典例3】在△ABC中，AB＝24，AC＝21，BC＝15，则△ABC的面积是 　   　．【答案】【解答】解：∵AB＝24，AC＝21，BC＝15，∴P＝，∴S△ABC＝＝＝．故答案为：．【变式3】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　    ．【答案】16　【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝，∴S＝＝＝；当三角形的边长为：5，7，8时，P＝，∴S＝＝＝，则两个三角形的面积之和为：．故答案为：．【夯实基础】1．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 　　       cm2．【答案】8或12【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm，∴等腰三角形的底边上的高为（cm），∴该等腰三角形的面积为（cm2）；当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm，∴等腰三角形的底边上的高为（cm），∴该等腰三角形的面积为（cm2）；故答案为：8或12．2．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　  　．【答案】3或5【解答】解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．∵sinB＝，AC＝7，∴AD＝．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF．【解答】（1）解：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD⊥AC，BD平分AC，∵AB＝6，∴AD＝3，∴由勾股定理得，BD＝＝3．（2）证明：∵BD是等边△ABC的中线，∴BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝30°，又∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．∴∠DBE＝∠E，∴DB＝DE．∵DF⊥BE，∴DF为底边上的中线．∴BF＝EF．4．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．【解答】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，则BC边上的高AD＝＝4．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝25，∵CD⊥AB，∴S，∴CD＝＝12；（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD＝＝＝9，AD＝25﹣9＝16．6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离．【解答】解：（1）AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝；（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；（3）点C到AB边的距离为h，则×AB×h＝，即××h＝，解得，h＝．7．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，AD＝，BD＝4，点E是AB边上的动点，连接DE．（1）求AB的长；（2）当△BDE是直角三角形时，求AE的长．【解答】解：（1）在△ACD中，∵AC2＝25，CD2＝1，AD2＝26，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°，∵BD＝4，∴BC＝4+1＝5，∴在Rt△ACB中，AB＝＝5，∴AB＝5；（2）∵AC＝BC＝5，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∴△BDE是直角三角形需分两种情况分析：①当∠BDE＝90°时，BD＝DE＝4，∴在Rt△BDE中，BE＝＝4，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝，②当∠BED＝90°时，S△ABD＝AB•DE＝BD•AC，即5DE＝4×5，解得：DE＝2，∴BE＝DE＝2，∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3；综上所述，AE的长为或3．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．【解答】解：∵AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，在Rt△ACD中，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝6，在Rt△ABD中，AB＝．故AB的长度为：．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD的面积．【解答】解：∵∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，∴BC＝，∴AB＝＝＝，又∵DA＝1，CD＝3，AC＝2，∴DA2+AC2＝12+（2）2＝1+8＝9＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝AD•AC+AB•BC＝×1×2+××＝+．