【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题15 平行四边形中“平行线＋角平分线”基本图形的运用（原卷版+解析版）

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专题15 平行四边形中“平行线＋角平分线”基本图形的运用
解题思路


通过角平分线+平行线就能得到等腰三角形，有了等腰三角形，就能得到相等的线段。
典例分析


【典例1】（2022•邵阳县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝110°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是　　 ．

【答案】145°
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠D＝∠B＝110°，
∴∠DCE＝∠BEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴∠BEC＝×（180°﹣∠B）＝×（180°﹣110°）＝35°，
∴∠AEC＝180°﹣∠BEC＝145°，
故答案为145°．
【变式1-1】（2022秋•龙口市期末）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1.5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，
∴∠E＝∠ECD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝5，
∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
【变式1-2】（2022春•建邺区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2ED＝3，则▱ABCD的周长是（　　）

A．7.5 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∵BC＝AD＝AE+DE＝3+1.5＝4.5，
∴▱ABCD的周长是2×（3+4.5）＝15，
故选：C．
【变式1-3】（2022春•抚顺期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．
（1）求∠C、∠B的度数；
（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．

【答案】（1）∠C＝50°，∠B＝130° （2）3
【解答】解：（1）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DEA＝25°，
∴∠DAB＝∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
（2）∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD，
∵在▱ABCD中，BC＝5，AB＝8，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝8，
∴EC＝CD﹣DE＝8﹣5＝3，
∴CE的长是3。
【典例2】（2022秋•福田区期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（　　）

A．4 B．5 C．7 D．6
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝4，
∵AF＝1，
∴AD＝4+1＝5，
∴BC＝5．
故选：B．
【变式2-1】（贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
同理可证：AE＝AB＝3，
∴AF＝DE
∵AD＝4，
∴AF＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
故选：B．
【变式2-2】（春•罗湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.5
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，
∴∠BEC＝×180°＝90°，
∵BE＝4，CE＝3，
∴BC＝＝5，
∵∠ABE＝∠EBC，∠AEB＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，∠DEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，
∴AB＝AE，DE＝DC，即AE＝ED＝AD＝BC＝2.5，
由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝AE＝2.5．
故选：D．
【典例3】（2021•陕西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　）

A．12 B．20 C．24 D．30
【答案】B
【解答】解：延长DM交AC于E，

∵AM平分∠CAD，AM⊥DM，
∠DAM＝∠EAM，∠AMD＝∠AME＝90°，
在△ADM和△AEM中，
，
∴△ADM≌△AEM（ASA），
∴DM＝EM，AE＝AD＝12，
∴M点是DE的中点，
∵N是CD的中点，
∴MN是△CDE的中位线，
∵MN＝2，
∴CE＝2MN＝4，
∴AC＝AE+CE＝12+4＝16，
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，AC⊥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∴AB＝CD＝，
故选：B．
【变式3-1】（2022春•平邑县期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴GF＝FC，AG＝AC＝6，
∴GB＝AB﹣AG＝2，
∵GF＝FC，BE＝EC，
∴EF＝GB＝1，
故选：A．
【变式3-2】（2021•碑林区校级模拟）如图，AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，F为BC中点，连接EF，若∠BAC＝80°，∠EBD＝20°，则∠EFD＝（　　）

A．26° B．28° C．30° D．32°
【答案】C
【解答】解：延长BE交AC于G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
∴∠BAE＝∠GAE＝∠BAC＝40°，
∵BE⊥AD，
∴∠BEA＝∠GEA＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BE＝GE，
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF∥GC，
∴∠EFD＝∠C，
∵∠BEA＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD＝50°+20°＝70°，
∴∠EFD＝∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：C．
【典例4】（2022春•罗湖区期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】（1） 略 （2）12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC．
又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CDE．
又∵∠CDE＝∠AED，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∵DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DG＝6×2＝12．
【变式4-1】（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 　　．

【答案】50
【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，


∵∠EBC＝30°，BE＝10，
∴EF＝BE＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50，
故答案为：50
【变式4-2】（2022秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：连接EC，

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAE，
∵∠FAC＝∠B+∠ACB，
∴∠FAE＝∠B，
∴AE∥BC，故②正确；
∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴∠DAE＝90°，故④正确；
∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，
∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；
即正确的个数是3个，
故选：C．

【典例5】（2021•娄星区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．

【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．



【变式5-1】（2021春•海淀区校级期中）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【答案】略
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【变式5-2】（2021•永嘉县校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE⊥DF．

【答案】略
【解答】证明：∵E是BC边的中点，
∴BE＝EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
在△BEF和△CED中，
∴△CDE≌△BFE（AAS）；
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∵△CDE≌△BFE，
∴EF＝ED，
∴AE⊥DF．
【变式5-3】（2020•石阡县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE•BF＝×2×＝．
夯实基础


1．（2022秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．
故选：A．

2．（2022秋•石景山区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：连接BE，
∵点D是AB的中点，△ADE的面积为1，
∴△BDE的面积为1，
∴△ABE的面积为2，
∵点E是AC的中点，
∴△BCE的面积为2，
∴四边形DBCE的面积为3，
故选：B．

3．（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴EF∥AB，DF∥AC，
∴∠B＝∠CFE＝55°，
∵DF∥AC，
∴∠ADE＝∠B＝55°，
故选：C．
4．（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　）

A．1.5 B．1 C．0.5 D．2
【答案】A
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6，
∴DE＝BC＝3，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝90°，
∵E为AC的中点，AC＝3，
∴FE＝AC＝1.5，
∴DF＝DE﹣FE＝1.5，
故选：A．
5．（2022春•盐城月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．0.5 B．1 C．3.5 D．7
【答案】A
【解答】解：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AG＝AC＝3，CF＝FG，
∴BG＝AB﹣AG＝1，
∵CF＝FG，CE＝EB，
∴EF＝BG＝0.5，
故选：A．
6．（2020•雁塔区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解答】解：如图，过点C作CM∥AB，交AE的延长线于M，交AD的延长线于N，

∵CM∥AB，
∴∠B＝∠ECM，∠M＝∠BAE，
在△ABE和△MCE中，
，
∴△ABE≌△MCE（AAS），
∴AB＝CM＝10，AE＝EM，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CM，
∴∠BAD＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAD，
∴AC＝CN＝6，
∴MN＝4，
∵AC＝CN，CF⊥AD，
∴AF＝FN，
又∵AE＝EM，
∴EF＝MN＝2，
方法二、延长CF交AB于H，

在△AFC和△AFH中，
，
∴△AFC≌△AFH（ASA），
∴CF＝HF，AH＝AC＝6，
∴BH＝4，
∵BE＝CE，CF＝HF，
∴EF＝MN＝2，
故选：B．

7．（2022春•徐州期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE、CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB＝5，AD＝7，求ED的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，
∴∠EBC＝∠ABC，∠BCF＝∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB＝°＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴BE⊥CF；
（2）解：∵∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5，
同理，DF＝CD＝5，
∴EF＝AE+DF﹣AD＝5+5﹣7＝3，
∴DE＝2．

8．（2022春•喀什地区期末）如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若∠BAF＝90°，BC＝10，EF＝6，求CD的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF．
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴∠BAF＝∠CEF，
∵∠BAF＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∴△CEF是直角三角形．
∵AD＝BC，AD＝CF，BC＝10，
∴CF＝10，
∵EF＝6，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，CE＝＝＝8，
∵△ADE≌△FCE，
∴DE＝CE＝8，
∴CD＝16．
9．（2022春•溧阳市期中）如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，EF交BC于点F．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若AB＝8，BC＝6，求四边形DEFB的周长．

【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：∵DE是△ABC的中位线，AB＝8，BC＝6，
∴DE＝BC＝3，BD＝AB＝4，
∵四边形DEFB是平行四边形，
∴BF＝DE＝3，EF＝BD＝4，
∴四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2×（3+4）＝14．

能力提升


10．（2021春•永嘉县校级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．

【答案】（1）略 （2）2
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；

（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2
11.（2021•永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

【答案】（1）略 （2）4
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE•BF＝×4×2＝4．