【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题28 一次函数与将军饮马最值综合应用（原卷版+解析版）

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 专题28 一次函数与将军饮马最值综合应用
题型归纳



题型1：线段问题
（1） 在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；
（2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
题型2：线段最小值问题
一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：






（2）点A、B在直线同侧：




A、 A’ 是关于直线m的对称点。
题型3：两条线段差最大值问题
求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：





解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。



（2）点A、B在直线m异侧：






解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
典例分析


【考点1：线段问题】
【典例1】已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B与l2：y＝x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线l1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值；

【答案】（1）（3，1）； （2）a＝2或6
【解答】解：（1）联立两直线解析式得：，
解得：，
则点C坐标为（3，1）；

（2）由题意：M（a，0）D（a，a） E（a，﹣a+4）
∵DE＝2DM
∴|a﹣（﹣a+4）|＝2|a|
解得a＝2或6．
【变式1】如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，
（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；
（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；

【答案】（1） 5 点A为（4，0），点B为（0，﹣3） （2）C坐标为（0，）
【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，
令x＝0，得到y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
令y＝0，得到x＝4，
∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5．
（2）设OC＝x，则BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3，
在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2，
∴x2+42＝（x+3）2，
∴x＝，
∴点C坐标为（0，）．
【考点2：将军饮马-线段最值问题】
【典例2】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1） C的坐标为（4，4）；12 （2）P（2，0）．
【解答】解：（1）如图1，

①联立方程组得，
解得，
∴点C的坐标为（4，4）；
②在y＝﹣2x+12中，当x＝0时y＝12，
当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，
∴点B（0，12），A（6，0），
则△OAC的面积为×6×4＝12；
（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连接MQ，

∵ON平分∠AOC，
∴∠AOQ＝∠COQ，
又OQ＝OQ．
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ＝MQ，
∴AQ+PQ＝AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小，
即AQ+PQ存在最小值；
∵AB⊥ON，
∴∠AEO＝∠CEO，
..△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC＝OA＝4，
在Rt△OAM中，∵∠AOM＝45°，
∴OM＝AM＝OA＝2．
此时OP＝OM＝2，故P（2，0）．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系内，直线l1：y＝x+4分别交x轴、y轴于点A，B，直线l2：y＝﹣3x与直线l1交于点C，P为y轴上一动点．
（1）点A坐标 　 　，点B坐标 　 　；
（2）求点C的坐标；
（3）当PA+PC的值最小时，求此时点P的坐标，并求出这个最小值．

【答案】（1） （﹣4，0），（0，4）； （2） （﹣1，3） （3）点P的坐标为（0，）
【解答】解：（1）在y＝x+4中，当y＝0时，x＝﹣4，当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
故答案为：（﹣4，0），（0，4）；
（2）联立直线l1，l2的表达式，得，解得．
所以点C的坐标为（﹣1，3）；
（3）作点A（﹣4，0）关于y轴的对称点A′（4，0），连接CA′交y轴于点P，此时PC+PA最小，如图：

设直线A′C的表达式为y＝kx+b（k≠0）把A′（4，0），C（﹣1，3）代入得，
，解得，
所以直线A′C的表达式为y＝﹣x+．
当x＝0时，所以点P的坐标为（0，），
此时PA+PC＝A′C．
过点C作CH⊥x轴于点H．
∵点C的坐标为（﹣1，3），A′（4，0），
∴CH＝3，HA′＝5，
所以A′C＝＝＝．
所以当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（0，），这个最小值为．
【变式2-2】如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．

【解答】解：（1）∵点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，
∴4＝1×m，
∴m＝4；
∵点B（3，n）在正比例函数的图象上，
∴n＝×3＝2．
∴m的值为4，n的值为2．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB′的长，如图所示．
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（3，﹣2），
∴线段AB′的长＝＝2，
∴PA+PB的最小值为2．


【考点3：两条线段差最大值问题】
【典例3】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+6分别与x、y轴相交于A、B两点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC．连接BC交x轴于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）P为x轴上的动点，连接PB，PC，当|PB﹣PC|的值最大时，求此时点P的坐标．


【解答】解：（1）令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
∴OA＝2，BO＝6，
过点C作CH⊥x轴于H，
∵∠CAD+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CAD＝∠ABO，
∴∠AHC＝∠BOA＝90°，
由旋转得AB＝AC，
∴△ABO≌△CAH（AAS），
∴CH＝OA＝2，AH＝BO＝6，
∴OH＝AH﹣OA＝4，
∴点C的坐标为（4，﹣2）；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接BC'延长交x轴于点P，则点P就是所求的最大值点，
∴C'（4，2），
设直线BC'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+6，
∴P（6，0）；

【变式3-1】如图1所示，直线l1：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2：y＝3x﹣4与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求|PE﹣PD|的最大值；

【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴点E的坐标（2，2）；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，
则PD＝PD′，

∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PD′|＝D′E最大，
∵直线l2：y＝3x﹣4与y轴分别交于D点，
∴D（0，﹣4），
∴D′（0，4），
过点E作EG⊥y轴于点G，则EG＝2，D′G＝2，
∴D′E＝＝＝2，
∴|PE﹣PD|的最大值为2；
【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点A，与直线y＝x+1交于点P（3，b），B为直线y＝x+1上一点．
（1）求a，b的值；
（2）当线段AB最短时求点B的坐标；
（3）在x轴上找一点C，使AC﹣PC的值最大，请写出点C的坐标并求最大值．

【解答】解：（1）把点P（3，b）代入直线y＝x+1，

解得：b＝4，
把P（3，4）代入y＝﹣2x+a，
解得：a＝10，
∴a＝10，b＝4；
（2）当AB⊥直线y＝x+1时，线段AB最短，
把直线y＝x+1与y轴的交点（0，1）标记为E，

由（1）可得A（0，10），且∠AEB＝45°，△AEB是等腰直角三角形，
∴AE＝9，AB＝BE＝，
∴B的横坐标为，纵坐标为，
∴B（，）；
（3）在x轴上取点C，由三角形的三边关系得，AP＞AC﹣PC，
当A、P、C三点共线时，AC﹣PC＝AP，即AC﹣PC最大，即为AP，
所以点C在y＝﹣2x+10上，
把y＝0代入y＝﹣2x+10中，
得0＝﹣2x+10，
得x＝5，
∴C（5，0），
∵P（3，4），
∴AP＝．
【变式3-3】如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx+b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；
②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；

【解答】解：（1）将点C（a，7）代入y＝x，可得a＝﹣3，
∴点C的坐标（﹣3，7），
将点C（﹣3，7）和点A（﹣10，0）代入y＝kx+b，可得，
，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+10；
（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0），
∴当x＝﹣15时，y＝﹣＝35，y＝﹣15+10＝﹣5，
∴点F的坐标为（﹣15，35），点G的坐标为（﹣15，﹣5），
∴S△CGF＝＝；
②存在，
证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，
令x＝0，则y＝10，
∴点B的坐标（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y＝ax+5，
将C（﹣3，7）代入得：7＝﹣3a+5，解得：a＝﹣，
∴直线MC的解析式为y＝x+5，
当x＝﹣15时，y＝，
∴点P的坐标为（﹣15，15），
∴PM﹣PC＝CM＝＝；
夯实基础


1．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA上的动点，
（1）求点C关于y轴对称点M坐标，点C关于直线AB对称点N坐标．
（2）求△CDE的周长的最小值．

【答案】（1）M（﹣1，0），N（7，6）；
（2）10．
【解答】解：（1）点C关于y轴对称点M坐标为（﹣1，0）．
∵直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴∠CBA＝45°．
令y＝0，则0＝﹣x+7，
解得：x＝7，
∴B（7，0），
∴OB＝7．
∵C（1，0），
∴OC＝1，
∴BC＝OB﹣OC＝6．
如图，连接CN，BN，
∵点C与点N关于直线AB对称，
∴BC＝BN＝6，∠CBA＝∠NBA＝45°，
∴∠CBN＝90°，
∴xN＝xB＝7，yN＝6，即N（7，6）；
（2）如图，连接ME，DN，MN．
由轴对称的性质可知ME＝CE，DC＝DN，
∴C△CDE＝CD+CE+DE＝DN+EM+DE．
∵DN+EM+DE≥MN，且当M，E，D，N四点共线时取等号，
∴C△CDE的最小值即为MN的长．
∵（﹣1，0），
∴OM＝1，
∴BM＝OM+OB＝8，
∴．
∴C△CDE的最小值为10．

2．如图，点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上．
（1）求m，n的值；
（2）在x轴找一点P，使得PA+PB的值最小，请求出PA+PB的最小值．

【答案】（1）m＝4，n＝2；
（2）2．
【解答】解：（1）∵点A（1，4）在正比例函数y＝mx的图象上，
∴4＝1×m，
∴m＝4；
∵点B（3，n）在正比例函数的图象上，
∴n＝×3＝2．
∴m的值为4，n的值为2．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，最小值为线段AB′的长，如图所示．
∵点B的坐标为（3，2），
∴点B′的坐标为（3，﹣2），
∴线段AB′的长＝＝2，
∴PA+PB的最小值为2．

3．如图，平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（3，﹣1），完成下列问题：
（1）求出经过A、B两点的一次函数表达式；
（2）点E是y轴上一点，连接AE、BE，当AE+BE取最小值时，点E的坐标为 　 　；
（3）若点C（1，﹣2），在线段AC上找一点F，使点F到AB、BC的距离相等（请在图中标注出点F的位置）．

【答案】（1）y＝﹣2x+5；
（2）（0，2）；
（3）见解答．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
根据题意得，
解得，
∴经过A、B两点的一次函数表达式为y＝﹣2x+5；
（2）如图，E点坐标为（0，2）；
故答案为：（0，2）；
（3）如图，F点为所作．

4．如图，一次函数y＝kx+b的图象过P（1，4）、Q（4，1）两点，与x轴交于A点．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求△POQ的面积；
（3）已知：点M在x轴上，且使MP+MQ的值最小，请直接写出点M的坐标 　 　，及MP+MQ的最小值是 　 　．

【答案】（1）y＝﹣x+5；
（2）7.5；
（3）（，0）；．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
∴此一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则A（5，0），
∴S△POQ＝S△POA﹣S△QOA＝×5×4﹣×5×1＝7.5；
（3）作Q点关于x轴的对称点B，连接PB交x轴于M点，连接MQ，如图，
∴B（4，﹣1），
∵MP+MQ＝MP+MB＝PB，
∴此时MP+PQ的值最小，最小值为＝，
设直线PB的解析式为y＝px+q，
把P（1，4），B（4，﹣1）分别代入得，
解得，
∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴M点的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）；；

5．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（0，k）和直线y＝kx，我们称点P（0，k）是直线y＝kx的反关联点，直线y＝kx是点P（0，k）的反关联直线．特别地，当k＝0时，直线y＝0的反关联点为P（0，0）．已知点A（﹣2，2），B（0，﹣4），C（0，0）．
（1）点B的反关联直线的解析式为　 　，直线AC的反关联点的坐标为　 　；
（2）设直线AC的反关联点为点D．
①若点P在直线AC上，则PB+PD的最小值为　 　；
②若点E在点B的反关联直线上，且S△BDE＝4，求点E的坐标．
【答案】（1）y＝﹣4x，（0，﹣1）．
（2）①．
②E（，﹣）或（﹣，）．
【解答】解：（1）∵B（0，﹣4），
∴点B的反关联直线的解析式为：y＝﹣4x，
∵A（﹣2，2），C（0，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x，
∴直线AC的反关联点的坐标为（0，﹣1），
故答案为：y＝﹣4x，（0，﹣1）．

（2）由（1）可知，D（0，﹣1）．
①如图，作点B关于直线AC的对称点B′，连接DB′交AC于P，连接PB，此时PD+PB的值最小，

∵D（0，﹣1），B′（4，0），
∴PD+PB的最小值＝DB′＝＝．
故答案为：．

②设E（m，﹣4m）．

由题意：×3×|m|＝4，
解得m＝±，
∴E（，﹣）或（﹣，）．
6．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为一边，在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求线段AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）点E在x轴上，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点F，连接DE，BF，请直接写出四边形BDEF周长的最小值．

【答案】（1）AB＝5；
（2）D（﹣7，3）；
（3）+5+3．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5；
（2）作DM⊥x轴于M，

∵∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠OAB＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AMD和△BOA中，
，
∴△AMD≌△BOA（AAS），
∴AM＝OB＝4，DM＝OA＝3，
∴OM＝4+3＝7，
∴D（﹣7，3）；
（3）作B关于x轴的对称点B′，将点B′向左平移3个单位得到点M，连接DM，交x轴于E，将点E沿x轴向右平移3个单位得到点F，连接B′F，则ME＝B′F＝BF，
∴DE+BF的最小值为DM，

∵B（0，4），
∴B′（0，﹣4），
∴M（﹣3，﹣4），
∵D（﹣7，3），
∴MD＝＝，BD＝＝＝5，
∴四边形BDEF周长的最小值为DM+BD+EF＝+5+3．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B（0，3），C（0，﹣1）两点．
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D在直线AC上，且DB＝DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得|BP﹣DP|有最大值？若存在，请求出P点的坐标和|BP﹣DP|的最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设直线AC的函数表达式为：y＝kx+b，
且过点A（﹣，0），点C（0，﹣1）
∴
解得：k＝﹣，b＝﹣1
∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣x﹣1
（2）∵DB＝CD
∴点的D在BC的垂直平分线上，
∵B（0，3），C（0，﹣1）
∴点D的纵坐标为1，
∴1＝﹣x﹣1
∴x＝﹣2
∴点D坐标（﹣2，1）
（3）如图，

在△DPB中，|BP﹣DP|≤BD，
∴当点P在直线BD上时，|BP﹣DP|的最大值为BD，
即点P是直线BD与x轴的交点，
设直线BD的解析式为：y＝mx+n，且过点D（﹣2，1），点B（0，3）
∴
解得：m＝，n＝3
∴直线BD的解析式为y＝x+3
当y＝0时，x＝﹣3，
∴点P坐标为（﹣3，0）
∵点D（﹣2，1），点B（0，3）
∴BD＝＝4