【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题18 分式方程应用（四大类型）

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 专题18 分式方程应用（四大类型）

题型归纳


类型一：行程问题
类型二：工程问题
类型三：销售问题
类型四：方案问题
典例分析


【类型一：行程问题】
【典例1】（2021秋•零陵区期中）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【解答】解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：＝，
解得：x＝90，
经检验得：x＝90是这个分式方程的解．
x+54＝144．
答：特快列车的平均速度为90km/h，动车的速度为144km/h．
【变式1-1】（2021春•仁寿县期中）动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
【解答】解：设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，
由题意得，﹣＝1，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解，且符合题意．
动车的平均速度＝120×1.5＝180km/h．
答：该趟动车的平均速度为180km/h．
【变式1-2】（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根，
答：小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），
骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．
又∵22.5＞20，
∴小刚不能在上课前赶回学校．
【变式1-3】现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
【解答】解：（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，
由题意得，﹣＝20，
解得：x＝76，
经检验，x＝76是原分式方程的解，且符合题意，
则5x＝76×5＝380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；

（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为：＝12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为：＝5，
则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4＝21.5＜23，
答：李老师能按时上班．

【类型二：工程问题】
【典例2】（汕尾）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
﹣＝4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【变式2-1】（2021秋•道县期中）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得﹣＝10，
解得：x＝40．
经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60．
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
【变式2-2】（2022•南岗区校级开学）三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，同样植树480棵，甲工程队比乙工程队少用2天完成．
（1）求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？
（2）甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？
【解答】解：（1）设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树（x+20）棵，
依题意得：﹣＝2，
整理得：x2+20x﹣4800＝0
解得：x1＝60，x2＝﹣80，
经检验，x1＝60，x2＝﹣80均为原方程的解，x2＝﹣80不符合题意，舍去，
∴x+20＝60+20＝80．
答：甲工程队每天植树80棵，乙工程队每天植树60棵．
（2）设甲工程队植树m天，则乙工程队植树2m天，
依题意得：80×（1+10%）m+60×（1+20%）×2m≥1160，
解得：m≥5．
答：甲工程队至少植树5天可以完成任务．
【变式2-3】（2022•玉州区一模）为美化小区环境，物业计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作．已知甲工程队每天绿化面积是乙工程队每天绿化面积的2倍，甲工程队单独完成600m2的绿化面积比乙工程队单独完成600m2的绿化面积少用2天．
（1）求甲、乙两工程队每天绿化的面积分别是多少m2；
（2）小区需要绿化的面积为9600m2，物业需付给甲工程队每天绿化费为0.3万元，付给乙工程队每天绿化费为0.2万元，若要使这次的绿化总费用不超过12万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），
根据题意得，
解得：x＝150，
经检验：x＝150是原方程的解，
则2x＝300．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是300m2，乙工程队每天能完成绿化的面积是150m2，

（2）设甲队工作y天完成：300y（m2），乙队完成工作所需要（天），
根据题意得：0.3y+0.2×≤12，
解得：y≥8．
所以y最小值是8．
答：至少应安排甲队工作8天．


【类型三：销售问题】
【典例3】（2022春•田东县期末）“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？
【解答】解：设乙队每天可采摘芒果x公斤，则甲队每天可采摘芒果（x+600）公斤，
依题意得：＝，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的解，且符合题意，
∴x+600＝1200+600＝1800．
答：甲队每天可采摘芒果1800公斤，乙队每天可采摘芒果1200公斤．
【变式3-1】（2022春•锦州期末）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？
【解答】解：（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为60元．
（2）第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷60＝60（件），
第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．
80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．
答：两次的总利润为1600元．
【变式3-2】（2022春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
【解答】解：（1）设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为（x+2）元，
依题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8+2＝10．
答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．
（2）设购进m个乙商品，则购进（3m﹣5）个甲商品，
依题意得：3m﹣5+m≤95，
解得：m≤25．
答：商场最多购进乙商品25个．
【变式3-3】（2022春•普宁市期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次性购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，一共有多少种合理的购买方案？
【解答】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝1600
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
则x+400＝1600+400＝2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱m台（m为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，
则y＝（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）＝﹣50m+15000，
根据题意得：，
解得：33≤m≤40，
∵m为正整数，
∴m＝34，35，36，37，38，39，40，
∴一共有7种合理的购买方案．

【类型四：方案问题】

【典例4】（2021春•兴庆区校级期中）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
【解答】解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得m＝18，
经检验m＝18是原方程的解，即m＝18；

（2）设买A型污水处理设备x台，则B型（10﹣x）台，
根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x＝0时，10﹣x＝10，月处理污水量为1800吨，
当x＝1时，10﹣x＝9，月处理污水量为220+180×9＝1840吨，
当x＝2时，10﹣x＝8，月处理污水量为220×2+180×8＝1880吨，
当x＝3时，10﹣x＝7，月处理污水量为220×3+180×7＝1920吨，
当x＝4时，10﹣x＝6，月处理污水量为220×4+180×6＝1960吨，
当x＝5时，10﹣x＝5，月处理污水量为220×5+180×5＝2000吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
【变式4-1】（2021•章丘区二模）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．
【变式4-2】（2021•碧江区 二模）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．
（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，
依题意，得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝15．
答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．
（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，
依题意，得：，
解得：15≤m≤16．
∵m为整数，
∴m＝15或16．
∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．

课后巩固



1．（2021秋•花都区期末）某校推行“新时代好少年•红心向党”主题教育读书工程建设活动，原计划投资10000元建设几间青少年党史“读书吧”，为了保证“读书吧”的建设的质量，实际每间“读书吧”的建设费用增加了10%，实际总投资为15400元，并比原计划多建设了2间党史“读书吧”．
（1）原计划每间党史“读书吧”的建设费用是多少元？
（2）该校实际共建设了多少间青少年党史“读书吧”？
【解答】解：（1）设原计划每间党史“读书吧”的建设费用是x元，则实际每间党史“读书吧”的建设费用为（1+10%）x元，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：原计划每间党史“读书吧”的建设费用是2000元；
（2）＝7，
答：该校实际共建设了7间青少年党史“读书吧”．
2.（2021秋•东莞市校级期末）某施工队对一段2400米的河堤进行加固，在施工800米后，采用新的施工机器，每天工作的效率比原来提高了25%，共用了26天完成全部工程．
（1）求原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包方原来每天支付施工队工资800元，提高工作效率后，每天支付给施工队的工资也增加了25%，那么整个工程完成后承包方需要支付工资多少元？
【解答】解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的施工机器后每天加固河堤（1+25%）x米，
依题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天加固河堤80米．
（2）施工800米所需时间为800÷80＝10（天），
∴承包方需要支付工资为800×10+800×（1+25%）×（26﹣10）
＝800×10+800×125%×16
＝8000+16000
＝24000（元）．
答：整个工程完成后承包方需要支付工资24000元．
3.（2021秋•芜湖期末）为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
【解答】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为（﹣），
依题意得：+10（﹣）＝1，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（﹣）＝1÷（﹣）＝30．
4.（2021秋•宁远县校级月考）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：
﹣＝4，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：
0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
5．（2021•桃江县模拟）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，
根据题意得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝60．
答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m+5×≤145，
解得：m≥10．
答：至少安排甲队工作10天．
6．（2021秋•灌阳县期中）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【解答】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
＝，
解得x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，
解得y＝480，
经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
7．（2021春•宽甸县校级月考）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小是多少千米？
【解答】解：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，
根据题意得，﹣＝2，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的根，
则3x＝3×90＝270．
答：高速列车平均速度为每小时270千米．
8．（2021•昆明模拟）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）李明步行的速度是多少？
（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
【解答】解：（1）设李明步行的速度为x米/分，则骑自行车的速度为3x米/分．
依题意，得：﹣＝20，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意．
答：李明步行的速度是70米/分．
（2）++2＝42（分钟），
∵42＜48，
∴李明能在联欢会开始前赶到学校．
9．（2021秋•宁远县校级月考）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．
【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，
根据题意得：，
解得x＝4
经检验，x＝4原方程的根，
答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．
10．（2021秋•绥宁县期中）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？
【解答】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，
根据题意得：﹣＝80，
解得：t＝2.5，
经检验，t＝2.5是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.4t＝3.5．
答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．
11.（2022春•北碚区校级期末）甲、乙两人计划开车从A地前往B地，已知A、B两地相距60km，甲的速度是乙的1.5倍，若同时出发，甲比乙早到半小时．
（1）求甲、乙的速度各是多少？（列方程解答）
（2）甲、乙同时出发后，甲在途中发现忘带了物品，于是立刻原速返回A地，取到物品后继续原速前往B地，最后甲在距离B地10km处追上乙，求甲出发多久时发现忘带了物品？
【解答】解：（1）设乙的速度是xkm/h，则甲的速度是1.5xkm/h，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲的速度是60km/h，乙的速度是40km/h．
（2）设甲出发yh发现忘带了物品，
依题意得：2y+＝，
解得：y＝．答：甲出发h时发现忘带了物品．
12．（2022春•田东县期末）“芒果正宗，源自田东”．田东的桂七芒果，皮薄肉细，多汁香甜、营养丰富、品质上乘，被誉为“果中一绝，果之上品”．现某芒果园有甲、乙两支专业采摘队，已知甲队比乙队每天多采摘600公斤芒果，甲队采摘28800公斤芒果所用的天数与乙队采摘19200公斤芒果所用的天数相同．问甲、乙两队每天分别可采摘芒果多少公斤？
【解答】解：设乙队每天可采摘芒果x公斤，则甲队每天可采摘芒果（x+600）公斤，
依题意得：＝，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的解，且符合题意，
∴x+600＝1200+600＝1800．
答：甲队每天可采摘芒果1800公斤，乙队每天可采摘芒果1200公斤．
13．（2022春•锦州期末）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3600元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价是多少元；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为80元，求该商店两次购进的“冰墩墩”玩具全部售完的总利润是多少元？
【解答】解：（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，
依题意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为60元．
（2）第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷60＝60（件），
第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．
80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．
答：两次的总利润为1600元．
14.（2022春•大观区校级期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
【解答】解：（1）设每个甲商品的进价为x元，则每个乙商品的进价为（x+2）元，
依题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8+2＝10．
答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元．
（2）设购进m个乙商品，则购进（3m﹣5）个甲商品，
依题意得：3m﹣5+m≤95，
解得：m≤25．
答：商场最多购进乙商品25个．
15．（2022春•普宁市期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商城准备一次性购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，一共有多少种合理的购买方案？
【解答】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝1600
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
则x+400＝1600+400＝2000，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱m台（m为正整数），这100台家电的销售总利润为y元，
则y＝（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）＝﹣50m+15000，
根据题意得：，
解得：33≤m≤40，
∵m为正整数，
∴m＝34，35，36，37，38，39，40，
∴一共有7种合理的购买方案．
16．（2022春•市南区期末）某中学举办了以“童心绘未来”为主题绘画比赛．学校计划购买A、B两种学习用品奖励获奖同学，已知购买一个A种学习用品比购买一个B种学习用品多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件多少元？
（2）商店给该校购买一个A种学习用品赠送一个B种学习用品的优惠，如果该校需要B种学习用品的个数是A种学习用品个数的2倍还多8个，且该校购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A种学习用品？
【解答】解：（1）设购买一个B种学习用品需要x元，则购买一个A种学习用品需要（x+20）元．
根据题意得：＝×，
解得：x＝5，
经检验，x＝5 是原方程的解，且符合题意，
则x+20＝25．
答：购买一个A种学习用品需要25元，购买一个B种学习用品需要5元；
（2）设该校购买A种学习用品个数为a个，则购买B种学习用品的个数是（2a+8﹣a）个．
由题意得：25a+5（2a+8﹣a）≤670，
解得：a≤21，
答：该校最多可购买21个A种学习用品．
17．（2022春•龙岗区期末）为实行乡村振兴计划，某县的果蔬加工公司先后两次购买龙眼，第一次购买龙眼用了56000元；因龙眼大量上市，价格下跌，该公司第二次购买龙眼用了84000元，所购进数量是第一次的2倍，但进货单价比第一次便宜了2000元/吨．
（1）求该公司第一次购进龙眼多少吨？
（2）公司计划把两次购买的龙眼加工成龙眼肉和干龙眼，1吨龙眼可加工成龙眼肉0.2吨或干龙眼0.5吨，龙眼肉和干龙眼的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成龙眼肉？
【解答】解：（1）设第一次购买龙眼的单价为x元/吨，根据题意得：
2×＝，
解得：x＝8000，
将x＝8000代入得第一次购买龙眼7吨．

（2）由于第二次购进龙眼数量是第一次购进龙眼数量的二倍，
则易知第二次购进龙眼14吨，所以两次一共购进7+14＝21吨龙眼，
设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21﹣y）吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：10×0.2y+3×0.5（21﹣y）≥39，
解得：y≥15，
∴至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉，
18．（2021•天宁区校级一模）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，
根据题意得：3•＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
19．（2022春•11．（2021•沙坪坝区校级开学）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得＝2×+300，
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；

（2）[+﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
＝（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
＝1500×9+4320﹣12000
＝13500+4320﹣12000
＝5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
20．（2021春•滨海县期中）宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵
（1）A，B两种花木的数量分别是多少棵？
（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
【解答】解：（1）设B花木数量为x棵，则A花木数量是（2x﹣600）棵，由题意得：
x+2x﹣600＝6600，
解得：x＝2400，
2x﹣600＝4200，
答：B花木数量为2400棵，则A花木数量是4200棵；

（2）设安排a人种植A花木，由题意得：
＝，
解得：a＝14，
经检验：a＝14是原分式方程的解，
26﹣a＝26﹣14＝12，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
21．（2021春•龙华区校级期中）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．

（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；

（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
22．（2021•郴州）“七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
（1）求A，B奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？
【解答】解：（1）设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x﹣25）元，
由题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则x﹣25＝15，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
（2）设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100﹣m）件，
由题意得：，
解得：22.5≤m≤25，
∵m为正整数，
∴m的值为23，24，25，
∴有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件．
23．（2020秋•恩施市期末）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
【解答】解：（1）设苹果进价为每千克x元，根据题意得：
400×2x+（1+10%）x（﹣400）﹣3000＝2100，
解得：x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，
答：苹果进价为每千克5元．

（2）由（1）得，每个超市苹果总量为：＝600（千克），
大、小苹果售价分别为10元和5.5元，
则乙超市获利600×（﹣5）＝1650（元），
∵甲超市获利2100元，
∵2100＞1650，
∴将苹果按大小分类包装销售，更合算
24．（2021春•兴庆区校级期中）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
220
180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
【解答】解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得m＝18，
经检验m＝18是原方程的解，即m＝18；

（2）设买A型污水处理设备x台，则B型（10﹣x）台，
根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x＝0时，10﹣x＝10，月处理污水量为1800吨，
当x＝1时，10﹣x＝9，月处理污水量为220+180×9＝1840吨，
当x＝2时，10﹣x＝8，月处理污水量为220×2+180×8＝1880吨，
当x＝3时，10﹣x＝7，月处理污水量为220×3+180×7＝1920吨，
当x＝4时，10﹣x＝6，月处理污水量为220×4+180×6＝1960吨，
当x＝5时，10﹣x＝5，月处理污水量为220×5+180×5＝2000吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．
25．（2021•章丘区二模）某手机专卖店的一张进货单上有如下信息：A款手机进货单价比B款手机多800元，花38400元购进A款手机的数量与花28800元购进B款手机的数量相同．
（1）求A，B两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期
A款手机（部）
B款手机（部）
销售总额（元）
星期六
5
8
40100
星期日
6
7
41100
求A，B两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进A，B两款手机若干部，问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【解答】解：（1）设B款手机的进货单价是x元，则A款手机的进货单价是（x+800）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的解，
则x+800＝2400+800＝3200，
答：A款手机的进货单价是3200元，B款手机的进货单价是2400元；
（2）设A款手机的销售单价是a元，B款手机的销售单价是b元，
根据题意得：，
解得：，
答：A款手机的销售单价是3700元，B款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买A款手机m部，B款手机n部，
根据题意，得3200m+2400n＝28000，
化简得，4m+3n＝35，
∵m、n都是正整数，
∴或或，
即有三种进货方案：
方案一：购买A款手机2部，B款款手机9部，利润是：（3700﹣3200）×2+（2700﹣2400）×9＝3700（元）；
方案二：购买A款手机5部，B款款手机5部，利润是：（3700﹣3200）×5+（2700﹣2400）×5＝4000（元）；
方案三：购买A款手机8部，B款款手机1部，利润是：（3700﹣3200）×8+（2700﹣2400）×1＝4300（元）；
∵3700＜4000＜4300，
∴选择方案三获得的总利润最高．