【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题19 平行四边形中“平行线＋角平分线”基本图形的运用

   专题19  平行四边形中“平行线＋角平分线”基本图形的运用

  通过角平分线+平行线就能得到等腰三角形，有了等腰三角形，就能得到相等的线段。

【典例1】（2022•邵阳县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝110°，CE平分∠BCD交AB于点E，则∠AEC的大小是　　  ．

【变式1-1】（2022秋•龙口市期末）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1.5

【变式1-2】（2022春•建邺区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，若AE＝2ED＝3，则▱ABCD的周长是（　　）

A．7.5 B．9 C．15 D．30

【变式1-3】（2022春•抚顺期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，∠DAE＝25°．

（1）求∠C、∠B的度数；

（2）若BC＝5，AB＝8，求CE的长．

【典例2】（2022秋•福田区期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（　　）

A．4 B．5 C．7 D．6

【变式2-1】（贵阳）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【变式2-2】（春•罗湖区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.5

【典例3】（2022春•罗湖区期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求平行四边形ABCD的面积．

【变式3-1】（2021•扬州）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则▱ABCD的面积为 　　．

【变式3-2】（2022秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【典例4】（2021•娄星区模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE＝CD；

（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．

【变式4-1】（2021春•海淀区校级期中）在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【变式4-2】（2021•永嘉县校级模拟）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE⊥DF．

【变式4-3】（2020•石阡县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE＝CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．

1．如图，已知平行四边形ABCD，∠BAD的角平分线交边BC于点E．交DC延长线于点F，如果∠F＝70°，那么∠B的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°

2．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

3．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交AD于点E，∠BCD的角平分线交AD于点F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为（　　）

A．4 B．3 C．6 D．5

4．在▱ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠CBE＝34°，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．146° C．108° D．112°

5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（　　）

A．6 B．8 C．10 D．13

6．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣3，4），点B在x轴正半轴上，作∠AOB的角平分线OF交边AC交点G．则点G的坐标为（　　）

A．（2，4） B．（5，4） C．（﹣2，4） D．（3，4）

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边AD于点E，∠C＝130°，则∠AEB的度数是 　   ．

8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝5，∠DAB的角平分线AE，则EC的值为 　 　．

9．如图，在▱ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点 E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　　．

10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝110°，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于点E．

（1）求证：AB∥CD；

（2）求∠E的大小．

11．（2021春•永嘉县校级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．

（1）求证：BD、EF互相平分；

（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．

12.（2021•永州）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE＝CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．