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【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
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这是一份【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，共36页。学案主要包含了模型刨析，典例分析，类型一：“骨折”模型，变式1-1，变式1-2，变式1-3，类型二：“抬头”模型，变式2-1等内容，欢迎下载使用。
专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
专题说明
学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型三“抬头”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【类型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【变式1-1】（2022秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
【变式1-3】（2022春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【类型二：“抬头”模型】
【典例2】（2022春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【变式2-2】（2022•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【变式2-3】（2022春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．
【夯实基础】
1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．70°
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
4．（2022春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
5．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
6．（2022春•榆次区期中）综合与实践
【问题情境】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．
【初步探究】
（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；
【深入探究】
（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是 ；
A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展应用】
（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝ ．
7．（2022春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
【能力提升】
8．（2022春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
9．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
专题说明
学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型三“抬头”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【类型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
【变式1-1】（2022秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
【答案】α+β﹣γ＝90°
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故答案为：α+β﹣γ＝90°．
【变式1-3】（2022春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F；
（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：
如图，延长BE交DC的延长线于点M，
在四边形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，
∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，
∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EMC，
∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2
【类型二：“抬头”模型】
【典例2】（2022春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠1是△CEP的一个外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∴∠A＝∠C+∠P，
∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，
∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，
∴∠P的度数为46°；
（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，
由（1）得：
∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，
∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
＝∠PAB﹣∠PCD，
＝（∠PAB﹣∠PCD）
＝∠P
＝×46°
＝23°，
∴∠AQC的度数为23°；
（3）∵CP∥AQ，
∴∠PCQ＝∠AQC，
∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，
由（2）得：
∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，
∴2∠PCQ＝∠PAB，
∴∠PCQ＝∠PAB．
【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【解答】解（1）过C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．
（2）过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．
【变式2-2】（2022•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝
【变式2-3】（2022春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：
如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，
∵∠EPF＝α，
∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．
【夯实基础】
1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠E+∠C，∠C＝40°，
∴∠E＝30°．
故选：A．
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
4．（2022春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB．
∴∠A＝∠APE＝50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝30°．
∴∠APD＝∠APE+∠EPD
＝50°+30°
＝80°．
（2）∠A，∠D，∠APD之数量关系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
理由：延长BA交PD于点E．
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED+∠PEB＝180°，
∴∠PEB＝180°﹣∠D．
∴∠BAP＝∠P+∠BEP
＝∠P+180°﹣∠D．
即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
5．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【解答】（1）过点G作GE∥AB，
因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，
因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
6．（2022春•榆次区期中）综合与实践
【问题情境】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．
【初步探究】
（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；
【深入探究】
（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是 ；
A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展应用】
（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝ ．
【解答】
解：（1）如图1，延长DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
∵∠1＝60°，∠3＝140°，
∴∠2＝20°
（2）如图1，延长DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
故选：C．
（3）如图2，延长DC交AB于F，
∵DE∥AB，
∴∠3+∠CFB＝180°，
∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，
∵∠2＝∠1+∠DFB，
∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°
∵∠1＝75°，∠3＝135°，
∴∠2＝120°．
故答案为：120°
7．（2022春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
【解答】解：（1）如图，
过E作EH∥MN，
∴∠N＝∠HEN，
又∵MN∥AB，
∴EH∥AB∥MN，
∴∠B＝∠HEB，
即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；
（2）①如图，
过F作FP∥EN，交MN于H点，则BG∥EN∥FP，
∵∠N＝57°，
∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，
∵EN∥PF，
∴∠E＝∠EFP，
∵∠E＝∠EFB，
∴114°+∠E＝4∠E，
∴∠E＝38°；
②如图，过点F作FP∥AD，
设∠E＝a＝∠FBD，则∠PFB＝α，∠EFP＝3α，
∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，
当K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，
∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，
∴，
∴a＝22.5°；
当K在BG延长线上时，∠NGB＝，∠ABG＝，
∴，
∴a＝18°，
综上所述，∠E＝22.5°或18°．
【能力提升】
8．（2022春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，
∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥DC，
∠ABE＝∠BEC，
∴∠EBC＝∠BEC．
（2）证明：由（1）可知，
∠EBC＝∠BEC，
由外角性质可知，
∠FEC＝∠F+∠FDC
又∵∠EBC﹣∠F＝45°，
∴∠FEC＝∠F+45°，
∴∠FDC＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠FDC＝45°，
∴DF平分∠ADC．
（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，
①当H在PB之间时，
设∠PCE＝α，则∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝，
又∵∠CBE＝∠MDC
∴∠ADM＝90°﹣＝2α，
∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，
∴＝＝．
同理，当H点位于H′时，∠DCH′＝α，
＝＝5，
∴的值为或5．
9．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
专题说明
学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型三“抬头”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【类型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【变式1-1】（2022秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
【变式1-3】（2022春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【类型二：“抬头”模型】
【典例2】（2022春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【变式2-2】（2022•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【变式2-3】（2022春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．
【夯实基础】
1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．70°
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
4．（2022春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
5．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
6．（2022春•榆次区期中）综合与实践
【问题情境】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．
【初步探究】
（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；
【深入探究】
（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是 ；
A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展应用】
（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝ ．
7．（2022春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
【能力提升】
8．（2022春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
9．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
专题03 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型
专题说明
学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。
【模型刨析】
模型三“抬头”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【类型一：“骨折”模型】
【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
【变式1-1】（2022秋•大渡口区校级期末）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【答案】D
【解答】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•东昌府区校级期末）如图，已知AB∥EF，∠C＝90°，则α、β与γ的关系是 ．
【答案】α+β﹣γ＝90°
【解答】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM＝α，∠DCM＝∠CDN，∠EDN＝γ，
∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①，∠BCD＝α+∠CDN＝90°②，
由①②得：α+β﹣γ＝90°．
故答案为：α+β﹣γ＝90°．
【变式1-3】（2022春•牟平区期中）已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F；
（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：
如图，延长BE交DC的延长线于点M，
在四边形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，
∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，
∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EMC，
∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2
【类型二：“抬头”模型】
【典例2】（2022春•江津区期末）已知AB∥CD，P为平面内一点，连接CP、AP．
（1）如图1，当∠PCD＝40°，∠PAB＝86°时，求∠P；
（2）如图2，在第（1）的条件下，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，求∠AQC；
（3）如图3，CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，且CP∥AQ，请直接写出∠PCQ与∠PAB的数量关系．
【解答】解：（1）如图：设CD与AP相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A，
∵∠1是△CEP的一个外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∴∠A＝∠C+∠P，
∵∠PCD＝40°，∠PAB＝86°，
∴∠P＝∠PAB﹣∠PCD＝46°，
∴∠P的度数为46°；
（2）∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCD，∠QAB＝∠PAB，
由（1）得：
∠PAB＝∠PCD+∠P，∠QAB＝∠QCD+∠AQC，
∴∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
＝∠PAB﹣∠PCD，
＝（∠PAB﹣∠PCD）
＝∠P
＝×46°
＝23°，
∴∠AQC的度数为23°；
（3）∵CP∥AQ，
∴∠PCQ＝∠AQC，
∵CQ平分∠PCD，AQ平分∠PAB，
∴∠QCD＝∠PCQ，∠QAB＝∠PAB，
由（2）得：
∠AQC＝∠QAB﹣∠QCD
∴∠PCQ＝∠PAB﹣∠PCQ，
∴2∠PCQ＝∠PAB，
∴∠PCQ＝∠PAB．
【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】
材料信息：
如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC．
方法信息：
如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数．
解：过点C作CF∥AB．
∴∠BCF＝∠B＝55°．
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D＝35°．
∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．
【问题解决】
（1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论： ；
（2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由．
【解答】解（1）过C作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴AB∥CF，
∴∠B＝∠BCF，
∠D＝∠DCF，
∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF，
∴∠BCD＝∠B﹣∠D，
故答案为：∠BCD＝∠B﹣∠D．
（2）过点C作CF∥AB，
∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE．
∴∠DCF＝∠D，
∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF，
∴∠BCD＝∠D﹣∠B．
【变式2-2】（2022•南京模拟）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝
【变式2-3】（2022春•新抚区期末）（1）问题：如图1，若AB∥CD，∠AEP＝20°，∠PFC＝61°．求∠EPF的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠1＝∠AEP＝20°，∠2＝∠PFC＝61°，
∴∠EPF＝∠1+∠2＝20°+61°＝81°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下：
如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠PEA，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF+∠PEA，
∵∠EPF＝α，
∴∠HGF＝（∠EPF+∠PEA）＝（α+∠PEA），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠PEA）﹣∠PEA＝α．
【夯实基础】
1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：反向延长DE交BC于M，如图：
∵AB∥DE，
∴∠BMD＝∠ABC＝80°，
∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；
又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，
∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．
故选：B．
2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠A＝70°，
∵∠1＝∠E+∠C，∠C＝40°，
∴∠E＝30°．
故选：A．
3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（ ）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
4．（2022春•兴平市期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．
（1）如图①，若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠P的度数；
（2）如图②，点P在AB上方，则∠A，∠D，∠APD之间有何数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB．
∴∠A＝∠APE＝50°．
∵AB∥CD，
∴PE∥CD．
∴∠EPD+∠CDP＝180°．
∵∠D＝150°，
∴∠EPD＝30°．
∴∠APD＝∠APE+∠EPD
＝50°+30°
＝80°．
（2）∠A，∠D，∠APD之数量关系：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
理由：延长BA交PD于点E．
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠D．
∵∠BED+∠PEB＝180°，
∴∠PEB＝180°﹣∠D．
∴∠BAP＝∠P+∠BEP
＝∠P+180°﹣∠D．
即：∠BAP+∠D﹣∠P＝180°．
5．（2021春•青浦区期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【解答】（1）过点G作GE∥AB，
因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，
因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
6．（2022春•榆次区期中）综合与实践
【问题情境】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．
【初步探究】
（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；
【深入探究】
（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是 ；
A．∠1+∠2＝∠3
B．∠3+∠2﹣∠1＝90°
C．∠1+∠3﹣∠2＝180°
D．∠3+∠2＝2∠1
【拓展应用】
（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝ ．
【解答】
解：（1）如图1，延长DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
∵∠1＝60°，∠3＝140°，
∴∠2＝20°
（2）如图1，延长DC交OB于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠BGD，
∵∠BGD＝∠2+∠OCG，
∴∠1＝∠2+∠OCG，
∵∠OCG＝180°﹣∠3，
∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，
∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，
故选：C．
（3）如图2，延长DC交AB于F，
∵DE∥AB，
∴∠3+∠CFB＝180°，
∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，
∵∠2＝∠1+∠DFB，
∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°
∵∠1＝75°，∠3＝135°，
∴∠2＝120°．
故答案为：120°
7．（2022春•江岸区校级月考）已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
【解答】解：（1）如图，
过E作EH∥MN，
∴∠N＝∠HEN，
又∵MN∥AB，
∴EH∥AB∥MN，
∴∠B＝∠HEB，
即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；
（2）①如图，
过F作FP∥EN，交MN于H点，则BG∥EN∥FP，
∵∠N＝57°，
∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，
∵EN∥PF，
∴∠E＝∠EFP，
∵∠E＝∠EFB，
∴114°+∠E＝4∠E，
∴∠E＝38°；
②如图，过点F作FP∥AD，
设∠E＝a＝∠FBD，则∠PFB＝α，∠EFP＝3α，
∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，
当K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，
∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，
∴，
∴a＝22.5°；
当K在BG延长线上时，∠NGB＝，∠ABG＝，
∴，
∴a＝18°，
综上所述，∠E＝22.5°或18°．
【能力提升】
8．（2022春•潍坊期中）已知AB∥DC，∠ABC的平分线交DC于点E，∠ADC＝90°．
（1）如图1，试说明：∠EBC＝∠BEC；
（2）如图2，点F在BE的反向延长线上，连接DF交AB于点G，若∠EBC﹣∠F＝45°，试说明：DF平分∠ADC；
（3）如图3，在线段BE上有一点P，满足∠BCP＝3∠PCE，过点D作DM∥BE，交AB于点M．若在直线BE上取一点H，使∠PCH＝∠ADM，求的值．
【解答】（1）证明：由角平分线性质可知，
∠ABE＝∠EBC，
∵AB∥DC，
∠ABE＝∠BEC，
∴∠EBC＝∠BEC．
（2）证明：由（1）可知，
∠EBC＝∠BEC，
由外角性质可知，
∠FEC＝∠F+∠FDC
又∵∠EBC﹣∠F＝45°，
∴∠FEC＝∠F+45°，
∴∠FDC＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠FDC＝45°，
∴DF平分∠ADC．
（3）解：如图，∠PCH＝∠ADM，∠PCH′＝∠ADM，
①当H在PB之间时，
设∠PCE＝α，则∠BCP＝3α，∠BCD＝4α，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝，
又∵∠CBE＝∠MDC
∴∠ADM＝90°﹣＝2α，
∴∠BCH＝α，∠ECH＝3α，
∴＝＝．
同理，当H点位于H′时，∠DCH′＝α，
＝＝5，
∴的值为或5．
9．（2022春•凤泉区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案为：45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．
理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∴∠OEA+∠OFC＝80°，
∴∠OEA+2∠PFC＝160°．
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