【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题13 因式分解（七大类型）（原卷版+解析版）

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题型归纳
专题13 因式分解（七大类型）


题型一：因式分解-提公因式
题型二：因式分解-公式法
题型三：因式分解-提公因式+公式法
题型四：因式分解-十字相乘法
题型五：因式分解-分组分解
题型六：因式分解巧用
题型七：材料阅读题-配方法典例分析


【题型一：提公因式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期末）因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．


【变式1-1】（2022•中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝　　．
【变式1-2】（2022•滨海县模拟）将多项式2a2﹣6ab因式分解为 　　．
【变式1-3】（2019秋•西城区校级期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）


【题型二：公式法】
【典例2】（2022秋•石狮市期末）因式分解：x2﹣4y2；

【变式2-1】（2022秋•洪山区校级期末）分解因式：1﹣36b2；


【变式2-2】（2022秋•青浦区校级期末）分解因式：（x2﹣5xy）2﹣16y4．


【变式2-3】（2022秋•沙洋县期末）因式分解：
（x2+y2）2﹣4x2y2；


【题型三：提公因式+公式法/十字相乘法】
【典例3】（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．



【变式3-1】（2022秋•石狮市期末）因式分解：3ax2﹣6ax+3a．



【变式3-2】（2022秋•洪山区校级期末）分解因式：2x2﹣12x+18．



【变式3-3】（2022秋•洪山区校级期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）x2y+2xy+y．


【变式3-4】（2022秋•宁阳县期末）因式分解：
（1）ax2﹣ay4；
（2）（a2+1）2﹣4a2．


【变式3-5】（2023•襄州区开学）分解因式：
（1）a3﹣25a；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3．



【变式3-6】（2022秋•南岳区期末）因式分解：
（1）a2b﹣10ab+25b；
（2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）．



【变式3-7】（2022秋•梅里斯区期末）因式分解：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）﹣a+a3．


【变式3-8】（2022秋•鼓楼区校级期末）分解因式：
（1）4a2﹣24ab+36b2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．




【变式3-9】（2022秋•海门市期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．


【变式3-10】（2022秋•梁子湖区期末）分解因式：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）4m2﹣16n2．



【题型四：十字相乘法】
【典例4】（2021•北碚区校级开学）分解因式
（1）x2﹣4x﹣12； （2）x2﹣4x﹣5．




（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2． （4） 3x2﹣19x﹣14．






【变式4】（2021春•岑溪市期末）分解因式
（1）m2﹣4m﹣5． （2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8



【题型五：分组分解法】
【典例5】（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．





【变式5-1】（2022秋•庐江县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、运用公式法．有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式．如分解因式：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决以下问题：△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．







【变式5-2】（2022秋•福清市期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．
如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）．
再如“3+1”分法：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
利用上述方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16．
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2+bc﹣ab＝ac，判断△ABC的形状，并说明理由．


【变式5-3】（2022秋•宛城区期末）【方法阅读】
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式x2﹣4y2+2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：x2﹣4y2+2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）分成两组
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）分别分解
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
【数学思考】
（1） 关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是 　 　．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
（2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①x2﹣y2+x+y＝　 　．
②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝　 　．
【问题解决】
（3）利用分组分解法进行因式分解：4x2+4x﹣y2+1．


【题型六：因式分解的巧用】
【典例6】（2022秋•青县期末）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）

A．2560 B．490 C．70 D．49
【变式6-1】（2022秋•文登区期末）如果多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），则m，n的值分别为（　　）
A．24，﹣8 B．﹣5，﹣3 C．﹣6，2 D．6，﹣2
【变式6-2】（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）A
A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1
【变式6-3】（2022秋•韩城市期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游

【变式6-4】（2022秋•天山区校级期末）已知a﹣b＝6，则a2﹣b2﹣12b+1的值为（　　）
A．36 B．25 C．26 D．37
【变式6-5】（2022秋•大兴区校级期末）若x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则nm的值为（　　）
A．﹣6 B．8 C． D．
【变式6-6】（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150
【典例7】（2022秋•长春期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 　 　；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝　 　．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．






【变式7-1】（2022秋•辛集市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 　 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　 　张，3号卡片 　 　张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 　 　；
（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 　 ．
【变式7-2】（2022春•新吴区期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝25，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小红同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）长方形，则x+y+z＝　 　．


【变式7-3】（2022春•市中区校级期中）【数学实验探索活动】
实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．
例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 　　张，长方形纸片 　　张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．










【变式7-4】（2022春•左权县期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现：
小明计算下面几个题目：
①（x+2）（x﹣4）；②（x﹣4）（x+1）；③（y+4）（y﹣2）；④（y﹣5）（y﹣3）后发现，形如（x+p）（x+q）的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：（x+p）（x+q）＝　 　+　　 x+　 　．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算（x+p）（x+q）发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出如图，说明他发现的规律．

（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：x2﹣7x+10．
（4）拓展提升：
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．




【题型七：材料阅读题-配方法】
【典例8】（2023春•拱墅区月考）阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+　 　．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若M＝﹣a2+2a﹣1，求M的最大值．


【变式8-1】（2021秋•康定市期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+4a+3．
解：原式＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）．
②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值．
解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．
∵（a﹣1）2≥0，∴当a＝1时，M有最小值5．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）利用上述方法分解因式：x2﹣6x+8；
（2）若，求M的最小值．



【变式8-2】（2022秋•上海期末）阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．


【变式8-3】（2022秋•衡山县期末）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2+　　 +36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2　 　；
（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27（注意：用其它方法不给分）；
（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．

【变式8-4】（2022秋•顺平县期末）问题情境：我们知道形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如（1）分解因式x2﹣2x﹣3．
原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣4＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）；
例如（2）求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
解决问题：
（1）若多项式x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 　 　；
（2）分解因式：x2+8x+7；
（3）求代数式﹣x2﹣12x+9的最大或最小值．