【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版七年级数学下册讲学案-专题16 解分式方程（两大类型）（原卷版+解析版）

  专题16 解分式方程（两大类型）

【典例1】（2022秋•文登区期中）解方程：

（1）；               （2）．

【解答】解：（1）去分母得：5（2x+1）＝x﹣1，

解得：x＝﹣，

检验：把x＝﹣代入得：（x﹣1）（2x+1）≠0，

∴分式方程的解为x＝﹣；

（2）去分母得：x（x+2）﹣x2+4＝8，

解得：x＝2，

检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，

∴x＝2是增根，分式方程无解．

【变式1-1】（2022秋•房山区期中）解方程：＝3．

【解答】解：去分母得：x+x﹣4＝3（x﹣2），

解得：x＝2，

检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，

∴x＝2是增根，分式方程无解．

【变式1-2】（2022秋•莱州市期中）解分式方程：

（1）﹣＝1              （2）3﹣＝．

【解答】解：（1）方程两边同乘（x+1）（ x﹣1），

得（x+1） 2+2＝（x+1）（ x﹣1），

解方程，得x＝﹣2，

经检验，x＝﹣2是原方程的根；

（2）方程两边同乘以（x﹣2），

得3（x﹣2）﹣（x﹣1）＝﹣1，

解方程，得x＝2，

经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．

【变式1-3】（2022秋•岳阳县校级月考）解方程：

（1）；                  （2）．

【解答】解：（1），

﹣＝1，

方程两边都乘以2x﹣5，得x﹣5＝2x﹣5，

解得：x＝0，

检验：当x＝0时，2x﹣5≠0，

所以x＝0是原方程的解，

即原方程的解是x＝0；

（2），

＝，

方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得2x＝x﹣1，

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，

所以x＝﹣1是增根，

即原方程无解．

【典例2】（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题

解方程：．

解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，

解得：y＝±2，

经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，

当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　     　；

（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　      　；

（3）模仿上述换元法解方程：．

【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；

（2）将代入方程，则原方程可化为；

（3）原方程化为：，

设，则原方程化为：，

方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0

解得：y＝±1，

经检验：y＝±1都是方程的解．

当y＝1时，，该方程无解；

当y＝﹣1时，，解得：；

经检验：是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为．

【变式2-1】（2022春•普陀区校级期中）用换元法解方程：x2﹣x﹣＝4．

【解答】解：x2﹣x﹣＝4，

设x2﹣x＝a，则原方程化为：

a﹣＝4，

方程两边都乘a，得a2﹣12＝4a，

即a2﹣4a﹣12＝0，

解得：a＝6或﹣2，

当a＝6时，x2﹣x＝6，

即x2﹣x﹣6＝0，

解得：x1＝3，x2＝﹣2，

当a＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，

即x2﹣x+2＝0，

Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，

所以此方程无实数根，

经检验x1＝3和x2＝﹣2都是原方程的解，

即原方程的解是x1＝3，x2＝﹣2．

【变式2-2】（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．

解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．

解得y1＝3，y2＝﹣1．

当y＝3时，x2+1＝3，

∴x＝±．

当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．

∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．

我们将上述解方程的方法叫做换元法，

请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．

【解答】解：（）2﹣2（）﹣8＝0，

设＝a，

则a2﹣2a﹣8＝0，

解得a＝﹣2或a＝4，

当a＝﹣2时，＝﹣2，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解，

当a＝4时，＝4，解得x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解，

∴原分式方程的解是x1＝，x2＝﹣

1．（2023•碑林区校级四模）解方程：．

【答案】x＝．

【解答】解：，

去分母得：2x（x﹣2）﹣（2x+1）＝（2x+1）（x﹣2），

去括号得：2x2﹣4x﹣2x﹣1＝2x2﹣4x+x﹣2，

移项得：2x2﹣2x2﹣4x﹣2x+4x﹣x＝﹣2+1，

合并同类项得：﹣3x＝﹣1，

系数化为1得：，

经检验是原方程的根．

2．（2023春•金安区校级期中）解方程：．

【答案】x＝﹣13．

【解答】解：，

去分母得：6（x+3）＝4（x﹣2），

解得：x＝﹣13，

经检验：x＝﹣13是原方程的解．

3．（2023春•吴江区校级月考）解方程：

（1）＝；

（2）＝﹣1．

【答案】（1）x＝6；

（2）x＝．

【解答】解：（1）＝，

2x＝3（x﹣2），

解得：x＝6，

检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，

∴x＝6是原方程的根；

（2）＝﹣1，

4＝（x+2）（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），

解得：x＝，

检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，

∴x＝是原方程的根．

4．（2023春•洛宁县期中）解方程：

．

．

【答案】（1）原方程无解．

（2）原分式方程的解是x＝2．

【解答】解：，

两边乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）＝x﹣1，

解得：x＝2，

检验x＝2时，x﹣2＝0，

∴x＝2是原分式方程的增根；

∴原方程无解．

，

方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），

解得x＝2，

检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，

∴x＝2是原方程的解，

∴原分式方程的解是x＝2．

5．（2023春•张家港市校级月考）解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）无解；

（2）x＝2．

【解答】解：（1），

x+2＝4，

解得：x＝2，

检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，

∴x＝2是原方程的增根，

∴原方程无解；

（2），

2x+1＝5（x﹣1），

解得：x＝2，

检验：当x＝2时，（x﹣1）（2x+1）≠0，

∴x＝2是原方程的根．

6．（2023春•江阴市期中）（1）计算：；

（2）解方程：＝﹣3．​​

【答案】（1）1；

（2）无解．

【解答】解：（1）原式＝﹣

＝

＝1；

（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，

解得：x＝2，

检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，

∴x＝2是原方程的增根，原方程无解．

7．（2023春•锡山区期中）解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）x＝1．

（2）无解．

【解答】解：（1）方程两边同时乘x（x+1），

得2x﹣（x+1）＝0，

化简，得x﹣1＝0，

解得x＝1．

检验：把x＝1代入x（x+1），得1×2＝2≠0，

∴原分式方程的解为x＝1．

（2）方程两边同时乘x﹣4，

得﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，

化简，得﹣3+2x﹣8＝1﹣x，

整理，得3x＝12，

解得x＝4．

检验：把x＝4代入x﹣4，得4﹣4＝0，

∴原分式方程无解．

8．（2023春•工业园区校级期中）解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）无解；

（2）x＝0．

【解答】解：（1），

﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，

解得：x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣4＝0，

∴x＝4是原方程的增根，

∴原方程无解；

（2），

（x+1）2﹣2＝x2﹣1，

解得：x＝0，

检验：当x＝0时，x2﹣1≠0，

∴x＝0是原方程的根．

9．（2023春•沙坪坝区校级期中）解方程：

（1）+＝1；

（2）+＝．

【答案】（1）无解；

（2）x＝3．

【解答】解：（1）+＝1，

去分母，得3﹣x﹣1＝x﹣2，

解得x＝2，

经检验，x＝2是原方程的增根，

∴原分式方程无解；

（2）+＝，

去分母，得3+2（x﹣2）＝x+2，

解得x＝3，

经检验，x＝3是原方程的根，

∴x＝3．

10．（2022秋•武昌区期末）解分式方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）x＝﹣6；

（2）分式方程无解．

【解答】解：（1），

方程两边都乘x（x+2），得2x＝3（x+2），

解得：x＝﹣6，

检验：当x＝﹣6时，x（x+2）≠0，

所以分式方程的解是x＝﹣6；

（2），

方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得4﹣（x+1）2＝﹣（x2﹣1），

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，

所以x＝1是增根，

即分式方程无解．

11．（2021春•渝中区校级月考）解分式方程：

（1）+1＝﹣；

（2）+＝．

【答案】（1）x＝﹣1是原方程的根    （2）x＝﹣是原方程的根

【解答】解：（1）方程两边都乘以x（x﹣1）得：（1﹣x）（x﹣1）+x（x﹣1）＝﹣2，

解得：x＝﹣1，

检验：当x＝﹣1时，x（x﹣1）≠0，

∴x＝﹣1是原方程的根；

（2），

方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：2（x﹣1）﹣3x＝x+1，

解得：x＝﹣，

检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，

∴x＝﹣是原方程的根．

12.（2021春•虹口区校级期末）﹣＝1．

【答案】原方程的解为x＝﹣5

【解答】解：去分母得：2x（x+1）﹣12＝x2﹣x﹣2，

去括号得：2x2+2x﹣12＝x2﹣x﹣2，

移项合并同类项得：x2+3x﹣10＝0，

解得x1＝﹣5，x2＝2，

经检验，当x＝2时x2﹣x﹣2＝0，当x＝﹣5时x2﹣x﹣2≠0，

∴原方程的解为x＝﹣5．

13.（2021•碑林区校级模拟）解方程：﹣＝1．

【答案】x＝4是原分式方程的解

【解答】解：整理，得：，

方程两边同时乘以x（x﹣2），得：x2﹣8＝x（x﹣2），

去括号，得：x2﹣8＝x2﹣2x，

移项，合并同类项，得：2x＝8，

系数化1，得：x＝4，

检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，

∴x＝4是原分式方程的解