【期末满分攻略】2022-2023学年浙教版八年级数学下册讲学案-专题09 三角形中位线题型方法归纳（5大类型）

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 专题09 三角形中位线题型方法归纳（5大类型）
知识梳理



1.三角形定义：
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图：DE是△ABC的中位线。
符号语言
说明：（1）一个三角形有3条中位线
（2）定义有双重性：即是性质，也是判定
（3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段．
2.三角形中位线性质定理
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
符号语言：（重点，书上记了）
说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。
（2）常用辅助线：见中点，构造中位线。
（3）分离基本图形：全等，平行四边形
证明（转化思想，常用辅助线）
证明1：
如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.-------（中线加倍，构造全等）

∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE（SAS）
∴AD=FC ∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又∵AD=DB
∴BD∥CF，BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC

证明2：
如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AF
∵AE=CE DE=EF
∴四边形ADCF为平行四边形
∴AD∥CF,AD=CF
∵AD=BD
∴BD∥CF,BD=CF
∴四边形BCFD为平行四边形
∴BC∥DF,BC=DF
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
3. 中位线的应用：
（1）中点三角形
定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.
性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等
（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。

（2）中点四边形
定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线）
∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点
∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线
∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD
∴EH平行等于GF
∴EFGH是平行四边形
（2）中的四边形周长是原四边形对角线之和。
（3）中点四边形面积是原四边形面积的二分之一。
结论：
任意四边形中点连线连成的四边形总是平行四边形，菱形中点连线所得的图形是矩形，正方形中点连线所得的图形是正方形，矩形中点连线所得的图形是菱形，等腰梯形中点连线所得的图形是菱形。这个定义同样适用于凹四边形和折四边形。
总结为：
任意四边形-------平行四边形
平行四边形-------平行四边形
矩形-------菱形
菱形-------矩形
正方形-------正方形
等腰梯形-------菱
规律：顺次连接各边中点所得的四边形(中点四边形只与原四边形的对角线有关）
若原四边形对角线相等,则中点四边形为菱形;
若原四边形对角线互相垂直,则中点四边形为矩形;
若原四边形对角线互相垂直又相等,则中点四边形为正方形.
所以:
(1)平行四边形的对角线没有以上特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(2)直角梯形对角线也没有上面的特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形;
(3)等腰梯形的对角线相等,故其中点四边形为菱形.

结论：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线，必平分三角形的第三边。（6种中辅助线方法，掌握本质）

典例分析
辅助线本质：通过添加辅助线，构造基本图形




【典例1】（2023春•广水市月考）如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴∠EDF＝∠C＝75°．
故选：C．
【变式1-1】（2023春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，若DE＝2，则BC的长度为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵D、E分别为边AB，AC的中点，DE＝2，
∴BC＝2DE＝4，
故选：D．
【变式1-2】（2022•湖北模拟）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　）

A．25 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC＝20，
∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴EF＝AB，DF＝AC，DE＝BC，
∴EF+DF+DE＝（AB+AC+BC）＝10，
∴△DEF的周长＝EF+DF+DE＝10，
故选：C．
【典例2】（2023春•江阴市校级月考）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　）

A．10 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过D点作DF∥BE，

∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴∠AGB＝∠DGB＝90°，∠ABG＝∠DBG，
∵BG＝BG，
∴△ABG≌△DBG（ASA），
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝．
故选：B．
【变式2-1】（2023•泰山区校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【解答】解：延长CE，交AB于点F．
∵AE平分∠BAC，AE⊥CE，
∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC，
在△EAF与△EAC中，
，
∴△EAF≌△EAC（ASA），
∴AF＝AC，EF＝EC，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴BF＝2DE＝2．
∴AC＝AF＝AB﹣BF＝7﹣2＝5；
故选：C．

【变式2--2】（2022•任城区校级三模）如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（　　）

A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝AB+DC＝12，即AB+4＝12．
∴AB＝8．
故选：D．

【典例3】（2022•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【解答】解：延长AF、BC交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ASA），
∴CG＝AC＝7，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF＝BG＝1.5，
故选：A．

【变式3-1】（2018•碑林区校级四模）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD和AE分别是△ABC的一条角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
【答案】C
【解答】解：延长CF交AB于G，
∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG＝AC，
∵AC＝3，
∴AG＝AC＝3，FG＝CF，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF＝BG，
∵AB＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2．
∴EF＝1．
故选：C．

【变式3-2】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：延长AC，BE交于点M，
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°，∠CAE＝∠BAE，
∴AB＝AM＝10，BE＝EM，
∵AC＝6，
∴CM＝AM﹣AC＝10﹣6＝4，
∵点F是BC的中点，BE＝EM，
∴EF为△BCM中位线，
∴EF＝CM＝2．
故选：A．

【变式3-3】（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图，

∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠ABE＝∠AFE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF＝AB＝5，点E是BF的中点，
∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，DE是△BCF的中位线，
∴．
故选：A．
【典例4】（2022•山西模拟）一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是6cm，则最长的斜边CD的长为（　　）

A．3cm B．8cm C．8cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：连接AM，
∵点E和F分别为MN和AN边的中点，
∴AM＝2EF，
∵EF的最小值是6cm，
∴AM的最小值是12cm，
由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，
∴AB＝12cm，
∴AC＝AB＝12cm，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
则CD＝＝＝8（cm），
故选：D．

【变式4-1】（2022秋•临淄区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，

理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC•BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
【典例5】（2022春•新洲区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝12，点E是BC上一点，BE＝6，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN的值为（　　）

A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点，
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线，
∴NF∥BE，MF∥AD，NF＝BE＝3，MF＝AD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵MF∥AD，
∴MF⊥BC，
∵NF∥BE，
∴NF⊥MF，
在Rt△MNF中，由勾股定理得：MN＝＝＝3，
故选：D．

【变式5-1】（2021春•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　）

A． B．5 C． D．10
【答案】B
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故选：B．
【变式5-2】（2023•榆阳区校级一模）如图，在四边形ABCD中，连接AC，∠DAB与∠B互余，PM、PN分别是△ADC、△CBA的中位线，连接MN，PM＝PN，若AB＝5，CD＝2，则线段AD的最小值为 　 　．

【答案】
【解答】解：如图，延长AD，BC交于点H，连接HM，HN，
∵∠DAB与∠B互余，
∴∠DAB+∠B＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∵PM、PN分别是△ADC、△CBA的中位线，
∴，PM∥AD，PN∥BC，
∴PM⊥PN，
即∠MPN＝90°，
∵PM＝PN，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在Rt△HAB中，AB＝5，
∴，
在Rt△HDC中，CD＝2，
∴，
∵，
∴MN最小值为，
即AD最小值为，
故答案为：．

【变式5-3】（2023•邗江区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，D为AC延长线上一点，且已知AD＝8，E为BC上一点，BE＝2，若M为线段AB的中点，N为DE的中点，则线段MN的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，MF与BC相交于G，过点N作NH⊥MF于H，如图，
∵N、F分别是DE、BD的中点，
∴NF∥BE，NF＝BE＝×2＝1，
∵M、F分别是AB、BD的中点，
∴MF∥BE，MF＝AD＝×8＝4，
∵∠ACB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∵MF∥BE，
∴∠BGF＝∠DCB＝60°，
∵NF∥BE，
∴∠NFG＝∠BGF＝60°，
∵NH⊥MF，
∴∠NHF＝90°，
∴∠FNH＝30°，
∴HF＝NF＝，
∴MH＝MF﹣HF＝4﹣＝，
在Rt△FHN中，NH＝，
在Rt△MHN中，MN＝，
故答案为：．
真题精练




1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
∵AD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝5cm，CD＝FD，
∴BF＝AB﹣AE＝9﹣5＝4cm，
∵CD＝FD，点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝BF＝2cm，
故选：B．

2．（2021春•江岸区校级月考）如图，△ABC中，AB＝8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点，若DE＝10，则AC的长为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【解答】解：延长BA、CD交于点F，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴CD＝DF，AC＝AF，
∵CD＝DF，CE＝EB，
∴BF＝2DE＝20，
∴AF＝BF﹣AB＝20﹣8＝12，
∴AC＝AF＝12，
故选：A．

3．（2023•南海区校级模拟）如图梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，并连接EF，线段EF与线段AD、BC间的数量关系（　　）

A．EF＝AD+BC B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接AC，与线段EF相交于G，
∵梯形ABCD中，取AB的中点E，CD的中点F，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△ADC的中位线，
∴，
故选：B．

4．（2022春•西山区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，CD＝，∠C＝30°，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP，取AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值（　　）

A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
则当点P与点E重合时，DP最小，
在Rt△CDE中，∠C＝30°，CD＝，
则DE＝CD＝，
∵M为AD中点，N是AP中点，
∴MN＝DP，
∴线段MN的最小值为，
故选：A．

5．（2020•安庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，CD⊥AB于D，E为BC中点，F为CD上一动点，P为AF中点，连接PE，则PE的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【解答】解：当点F与点D重合时，FA的中点为P′，当点F与点C重合时，FA的中点为P′′，
连接EP′、EP′′、P′P′′，
则P′P′′∥CD，EP′′∥AB，
∵CD⊥AB，
∴EP′′⊥P′P′′，
由题意得，点P在P′P′′上运动，
∵EP′′⊥P′P′′，
∴点P在P′′位置时，PE最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，
则AB＝2，
∴EP′′＝AB＝，
故选：C．

6．（2023•郧西县模拟）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（　　）

A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
【答案】A
【解答】解：连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF＝AQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．

7．（2022春•丹江口市期中）如图，四边形ABCD中，AB＝6，CD＝8，E，F分别是AD，BC的中点，则EF长x的取值范围为（　　）

A．6＜x＜8 B．2＜x＜14 C．1＜x≤7 D．3＜x＜4
【答案】C
【解答】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，

∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BAF与△CGF中，
，
∴△BAF≌△CGF（SAS），
∴AB＝CG，
∵AB＝6，CD＝8，
∴8﹣6＜DG＜8+6，
当∠ABC＝∠DCB＝90°时，G，D，C三点共线，
∴2＜DG≤14，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，EF长x的取值范围为：1＜x≤7．
故选：C．

8．（2022•东胜区一模）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，点D是△ABC外一点，AD⊥BD，且AD平分∠BAC，连接DE．若AB＝10，DE＝2，则AC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：延长AC、BD交于点H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA），
∴AH＝AB＝10，BD＝DH，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝＝2，
∴CH＝4，
∴AC＝AH﹣CH＝10﹣4＝6，
故选：D．

9．（2022春•南宁期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，
∵M为BC中点，
∴DM是△BCF的中位线，
∴DM＝CF＝2．
∴CF＝4．
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴AF＝AB，BD＝DF，
∵AC＝9，
∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，
∴AB＝5．
故选：B．

10．（2022•龙岩模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7；AB＝3，则DE的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：延长BD交AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠FAD，
在△BAD和△FAD中，
，
∴△BAD≌△FAD（ASA），
∴AF＝AB＝3，BD＝DF，
∴CF＝AC﹣AF＝4，
∵BD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝CF＝2，
故选：C．

11．（2022•合肥一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）．
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝3，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝HC＝，
故选：D．

12．（2022春•城厢区期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，过点C作AB的平行线，与∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，延长FE交AC于G，
∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10．
∵AB∥CD，AD是∠BAC的平分线，
∴∠D＝∠DAB，∠DAB＝∠DAC．
∴∠D＝∠CAD．
∴AC＝CD＝10．
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴FG是△ABC的中位线，EG是△ABC的中位线．
∴FG＝DC＝5，EG＝AB＝3．
∴EF＝FG﹣EG＝2．
故选：C．

13．（2022春•荷塘区期末）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（　　）

A．60 B．48 C．30 D．15
【答案】C
【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD中点，
∴BD＝2EF＝12，
∵CD2+BD2＝25+144＝169，BC2＝169，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC＝BD•CD＝×12×5＝30，
故选：C．

14．（2022•安徽二模）如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解答】解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，

∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，
∴AG＝AC，GE＝CE，
同理可得，AB＝AH，BD＝HD，
∵BF＝CF，BD＝HD，
∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，
∴DF＝CH，
∵GE＝CE，BF＝CF，
∴EF＝BG，
∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，
∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，
∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，
过G作GI⊥BH于I，
∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，
∴四边形GIDE是矩形，
∴GI＝ED，
∴BG＞GI＝ED，
∴AB﹣AC＞DE，故③错误；
∵EF∥BG，DF∥HC，
∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，
∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，
∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，
∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；
故选：C．
15．（2023春•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为 　 　．

【答案】2
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中线，
∴，
∵BC＝12，
∴DE＝6，
在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，
∴，
∴DF＝DE﹣EF＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
16．（2022秋•德化县期末）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，若AC＝8，BC＝5，则EF的长为 　 　．

【答案】1.5
【解答】解：如图，延长AF，CB交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠GCF，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠GFC＝90°，
在△ACF和△GCF中，
，
∴△ACF≌△GCF（ ASA），
∴CG＝AC＝8，AF＝FG，
∴BG＝CG﹣CB＝8﹣5＝3，
∵AE＝EB，AF＝FG，
∴EF为△ABG的中位线，
∴，
故答案为：1.5．

17．（2022春•南岗区校级期中）如图，△ABE中，∠B＝60°，D为AB上一点，C为BE延长线上一点，连接CD、AE，取AE中点F，取CD中点G，连接FG，若AD＝8，CE＝10，则FG＝　 　．

【答案】
【解答】解：连接AC，取AC中点M，连接MF、MG，作GN⊥MF于N．
∵G为CD的中点，
∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，
∵∠B＝60°，
∴∠FMG＝60°，
∴∠MGN＝30°，
∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，
∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，
∴FG＝＝＝．

18．（2022春•宝应县期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 　 ．

【答案】0＜S≤4.5　
【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，

∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，
∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，
∴S△PMN＝PN•ME＝1.5ME，
∵AB与CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0．
∵ME≤MP＝3．
∴0＜S△≤4.5．
故答案是：0＜S≤4.5．
19．（2022•上蔡县模拟）若将三个如图1所示的直角三角形拼成如图2所示的图形，在图2中标记字母，并连接AE，CD，G，H分别为AE，CD的中点，连接GH，如图3所示．若AC＝2，则GH的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：根据题意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，
∴BC＝BC＝CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
如图，取CE的中点Q，连接GQ，HQ，过点G作GN⊥HQ于点N，

∵G，H分别为AE，CD的中点，
∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，
∴∠GQC+∠ACQ＝180°，
∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AB＝DE＝2AC＝4，
∵H是CD中点，Q是CE中点，
∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，
∴∠HQC＝∠CEF＝90°，
∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，
∵GN⊥HQ，GQ＝1，
∴NQ＝GQ＝，
∴GN＝，
∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，
∴GH＝＝＝．
故答案为：．
20．（2019•铁西区二模）如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为　 　．

【答案】
【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．

∵BD∥CH，
∴∠B＝∠NCH，
∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD＝CH，DN＝NH，
∵BD＝EC＝2，
∴EC＝CH＝2，
∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，
∴∠ECH＝120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，
∴EH＝2EJ＝2，
∵DM＝ME，DN＝NH，
∴MN＝EH＝．
故答案为．
21．（2022春•大丰区校级月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．

【解答】（1）证明：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH，
∴BD＝HD，又E为BC的中点．
∴DE∥AC；
（2）解：∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC﹣AH＝2，
∵BD＝HD，又E为BC的中点，
∴DE＝CH＝1．

22．（莘县期中）如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．
试说明：（1）DE∥BC；（2）DE＝（BC﹣AC）．

【解答】证明：延长AD交BC于F．
（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠FDC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠FCD．
在△ACD与△FCD中，
∠ADC＝∠FDCDC＝DC∠ACD＝∠FCD，
∴△ACD≌△FCD．
∴AC＝FCAD＝DF．
又∵E为AB的中点，
∴DE∥BF，
即DE∥BC．

（2）由（1）知AC＝FC，DE＝BF，
∴DE＝（BC﹣FC）＝（BC﹣AC）．

23．（老河口市期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．
求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）
（2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度．

【解答】（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，H分别是AD，BD的中点，
∴EH∥AB，EH＝AB，
∴∠BME＝∠HEF，
∵F，H分别是BC，BD的中点，
∴FH∥CD，FH＝CD，
∴∠CNE＝∠HFE，
∵AB＝CD
∴HE＝FH，
∴∠HEF＝∠HFE
∴∠BME＝∠CNE；

（2）解：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH＝AB，FH＝CD，FH∥AC，
∴∠HFE＝∠FEC＝45°，
∵AB＝CD＝2，
∴HF＝HE＝1，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°，
∴．


24．（碑林区校级月考）（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有　 ．
（2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长．

【解答】解：（1）在△ABC中，DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：DE∥BC，DE＝BC；
（2）取BC的中点H，连接EH、FH，
∵点E为BD的中点，点H为BC的中点，
∴EH＝CD＝3，EH∥CD，
∴∠EHB＝∠BCD＝40°，
同理，FH＝AB＝2，FH∥AB，
∴∠FHC＝∠ABC＝50°，
∴∠EHF＝90°，
由勾股定理得，EF＝＝．