黑龙江省2022-2023学年高三第三次模拟考试理科数学试卷（含解析）

黑龙江省2022-2023学年高三第三次模拟考试理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知复数是虚数单位对应的点在复平面内第二象限，且，则

A． B． C． D．

2．全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

5．下列命题正确的个数是（    ）

①

②若，，则；

③不等式成立的一个充分不必要条件是或；

④若、、是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（    ）

A．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍

C．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍

D．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一

7．若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则

A． B． C． D．

9．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知向量 满足，则向量在向量方向上的投影向量为（     ）

A． B．1

C．-1 D．

12．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，若与夹角为钝角，则实数取值范围是___________.

14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为___________.

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

15．过抛物线的焦点F作斜率为的直线l，交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B处的两条切线交于点M，则______．

三、双空题

16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深与时间之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．

四、解答题

17．（1）已知数列的前n项和Sn=n2+n，求数列的通项公式；

（2）设数列的首项为a1=1，递推公式为an=1+ ，写出这个数列的前5项

18．如图，已知四棱锥的底面是矩形，平面分别是棱的中点．

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面夹角的大小．

19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．

(1)求甲在局以内（含局）赢得比赛的概率；

(2)记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）．

20．点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.

（1）求点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为，过的直线与曲线交于点，与抛物线交于点，设，记与面积分别是，求的取值范围.

21．已知函数，.

(1)求函数的单调区间和最值；

(2)求证：当时；当时，；

(3)若存在，使得，证明.

22．已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点，焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．A

【详解】试题分析：，，对应点在第二象限，则，所以．故选A．

考点：复数的运算．

2．D

【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．

【详解】，，∴.

∵，∴.

故选：D．

3．B

【分析】首先根据三角函数定义得到，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.

【详解】角的终边经过点，，所以.

.

故选：B

4．C

【分析】根据给定条件求出幂指数n的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解.

【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即，

于是得的展开式的通项为，

依题意得：，化简得，

所以的值为8.

故选：C

5．B

【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；

【详解】解：对于①，当，时，当且仅当时取等号，若、满足，显然，故①错误；

对于②，若，，则，故，故，故②正确；

对于③，使不等式，整理得，故或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故③正确；

对于④，不等式与的解集都为，但是，

若，则不等式与的解集不相同，

故若、、是全不为0的实数，则“”是

“不等式和解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．

故选：B．

6．C

【分析】根据统计图逐个分析判断即可

【详解】解：对于A，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A正确；

对于B，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，，所以B正确；

对于C，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为，所以C错误；

对于D，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而，所以D正确，

故选：C

7．D

【分析】结合二次函数的性质求解函数的单减区间为，即，列出不等关系求解即可.

【详解】由题意，函数是开口向下的二次函数，对称轴为，

故函数的单减区间为，

即，故，

解得：，

则a的取值范围是.

故选：D

8．C

【分析】先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】因为为等比数列，所以，故即，

由可得或，因为为递增数列，故符合.

此时，所以或（舍，因为为递增数列）.

故，.

故选C.

【点睛】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：

（1）若，则；

（2）公比时，则有，其中为常数且；

（3） 为等比数列（ ）且公比为.

9．D

【分析】选项.由线面平行的性质可判断；选项.由线面平行的判定可判断；选项.由线面垂直的性质可判断选项.由线面垂直的判定定理可判断.

【详解】选项：,由，又，则由线面平行的性质可得，故正确．

选项：，由，，由线面平行的判定可得，故正确．

选项：由，则，又，所以，故正确．

选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故错误．

故选：

10．B

【分析】设球半径为，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.

【详解】设球半径为，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，

则，

所以，

故选：B.

11．A

【分析】根据给定条件，求出，再借助投影向量的意义计算作答.

【详解】因，则，令向量与向量的夹角为，

于是得，

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故选：A

12．A

【分析】画出函数的图象，使用换元法，令，并构造函数，通过的范围，可得结果.

【详解】当时，，则

令，则

令，则

所以函数在递增，在递减，

则，且当时，

函数图象如图，

关于的方程有四个不等实根

令，

则①，

所以

②，

由

则函数一个根在，另外一个根在中

所以

综上所述：

故选：A

【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.

13．

【分析】根据与夹角为钝角可得，求得的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.

【详解】根据题意可得：，

可得，

当，，与方向相反夹角为，不符题意，

所以且，

故答案为：.

14．0.1359

【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.

【详解】因长度误差（单位：毫米）服从正态分布，则，

于是得，，

所以.

故答案为：0.1359

15．4

【分析】先求出直线，设，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A，B处的切线方程，再求出点的坐标，进而可求出

【详解】抛物线的焦点为，则直线为，设

由，得，

则，

由，得，则过点的切线的斜率为，

所以过点的切线方程为，即，

同理可得过的切线方程，

两切线方程联立，得，得，

所以，

所以点的坐标为，

所以

故答案为：4

16．          4

【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出，再由最值计算出A和b，最后由最大值处的数据计算出，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.

【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.

设该函数表达式为，

由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟，

所以，

，，

则该函数的表达式为：.

由题可知，水深为米以上时安全，

令，

解得，

即安全时间为分钟，约4小时.

故答案为：；4.

17．（1）；（2）=，.

【分析】（1）Sn=n2+n，，两式相减即得解；

（2）利用递推公式直接求解.

【详解】解：（1）由题得Sn=n2+n，，

所以两式相减得，又,

所以适合.所以数列的通项公式为.

（2）由题得=1+，.

所以数列的前5项为=，.

18．(1)证明见详解；

(2)

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面与平面夹角公式可求得.

【详解】（1）

如图建系，

设平面的法向量为

所以不妨取

又

又平面，∥平面；

（2）由（1）知：,

设平面的法向量为，平面的法向量

所以不妨取

同理不妨取

设平面与平面夹角为

所以

19．(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.

（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

（1）

解：用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”， 表示“第局丙获胜”，

则

.

（2）

解：依题意的可能取值为、、，

所以，

，

，

所以的分布列为

所以

20．（1）（2）

【解析】（1）根据题意可得，化简即可求出；

（2）当直线的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于的关系式，求最值求值域即可，之后将直线的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.

【详解】（1）依题意有，

化简得：，故的方程为.

（2）依题意，

①当不垂直于轴时，设的方程是，

联立，得，

设， ，则，

；

联立得：，

设，，

则，，

，

则，

②当垂直于轴时，易知，，

此时

综上，的取值范围是.

【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.

21．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；

（2）设，求导，根据导数的正负，判断的单调性，结合，即可证明结论；

（3）作出函数，的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.

(1)

∵，

∴当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递减区间为.

∴函数的最大值为，无最小值.

(2)

证明：设，

则，

∴，当且仅当时等号成立，

∴函数单调递增，又，

∴当时，，即，

当时，，即.

(3)

证明：结合（1）（2）作出函数，的大致图象：

当时，；当时，，

令，则.

又∵二次函数的图象开口向下，最大值为，

∴存在，使得.

结合（2）的结论以及图象知，

∵函数的图象关于直线对称，

∴，

∴，

【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.

（2）根据已知条件设出直线AB方程及A，B的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于的

一元二次方程，根据韦达定理得出的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.

（1）

因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则

设双曲线C的方程为：，则

，所以焦点坐标为

双曲线C的渐近线为，

焦点到渐近线的距离为

，解得，

所以双曲线C的方程为.

（2）

显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，

由消去x得：，

当时，恒成立，

设，则

所以，

，

因此，

，

所以为定值0.

23．（1）；（2）.

【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集；

（2）由绝对值不等式的意义求出的最小值，得出关于的不等式，求解即可．

【详解】解：（1）由题知不等式，

即，

等价于，

或，

或；

解得或或，即或，

原不等式的解集为，，；

（2）由题知，

的最小值为，

，

解得，

实数的取值范围为，．