黑龙江省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

黑龙江省2022-2023学年高三第三次模拟考试

数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：__________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

3．已知，，且，，则的坐标为（    ）

A．（1，2） B．（－1，2） C．（1，－2） D．（－1，－2）

4．某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（    ）

A．总体中对平台一满意的消费人数约为

B．样本中对平台二满意的消费人数为

C．样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为

D．若样本中对平台三满意的消费人数为，则

5．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装相同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．14

6．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：

并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（    ）A．夜晚下雨的概率约为

B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为

C．有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关

D．出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨

7．已知椭圆（）与双曲线（，）具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．已知数列的首项为，且满足，其前项和为，则满足不等式的的最小正整数值为（    ）

A． B．10 C． D．

9．将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的单调递减区间为

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数图象的一个对称中心为点

10．已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．

其中是真命题的有（    ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

11．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．椭圆的左顶点､左焦点､上顶点分别为，若坐标原点关于直线的对称点恰好在直线上，则椭圆的离心率（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则常数项为__________.

14．已知直线与圆：相交于，两点，则面积为___________.

15．任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.

16．设是表面积为的球的球面上的五个点，平面，且四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________．

三、解答题

17．已知函数．

(1)解不等式，其中．

(2)在锐角中，，求的取值范围．

18．最近，新冠疫苗接种迎来高峰，市民在当地医院即可免费接种，根据国家卫生健康委员会的数据，我国总接种量排名世界第一，有望早日建立起全民免疫屏障.某医院抽取100位已接种疫苗的市民进行统计调查，将年龄按分组，得到如图所示的频率分布直方图，并从年龄落在两组内的市民中，按分层抽样方法抽取了6位市民进行跟踪调查.

(1)求图中市民年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若从上述6位市民中随机抽取2位市民进行不良反应调查，求这2位市民来自不同组的概率.

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．

(1)证明：平面PAC；

(2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由．

20．已知向量，.

（1）若向量，求实数的值；

（2）若向量满足，求的值.

21．设函数，.

(1)求曲线在点（2，g（2））处的切线方程；

(2)设，求h（x）的最小值；

(3)证明：.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．

(1)分别写出的普通方程与的直角坐标方程；

(2)将曲线绕点按逆时针方向旋转90°得到曲线，若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．

23．已知函数，的解集为.

（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；

（2）如果对于满足，，求证：.

参考答案

1．B

【分析】先分别计算化简两个集合，再进行交集运算.

【详解】,,

则,

故选：B.

2．A

【分析】先化简，再依据充分非必要条件的定义去判断二者的逻辑关系

【详解】由，可得或

则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“”

则“”是“”的充分非必要条件

故选：A

3．D

【分析】由平行排除两个选项，再由数量积小于0确定正确选项．

【详解】，B选项向量与不平行，同理C选项向量与不平行，

又，A选项也不合题意，只有D满足题意．

故选：D.

4．C

【分析】根据分层抽样比例，由扇形统计图和条形统计图的数据求解.

【详解】对于A：总体中对平台一满意的人数为，故选项错误；

对于B：样本中对平台二满意的人数约为，故选项错误；

对于C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：，故选项正确；

对于D：对平台三的满意率为，所以，故选项错误．

故选：.

5．A

【分析】分小明和小李两人一组，小明和小李再加1人三人一组，两种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】解：若小明和小李两人一组，则有种分配方法，

若小明和小李再加1人三人一组，则有种分配方法，

故不同的分配方案种数为种.

故选：A.

6．D

【分析】把频率看作概率，即可判断的正误；根据独立性检验可判断的正误，即得答案.

【详解】由题意，把频率看作概率可得：

夜晚下雨的概率约为，故正确；

未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为，故正确；

由，根据临界值表，可得有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故正确；

故错误.

故选：.

【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题.

7．B

【分析】由椭圆和双曲线的定义以及余弦定理解得，再由“1”的代换和基本不等式求得结果.

【详解】设P为第一象限的交点，

则由椭圆和双曲线的定义可知，

∴在△中由余弦定理得：

即：

∴，即：

∴

当且仅当，即时，取得最小值为3.

故选：B.

8．B

【分析】利用构造法可得数列的通项公式，以及前项和，解不等式即可.

【详解】由，即，

得，且，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，，

，

所以即为，

即，，，

所以，

故选：B.

9．D

【分析】根据三角函数的图象变换关系，求出的解析式，利用三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，

再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，

则的最小正周期，故A正确，

由，得，，

即函数的单调递减区间为，故B正确，

是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.

故选：D．

10．C

【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.

【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；

对于②，，，即，则，②正确；

对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；

对于④，当时，，，即，④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②．

故选：C

11．B

【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.

【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，

设，则由已知得：，由定义得：，故

在直角三角形中，，

，，从而得

，，求得

所以抛物线的方程为．

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.

12．B

【分析】根据角平分线的知识列方程，化简求得关于的方程，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【详解】依题意可知是的角平分线，

由角平分线性质可知，代入可得，

故，

构造函数

，所以在区间上递减.

，

由函数的零点存在性定理可知.

故选：B

13．

【分析】根据题意求出，再求出展开式的通项，令的指数等于0，从而可得出答案.

【详解】解：因为的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，

即，所以，

则展开式的通项为，

令，则，

所以常数项为.

故答案为：.

14．

【分析】计算出，结合圆心到直线的距离求得三角形的面积.

【详解】圆的圆心为，半径，

圆心到直线的距离为，

所以，

所以.

故答案为：

15．1

【分析】将化为三角形式表示，根据题设棣莫弗定理化简，即可得结果.

【详解】由，

所以，

而，

所以.

故答案为：1

16．##

【分析】把四棱锥补成一个长方体，知四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，求出球半径，设正方形边长为，由长方体性质求得棱锥的高，再由体积公式表示出棱锥的体积，然后利用导数求得最大值．

【详解】由题意把四棱锥补成一个长方体，如图，四棱锥的外接球即为该长方体的外接球，

设球半径为，由得，

设()，则，，

，

令，则，

设()，，

时，，单调递增，时，，单调递减，

所以，，

所以时，取得最大值为．

故答案为：．

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据得到，然后解不等式，可得求解即可；

（2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】（1）

，

，即，

，解得

故不等式的解集为.

（2）由题意可得且，可得，

∵，

∴，

，

∵，则，

∴．

故的取值范围为.

18．(1)36岁；

(2).

【分析】（1）由频率直方图求平均数即可；

（2）由分层抽样确定各组抽取人数，再应用列举法求概率.

（1）

由题意得，，即图中市民年龄的平均数为36岁.

（2）

从年龄落在两组内的市民中，按分层抽样方法抽取了6位学生，

年龄在的市民中抽取：位，设为，

年龄在的市民中抽取：位，设为，

从这6位市民中随机抽取2位进行不良反应调查，

样本空间为共有15个样本点，

设“这2位市民来自不同组”，则共8个样本点，

所以，这2位市民来自不同组的概率为.

19．(1)详见解析；

(2)详见解析.

【分析】（1）利用线面平行的判定定理即证；

（2）AE与BD的交点H即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面AEF∥平面PCG，进而即得．

【详解】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，

∴EF∥PC，

∵平面PAC，平面PAC，

∴EF∥平面PAC．

（2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点，

∵E、G分别是BC、AD中点，

∴AE∥CG，

∵平面PCG，CG⊂平面PCG，

∴AE∥平面PCG，

又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG，

∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，

∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF，

∴平面PCG.

20．（1）或；（2）.

【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列方程，由此求得的值.

（2）利用向量相等列方程组，解方程组求得，由此求得的值.

【详解】（1）∵，，

∴，.

∵，∴，

解得或.

（2）∵，

∴，

即，解得.

∴.

21．(1)

(2)0

(3)证明见解析

【分析】(1)先根据导函数，求出切线斜率，再根据点斜式，即可求解，

（2）令，再求导函数，令，得，所以在R上为增函数，从而求出有最小值，即可求解.

(3)根据（2）的结论，题意可转化为证明，再由切线放缩，题意可转化为证明，两边平方，即可证明.

(1)

由，，

即，且g（2）＝3，所以曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为，即，

(2)

由，得，

令，则，所以在R上为增函数，

注意到，则当x<0时，；当x>0时，，

所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，

所以x＝0是h（x）的极小值点，也是h（x）的最小值点，

故h（x）的最小值为h（0）＝0.

(3)

令.

由（2）得，从而（当且仅当x＝0时取等号），所以，要证，现只需证明，

而曲线在x＝2处的切线方程为.

因为（当且仅当x＝2时取等号），

所以成立，由此，即证.

而（当且仅当x＝2时取等号）.

所以成立.

综上，，即成立.

【点睛】本题考查利用导数证明不等式，要充分利用前面问题的结论，进切线放缩，才可求解。

22．(1)曲线的普通方程为；的直角坐标方程为.

(2)

【分析】（1）消去参数得曲线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式直接求解即可得的直角坐标方程；

（2）结合（1）得曲线为直线，倾斜角为，过点，进而写出曲线的参数方程，根据直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】（1）解：由题得，进而代入消去参数得曲线的普通方程为；

对方程两边同乘以得，

所以根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系得的直角坐标方程为

（2）解：由（1）知曲线表示直线，倾斜角为，

所以曲线为直线，倾斜角为，过点

所以曲线的参数方程为（为参数），

代入曲线得，

设A，B两点的参数分别为，则

所以得.

所以.

23．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据， 得到，再由的解集为，由求解，然后将存在，使成立，转化为成立，利用绝对值三角不等式求解.

（2）将，利用绝对值三角不等式转化为，再根据求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

又的解集为.

所以，

解得，此时，

所以.

因为存在，使成立，

所以成立，

因为，当时等号成立，

所以.

（2）由（1）知，

，

因为，

所以，于是，

所以.

【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及解集的应用，不等式有解，不等式证明和绝对值三角不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.