2022-2023学年广西柳州地区重点中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年广西柳州地区重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知定义在上的函数的图像如图，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  函数的单调递增区间是(    )

A. 和 B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙、丁四名志愿者去，，三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4.  已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若离散型随机变量的分布列如表所示．

则实数的值为(    )

A. 或 B.  C.  D. 或

6.  袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号、、、、；红球三个，分别编号、、，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次记恰好击中目标次的概率为；若击中目标记分，记门大炮总得分的期望值为，则，的值分别为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列函数求导正确的是(    )

A. 已知，则
B. 已知，则
C. 已知，则
D. 已知，则

10.  月日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则附：，，，(    )

A. 该校学生每周平均阅读时间为小时
B. 该校学生每周阅读时间的标准差为
C. 该校学生每周阅读时间不超过小时的人数占
D. 若该校有名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为

11.  已知等差数列的前项和为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知抛物线的焦点为，点在准线上，过点作的垂线且与抛物线交于，两点，则(    )

A. 最小值为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若点不在轴上，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中的常数项为______ 用数字作答
 

14.  曲线在点处的切线方程为______ ．

15.  现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 ______ ．

16.  若函数为自然对数的底数在的区间内有两个极值点，则实数的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，白粽个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取个．
求既有豆沙粽又有白粽的概率；
设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．

18.  本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．

19.  本小题分

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为中点．

求证：平面；

若，求直线与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
已知圆：，直线：．
设直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
设直线与圆相交于，两点，求弦中点的轨迹方程．

21.  本小题分
已知椭圆：，过点和点．
求的方程；
若圆的切线与交于点，，证明：．

22.  本小题分
已知函数为自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
若，，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：结合函数图象可知，当时，单调递减，即，
故选：．
先找出函数单调递减的范围，即可求求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，的定义域为，
由，得，
的单调递增区间为．
故选：．
求出导函数，由确定增区间．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步进行分析：
，先将甲、乙、丙、丁四名志愿者分成组，有种分法，
，将分好的三组对应分派到，，三个社区，有种情况，
则有种不同的安排方式；
故选：．
根据题意，分步进行分析：，先将甲、乙、丙、丁四名志愿者分成组，，将分好的三组对应分派到，，三个社区，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意先分组，再排列，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：已知的二项展开式中，通项公式为，
第项与第项的二项式系数相等，，．
令，可得所有项的系数之和为，
故选：．
由题意，根据二项式系数的性质，求出的值，再令，可得所有项的系数之和．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用离散型随机变量的分布列的性质直接求解．

【解答】

解：由离散型随机变量的分布列得：
，
解得．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
利用古典概率计算公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．
【解答】
解：袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号、、、、；
红球三个，分别编号、、，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量，
则．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：恒成立，排除，
当，，排除，
，即关于轴不对称，排除，
故选：．
根据函数的取值范围，利用极限思想，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用极限思想以及排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设门大炮击中目标的次数为，则根据题意可得，
门大炮总得分的期望值为，
，
故选：．
根据二项分布的期望及概率，即可分别求解．
本题考查二项分布的期望与概率，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：：，则，A正确；
：，则，B错误；
：，则，C错误；
：，则，D正确．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，所以对错；
因为该正态分布曲线关于直线对称，所以，所以对；
若该校有名学生，则每周阅读时间在小时的人数约为，所以对．
故选：．
根据该正态分布曲线关于直线对称及可解决此题．
本题考查正态分布，考查数学运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
由等差数列性质代入化简可求出，然后逐项判断即可．

【解答】

解：数列是等差数列，
，
故，，，故ABC正确；
，且无法求出，所以无法判断与的大小关系，故D错误，
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，准线方程为，
设，则，
点在横轴上时有最小值，选项A正确；
若，则根据抛物线的对称性可知点在横轴上，
将代入中，得，
，此时，
，选项B正确；
，显然点不在横轴上，
，
直线的方程为，将其代入抛物线方程中，
可得，设，，
则，
，
，选项C正确；
点不在轴上，由选项分析知，，
，
又，，选项D错误，
故选：．
根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，根与系数关系的应用，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：展开式的通项为，
令，得，
所以．
故答案为：．
利用二项展开式的通项即可求得的展开式中的常数项．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在处的切线方程为：
，即．
故答案为：．
根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
本题考查导数的几何意义，直线的点斜式方程，属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，．
故答案为：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在的区间内有两个极值点，
则在的区间内有两个解，即在的区间内有两个解，
令，则，
易得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，
又时，，且，
故，
故答案为：
由已知可得在的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可求．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用．
 

17.【答案】解：依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为．
的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列如下：

所以． 

【解析】根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案．
根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，

． 

【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
 

19.【答案】解：证明：连接交于点，则为中点，连接，

又为中点，
则在中，有，
又平面，平面，
所以，平面；
以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

因为，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】连接交于点，则为中点，连接，在在中，由中位线定理可得，然后根据线面平行的判定定理即可证明；
根据条件建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量的夹角公式计算即可．
本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：圆的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，因为，则，解得，
所以，，
故直线方程为或．
直线：，过定点，

设弦的中点，则，
所以，即，
所以弦的中点的轨迹方程为． 

【解析】由弦长得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出的值，得直线方程；
设动点，由几何关系得动点满足的向量关系，求得轨迹方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：椭圆：，过点和点，
则且，解得，椭圆方程为，
证明：当切线的斜率不存在时，得，
当 时，可得，
，故；
当时，同理可证；
当切线的斜率存在时，设：，
因为与圆相切，所以圆心到的距离为，
即，
联立，得，
设，，
，
，
故
，
由，得，
综上所述：，故． 

【解析】将点代入椭圆方程得到答案．
考虑切线斜率存在和不存在两种情况，根据相切得到，联立方程得到根与系数的关系，计算得到证明．
本题考查了椭圆方程，证明垂直关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为计算可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握，属中档题．
 

22.【答案】解：的定义域为，，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
故时，取得最小值，最小值为．
故，，故在恒成立，
故函数在单调递增．
不等式等价于，即，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，由在单调递增，
可知对任意恒成立，
等价于对任意恒成立，
当时，，又时，，
对任意恒成立，
综上所述：即对任意恒成立．
令，则，
故在上单调递增，，即，
综上所述：实数的取值范围为． 

【解析】求导得到，设，求导得到单调区间，计算最值确定，得到答案．
变换得到，令，求导得到函数的单调区间，考虑和两种情况，得到，设，求导得到单调区间，计算最值得到答案．
本题考查了利用导数求函数的单调性，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用同构的思想变换得到，再将题目转化为是解题的关键，属难题．