2023年湖南省衡阳市珠晖区里仁中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市珠晖区里仁中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知与互为相反数，则下列式子：，，，，其中一定成立的是(    )

A.  个 B.  个 C.  个 D.  个

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  我国成功完成兆帕超级钢的技术突破，打破了潜水艇材料的技术壁垒数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法中，正确的是(    )
的立方根是；
的算术平方根是；
的平方根为；
的平方根是．

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，不一定是轴对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正方形

6.  无论取什么数时，总是有意义的分式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题，假命题是(    )

A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

8.  如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是(    )

A. 正方体
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 四棱锥

9.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  若与成反比例，且时，，则比例系数是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，直线在平面直角坐标系中，轴，轴如果以为原点，点 的坐标为将点平移个单位长度到点，点的位置不变，如果以为原点，那么点的坐标可能是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  已知，则______．

15.  如果正边形的一个外角是，则的值为______ ．

16.  如图，直线，，则______

 

17.  买一些分与分的邮票共花元角，已知分的邮票比分的多张，那么分的邮票有______ 张
 

18.  如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是______．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

20.  如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点为轴正半轴上一点，连接，将沿所在的直线折叠，点恰好与轴上的点重合．
求直线的解析式；
点为直线上的点，请求出点的坐标使．

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
元旦汇演，小明同学演出，他准备的道具是：甲、乙、丙三个袋中均装有三张除所写汉字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有的三个字为“中”“国”、“梦”，
小明在甲袋中随机取出一张卡片，求卡片上字是“梦”的概率；
小明随机从甲、乙、丙三个袋中各取出一张，用画树状图或列表格的方法，求取出的三张字卡能够组成“中国梦”的概率．

22.  本小题分
去年月，过敏体质检测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随机抽查了某市若干名初中生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对专家的测评数据作了适当处理如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答些列问题：

请将两幅图补充完整；
如果全市有万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有______人．
根据统计结果，请你简单谈谈自己的看法．

23.  本小题分
如图，是斜边上的高，．
尺规作图：作的平分线，交于点，交于点不写作法，必须保留作图痕迹，标上应有的字母；
已知，求的面积．

24.  本小题分
已知：关于的一元二次方程．
求证：方程有两个不相等的实数根；
若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，
当为何值时？是等腰三角形；
当为何值时？是以为斜边的直角三角形．

25.  本小题分
综合与实践：

初步探究：
如图，直线同侧有两定点，，点，，是直线上的三个动点．在运动过程中，当时，求和的数量关系．
深入探究：
当，，三个动点运动到如图所示的位置时，有，求此时和的数量关系；若时，和又有什么样的数量关系？请直接写出这两个问题的答案
拓展应用：
在图中，如果仍然存在，再添加条件，求证：．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点．
求抛物线的解析式；
是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到，设点的纵坐标为．
当在内部时，求的取值范围；
是否存在点，使，若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，正确；
，正确；
，正确；
，两数相等，故错误；
故选：．
根据相反数的定义、性质逐项分析．
本题考查相反数的定义和性质，熟练掌握基础知识是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由合并同类项的法则，得，故A不符合题意．
B.由积的乘方以及幂的乘方，得，故B不符合题意．
C.由同底数幂的除法，得，故C不符合题意．
D.由完全平方公式，得，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
本题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：的立方根是，原说法正确；
的算术平方根是，原说法正确；
没有平方根，原说法错误；
的平方根是，原说法错误；
正确的有；
故选：．
根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案．
此题考查了立方根、平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：等边三角形一定是轴对称图形；
B.平行四边形不一定是轴对称图形；
C.菱形一定是轴对称图形；
D.正方形一定是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念逐一判断即可得．
本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
 

6.【答案】 

【解析】解：恒大于，符合题意；
B.当时，，分母为，不符合题意；
C.当时，，分母为，不符合题意；
D.当时，，分母为，不符合题意．
故选：．
要使分式有意义，需分母恒不为，据此逐项分析即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
 

7.【答案】 

【解析】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，是假命题；
故选：．
根据平行四边形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：观察图形，可知表面展开图中有个三角形，个正方形，
该几何体是四棱锥，
故选：．
根据表面展开图中有个三角形，个正方形，由此即可判断出此几何体为四棱锥．
本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特点是解决此类问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：不等式的两边同时除以得，，
在数轴上表示为：
．
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为与成反比例，所以设 ，
因为时，，即，．
故比例系数是．
故选：．
先根据反比例函数的定义设出，再把已知点的坐标代入即可求出比例系数的值．
本题考查的是反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：挂图长为，宽为；
所以，
即，
所以．
即．
故选：．
挂图长为，宽为，根据整个挂图的面积是，即长宽，列方程进行化简即可．
本题考查了一元二次方程的运用，运用面积列方程，展开时注意符号易出错．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，由题意，可得．
将点平移个单位长度到点，
，，
，
点的坐标是．
故选：．
根据题意画出图形，利用平移的特征结合图形即可求解．
本题考查了坐标与图形变化平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．利用数形结合是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
找出公因式进而提取公因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，找出公因式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题目中的式子可以求出所求式子的结果，本题得以解决．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

15.【答案】 

【解析】解：边形的外角和为，
正边形的一个外角是，
，
．
故答案为．
根据多边形的外角和为得正边形的一个外角是，然后解方程即可．
本题考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和为．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线，，
，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由邻补角的性质即可得出的度数．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：设分的邮票有张，分的邮票张，
则，
解得，
分的邮票有张．
故答案为：．
设分的邮票有张，分的邮票张，根据题意列出关于、的方程组，求出、的值即可．
本题考查的是二元一次方程组的应用及比例的性质，根据题意列出关于的方程组是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：将顶点绕点逆时针旋转得点，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
，，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，
，
；
故答案为：．
由题意观察发现：每四个点一个循环，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
 

19.【答案】解：原式
，
当时，
原式

． 

【解析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
本题考查整式的加减化简求值，掌握合并同类项系数相加，字母及其指数不变和去括号的运算法则括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号是解题关键．
 

20.【答案】解：设直线的关系式：，
直线交坐标轴于点，，
，
解得，，
直线的解析式：；
由题意可知：，，
在中由勾股定理得，
由折叠性质可知：，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
，
在直线上，
设，
，
，
解得，或，
当时，，
当时，，
或 

【解析】用待定系数法求一次函数的解析式；
在中由勾股定理得，由折叠性质可知：，，设出长，由勾股定理
得出，设，根据面积求出，最后得点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数上点的坐标特点、折叠的性质，掌握这几个知识点的综合应用，勾股定理及点的坐标特点是解题关键．
 

21.【答案】解：小明在甲袋中随机取出一张卡片，卡片上字是“梦”的概率为；

画树状图如下

由树状图知共有种等可能结果，其中取出的三张字卡能够组成“中国梦”的有种结果，
取出的三张字卡能够组成“中国梦”的概率为． 

【解析】直接利用概率公式计算可得；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：三姿良好的所占的百分比是：，
三姿良好的人数是：人，
补图如下：

；
从图中可以看出三姿良好的人数所占的比例较小，所以在平时注意培养自己的三姿，保持良好的坐姿，站姿，走姿． 

【解析】

【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
用整体减去坐姿不良、走姿不良和站姿不良所占的百分比，求出三姿良好的百分比，从而补全扇形统计图；
用坐姿不良的人数乘以所占的百分比求出总人数，再乘以三姿良好所占的百分比，即可补全条形统计图；
用总人数乘以三姿良好所占的百分比即可得出答案；
根据各自所占的百分比得出平时注意培养自己的三姿，保持良好的坐姿，站姿，走姿．
【解答】
解：见答案；
根据题意得：人，
答：坐姿良好的学生约有人；
故答案为；
见答案．  

23.【答案】解：如图，射线即为所求．

在中，，，，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
的面积． 

【解析】利用尺规根据要求作出图形即可；
根据勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
方程有两个不相等的实数根；
，
，
  解得：或，
  即的三边为，和，
  当，则，
  当，则，
当为或时，是等腰三角形；
 是以为斜边的直角三角形，
，
，
  解得：或． 

【解析】先计算出，然后根据判别式的意义即可得到结论；
先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论：，，然后求出的值；
 利用勾股定理列出方程，解之即可．
本题考查根与系数关系，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题关键．
 

25.【答案】解：
，
，
，
，
，
，
；
解：，此时和的数量关系为：，理由如下：

，
，
，
，
，
，
；
若时，和的数量关系为：，理由如下：

，
，
，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】由三角形内角和定理和平角的定义证出，再由三角形内角和定理得，即可得出结论；
由三角形内角和定理和平角的定义进行解答即可；
证明≌，得，，即可得出结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形内角和定理，证明≌是解题的关键，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：抛物线的顶点是，
抛物线的解析式为，
绕点顺时针旋转后得到，
，
把代入可得，
抛物线的解析式为，即，
如图中，

，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
由题意，
；
当点在轴上方时，易得直线的解析式为，
设直线的解析式为，

解得：
直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
整理得
解得舍弃或，
当点在轴下方时，同法可得
整理得，
解得或舍有，
满足条件的的值为或． 

【解析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题．
抛物线的顶点是，可以假设抛物线的解析式为，求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
根据在内部，构建不等式即可解决问题．
分点在轴上方、下方两种情况讨论解答．