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2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算错误的是( )
A. (−a)−1=1a B. a3⋅a4=a7 C. (2a2)3=8a6 D. a3÷a2=a
3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是( )
A. (1,2) B. (1,−2) C. (−1,2) D. (−1,−2)
4. 若实数a、b满足ab<0，则下列事件是随机事件的是( )
A. a>0，b>0 B. a>0，b<0
C. a<0，b<0 D. a>0，b<0或a<0，b>0
5. 如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=2cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为( )
A. 2cm B. 2 2cm C. 2cm D. 4cm
7. 某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位：台)，如果两种品牌冰箱周销售量的方差为S12，S22，则S12与S22的大小关系是( )
A. S12>S22 B. S12
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. −2023的绝对值是 ．
10. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米=0.000014毫米，0.000014用科学记数法表示为______．
11. 分解因式：3a2−12= ．
12. 若 (x−1)2=1−x，则x的取值范围是______ ．
13. 已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则它的边数为 ．
14. 已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为______ ．
15. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为______．
16. 如图，反比例函数y=kx的图象(部分)经过点A(2,1)，则kx>12x的解集是______ ．
17. 如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A′、C′，若∠A′BC′=14°，则∠EBF= ______ ．
18. 如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y=6，AD⊥BC于点D，AD=1，则m的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 12−|2−tan60°|+4sin30°；
(2)1−a−2a÷a2−4a2+a．
20. (本小题8.0分)
解不等式组2x+3≥112x+3<5，并写出该不等式组的整数解．
21. (本小题8.0分)
某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下(数据分成5组：10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30，30≤x≤35)：
b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
甲部门
22.8
m
乙部门
23.0
22.7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
(3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
22. (本小题8.0分)
烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“a漆器”“b剪纸”“c乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．
(1)四个景点中江女士去瘦西湖的概率是______ ；
(2)求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．
23. (本小题8.0分)
为培养学生问题意识和良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，某中学组织学生去离学校15km的综合实践教育基地参加活动.先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度分别是多少？
24. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME=AM，连接DE，CM．
(1)求证：BD//CE；
(2)当AE=2AB，CM//DE时，试说明四边形CEDM为矩形．
25. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长ED、AC交于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tanB=2，DF=103，求⊙O的半径长．
26. (本小题8.0分)
(1)请用一副三角板画一个角等于105°；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于15°，不写作法，保留作图痕迹：
(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，作边AC的垂直平分线MN，以点B为圆心，BC长为半径画弧交MN于点E，连接BE，请按要求画出图形，并求出∠ABE的度数．
27. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，设函数图象T上的点P坐标为(x,y).我们不妨约定：点P的纵坐标与横坐标的差“y−x”叫做点P的“双减差”，而图象T上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象T的“幸福数”.例如：抛物线y=x2上有点P(3,9)，则点P的“双减差”为6；当x≥0时，y−x=x2−x=(x−12)2−14；该抛物线的“幸福数”为−14.据约定，解答下列问题．
(1)求函数y=6x+x(1≤x≤2)图象的“幸福数”；
(2)若直线y=kx+5(−1≤x≤2)的“幸福数”为k2(k>1)，求k的值；
(3)设抛物线y=x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y=−2x+2上，当2m−1≤x≤12m+3时，抛物线y=x2+bx+c的“幸福数”是−4，求该抛物线的解析式．
28. (本小题8.0分)
【阅读材料】
教材习题
如图，AB、CD相交于点O，O是AB中点，AC//BD，求证：O是CD中点．
问题分析
由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即点O是CD的中点
方法提取
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．
(1)如图1，若AB=BC，AE=CF，求证：点D是EF的中点；
(2)如图2，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD与BE之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC，当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为______ ，CF扫过的面积为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确记忆对称图形的性质是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A．(−a)−1=−1a，故该选项错误，符合题意；
B.a3⋅a4=a7，故该选项正确，不符合题意；
C.(2a2)3=8a6，故该选项正确，不符合题意；
D.a3÷a2=a，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
根据负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．
本题考查了负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：第二象限内的点横坐标小于0，坐标轴大于0，
∴(−1,2)是第二象限的点，其他的不是．
故选：C．
根据第二象限内点坐标的特点判断出正确选项．
本题考查点坐标所在的象限，掌握各个象限内点坐标的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ab<0，
∴a、b异号，
∴a>0，b<0或a<0，b>0，
A、∵ab<0，∴不可能使得a>0，b>0，∴该事件是不可能事件，故A不符合题意；
B、∵ab<0，∴可能使得a>0，b<0，∴该事件是随机事件，故B符合题意；
C、∵ab<0，∴不可能使得a<0，b<0，∴该事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、∵ab<0，∴使得a>0，b<0或a<0，b>0，∴该事件是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】C
【解析】解：原几何体的左视图是：
．
故最多可以取走的小正方体的块数是3，余下几何体与原几何体的左视图相同，
故选：C．
根据题意得到原几何体的左视图，结合左视图选择即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上是关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图1，图2中，连接AC，
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC= AB2+BC2= 22+22=2 2(cm)，
故选：B．
如图1，图2中，连接AC，在图1中，可证得△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=2cm，在图2中，由勾股定理求出AC的长即可．
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形和正方形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：甲种品牌冰箱的平均数为：16×(7+10+8+10+12+13)=10(台)，
甲的方差为：
S12=16×[(7−10)2+(10−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=133
乙种品牌冰箱的平均数为：16×(9+10+11+9+12+9)=10(台)，
乙的方差为：
S12=16×[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2+(12−10)2+(9−10)2]=43，
∵133>43，
∴S12>S22，
故选：A．
利用平均数以及方差的计算公式，进行运算，即可求解．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：观察图1和图3可知，经过2次整理，语文的位置不变，后面4本数的顺序恰好反过来，
∴再经过2次整理，在图3的基础上，4本数的顺序又会反过来，即变为图1的顺序，
∴从如图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n为4的倍数，
故选：B．
观察图形，找到规律即可解答本题．
本题考查图形的变化规律，解题的关键是观察图形，找到经过4的倍数次整理后，得到的顺序与如图1相同．
9.【答案】2023
【解析】
【分析】
本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
根据绝对值的定义进行求解即可．
【解答】
解：−2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
10.【答案】1.4×10−5
【解析】解：0.000014=1.4×10−5．
故答案为：1.4×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】3(a+2)(a−2)
【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：3a2−12
=3(a2−4)
=3(a+2)(a−2)．
故答案为：3(a+2)(a−2)．
12.【答案】x≤1
【解析】解：∵ (x−1)2=1−x，
∴1−x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
直接利用二次根式的性质得出1−x≥0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出1−x的取值范围是解题关键．
13.【答案】5
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，(n−2)⋅180°=360°+180°，
解得n=5．
故答案为：5．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
14.【答案】2 6
【解析】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形周长为12，面积为6，
∴a+b=6，ab=6，
∴矩形的对角线长为：
a2+b2
= (a+b)2−2ab
= 62−2×6
=2 6
故答案为：2 6．
设矩形的长为a，宽为b，可得a+b=6，ab=6，再利用勾股定可理及完全平方式的变式，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，完全平方式的变式，代数式求值问题，熟练掌握和运用勾股定理及完全平方式的变式是解决本题的关键．
15.【答案】9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13
【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13，
故答案为：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)−(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16.【答案】0
把点A(2,1)代入y=k1x，
得k1=12，
∴y=12x，
点A(2,1)关于原点O对称的点的坐标为(−2,−1)，
补全图象如下：
由在第一象限内的图象可得：kx>12x的解集为0
综上，kx>12x的解集为0
本题考查了求正比例函数的解析式，利用函数图象求不等式的解集，补全图象，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
17.【答案】38°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
由折叠可知，∠ABE=∠A′BE，∠CBF=∠C′BF，
∵∠A′BF=∠C′BF−∠A′BC′，∠ABE+∠A′BE+∠A′BF+∠CBF=90°，
∴2∠A′BE+2∠C′BF−∠A′BC′=90°，即：2∠A′BE+2∠C′BF=90°+∠A′BC′=104°，
∴∠A′BE+∠C′BF=52°，
∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BF−∠A′BC′=52°−14°=38°，
故答案为：38°．
由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A′BE，∠CBF=∠C′BF，利用角之间的和差关系可得2∠A′BE+2∠C′BF=90°+∠A′BC′=104°，进而求得∠A′BE+∠C′BF=52°，再利用∠EBF=∠A′BE+∠C′BF−∠A′BC′即可求得结果．
本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A′BE+∠C′BF的度数是解决问题的关键．
18.【答案】9
【解析】解：如图：过点A作⊙O的直径AE，连接CE，
则AE=m，∠ACE=90°，∠ABD=∠AEC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴ABAE=ADAC，
∴xm=1y，
∴m=xy，
∵x+y=6，
∴y=6−x，
∴m=x(6−x)=−x2+6x=−(x−3)2+9，
∵−1<0，
∴当x=3时，m取最大值，最大值为9，
故答案为：9．
过点A作⊙O的直径AE，连接CE，根据圆周角定理，可证得△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质，可得m=xy，再由x+y=6，即可得m=−(x−3)2+9，根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得到m关于x或y的二次函数关系式是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1) 12−|2−tan60°|+4sin30°
=2 3−|2− 3|+4×12
=2 3−(2− 3)+2
=2 3−2+ 3+2
=3 3；
(2)1−a−2a÷a2−4a2+a
=1−a−2a×a(a+1)(a+2)(a−2)
=1−a+1a+2
=a+2−a−1a+2
=1a+2．
【解析】(1)首先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解；
(2)首先把除法运算变为乘法运算，分解因式，再进行分式的混合运算，即可求解．
本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】解：2x+3≥1①12x+3<5②，
解不等式①得x≥−1，
解不等式②得x<4，
∴不等式组的解集为−1≤x<4，
∴不等式组的整数解有−1，0，1，2，3．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m=23.7+24.32=24；
(2)在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n1=11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n2≥11，
∴n2≥n1；
(3)100×23.0=2300(万元)，
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
【解析】(1)根据中位数的意义，求出甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第10、11位的数据即可；
(2)根据题意得出n1，n2，再比较大小即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
22.【答案】14
【解析】解：(1)四个景点中江女士去瘦西湖的概率是14．
故答案为：14．
(2)根据题意画树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的情况，其中江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的只有一种情况，
∴江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率为112．
(1)根据概率公式进行计算即可；
(2)根据题意画出树状图，然后求出概率即可．
本题主要考查了概率的基本公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
23.【答案】解：设大队的速度为x km/h，
由题意得：15x−151.2x=0.5，
解得：x=5，经检验x=5是原分式方程的解．
所以1.2x=6，
答：先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h．
【解析】设大队的速度为x km/h，根据“先遣队比大队早到0.5h”列分式方程，解方程即可求解．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走15km所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到0.5h列出方程解决问题．
24.【答案】(1)证明：连接AC，交BD于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴AO=OC，
∵ME=AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO//CE，
∴BD//CE．
(2)解：∵平行四边形ABCD，
∴AO=OC，
∵AE=2ME=2AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO//CE，
∴BD//CE．
∵CM//DE，
∴四边形CEDM是平行四边形，
∵AE=2AB，AE=2ME=2AM，
∴AB=ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=DC，
∴CD=ME，
∴四边形CEDM为矩形．
【解析】(1)连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质，证明MO是△ACE的中位线即可得证；
(2)先证明四边形CEDM是平行四边形，再证明CD=ME，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠ODC=∠B，
∴AB//OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵tanB=2，
∴DEBE=ADBD=2，
设BE=x，则DE=2x，
∴BD= 5x，
∴AD=2 5x，
∴AB= AD2+BD2=5x，
∴AC=5x，AE=4x，
∴OD=2.5x，
∵AB//OD，
∴△ODF∽△AEF，
∴ODAE=DFEF，
∴2.5x4x=103103+2x，
∴x=1，
∴OD=2.5x=2.5，
即⊙O的半径长2.5．
【解析】(1)连接OD，证明AB//OD，由DE⊥AB得到OD⊥DE，由OD是⊙O的半径即可得到结论；
(2)连接AD，由AC是⊙O直径得∠ADC=90°，由AB=AC，得到BD=DC，由tanB=2得到DEBE=ADBD=2，设BE=x，则DE=2x，由勾股定理得到BD= 5x，则AD=2 5x，由勾股定理得AB=5x，则AC=5x，AE=4x，OD=2.5x，由△ODF∽△AEF，则ODAE=DFEF，进一步求得x=1，则OD=2.5x=2.5，即可得到⊙O的半径长．
此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如图所示，即：45°+60°=105°；
(2)作线段AB，分别以点A、点B为圆心，AB为半径画弧，交于一点C，可得△ABC为等边三角形，则∠BAC=60°，
以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点D、点E，再分别以点D、点E为圆心，大于12DE为半径画弧，交于一点F，
∴AF平分∠BAC，则∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30°，
连接AF交DE于点G，再分别以点G、点E为圆心，大于12GE为半径画弧，交于一点H，连接AH，
∴AH平分∠BAF，则∠BAH=∠HAF=12∠BAF=15°，
即：∠BAH即为所求；
(3)按要求画出图形，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
过点B作BF⊥MN，
∵MN垂直平分AC，
∴∠ACB=∠BFG=∠FGC=90°，
∴四边形BFGC为矩形，则BF=CG=12AC=12BC=12BE，BF//AC，
∴cos∠FBE=12，∠FBA=∠A=45°，
∴∠FBE=60°，
∵BE=BE′，BF⊥MN，
∴BF平分∠EBE′，
∴∠FBE=∠FBE′=60°，
∴∠ABE′=∠FBE′+∠FBA=105°，
∠ABE=∠FBE−∠FBA=15°，
∴∠ABE的度数为15°或105°．
【解析】(1)显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角；
(2)利用直尺和圆规先作等边△ABC，然后作AF平分∠BAC，最后作AH平分∠BAF，∠BAH即为所求；
(3)按要求画出图形，如图，过点B作BF⊥MN，易证四边形BFGC为矩形，可得BF=CG=12AC=12BC=12BE，可知cos∠FBE=12，即可知∠FBE=60°，结合图形可知，∠ABE′=∠FBE′+∠FBA=105°，∠ABE=∠FBE−∠FBA=15°，可得∠ABE的度数为15°或105°．
本题考查简单作图，尺规作图——角平分线，垂直平分线的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
27.【答案】(1)解：由y=6x+x得y−x=6x，
∵当1≤x≤2时，6x随x的增大而减小，
∴x=2时，63取最小值3，即函数y=6x+x(1≤x≤2)图象的“幸福数”是3；
(2)由y=kx+5可得y−x=(k−1)x+5，
令W=y−x，则W=(k−1)x+5，
∵k>1，
∴W随x的增大而增大，
∵−1≤x≤2，
∴x=−1时，W取最小值−(k−1)+5，
∴k2=−(k−1)+5，
∴k=−3或2，
∵k>1，
∴k=2；
(3)∵抛物线y=x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y=−2x+2上，
∴顶点坐标为(m,−2m+2)
∴抛物线为y=(x−m)2−2m+2=x2−2mx+m2−2m+2，
令w=y−x=x2−(2m+1)x+m2−2m+2，对称轴是直线x=2m+12，
∵2m−1≤x≤12m+3，
∴m≤83，
①当2m+12>12m+3时，即m>5，不合题意舍去；
②当2m+12<2m−1，即32
∴(2m−1)2−(2m+1)(2m−1)+m2−2m+2=−4，
解得m=2或4，
∵32
∴y=x2−4x+2．
③当2m−1≤2m+12≤12m+3，即m≤32，
此时当x=2m+12，w取最小值−4，
∴(2m+12)2−(2m+1)(2m+12)+m2−2m+2=−4，
解得m=2312，
∴y=x2−236x+265144．
综上所述，抛物线的解析式为y=x2−4x+2或y=x2−236x+265144．
【解析】(1)将函数变形为y−x=6x，当1≤x≤2时，6x随x的增大而减小，从而得到6x的最小值为3；
(2)将函数变形为y−x=(k−1)x+5，令W=y−x，则W=(k−1)x+5，由于k>1，根据函数的增减性可得x=−1时，W取最小值k2，从而得到k2=−(k−1)+5，求得k=−3或2，又k>1，得到k=2；
(3)由题意得抛物线y=x2+bx+c顶点的坐标为(m,−2m+2)，从而抛物线为y=(x−m)2−2m+2=x2−2mx+m2−2m+2，令w=y−x=x2−(2m+1)x+m2−2m+2，则对称轴是直线x=2m+12，由于2m−1≤x≤12m+3时，抛物线y=x2+bx+c的“幸福数”是−4，所以分三种情况讨论：①若2m−1≤x≤12m+3的区间在对称轴的左边，即2m+12>12m+3时，解得m>5，不合题意舍去；②若2m−1≤x≤12m+3的区间在对称轴的右边，即2m+12<2m−1，解得32
28.【答案】52π 92π
【解析】(1)证明：∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
过点E作EG//BF，则∠AGE=∠ACB=45°，∠AEG=∠B=90°，
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE，
∵AE=CF，
∴GE=CF，
∵∠AGE=∠ACB=45°，
∴∠DGE=∠DCF=135°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴点D是EF的中点；
(2)过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，
∴AEEG=ABBC，
∵AB=2BC，AE=2CF，则AE=2EG，
∴EG=CF，
∵EG//BF，
∴∠AGE=∠ACB，∠AEG=∠B=90°，
∴∠DGE=∠DCF，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS)，
∴CD=DG，
∵EG//BF，
∴AGAE=GCBE=2CDBE，
∵AE=2EG，则AG= AE2+EG2= 5EG
∴AGAE= 52，
∴AGAE=2CDBE= 52，
∴CD= 54BE；
灵活应用：
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，
∴AEEG=ABBC，
∵AECF=ABBC，
∴EG=CF，
∵EG//BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS)，
∴CD=DG，
过点D作DM//BF，则DGEM=CDBM，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM=12BE=3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：12AM⋅π=52π，
过点F作FH//AC，则ABBC=AHCF，∠BFH=90°，
∵AECF=ABBC，
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为12(BH2)2π−12(AB2)2π=92π，
故答案为：52π，92π．
(1)过点E作EG//BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点；
(2)过点E作EG//BF，可证△AEG∽△ABC，得AEEG=ABBC，由AB=2BC，AE=2CF，得EG=CF，再证△DGE≌△DCF，可得CD=DG，由平行线分线段成比例得AGAE=GCBE=2CDBE，由AE=2EG，可得AG= AE2+EG2= 5EG，AGAE= 52即可得CD= 54BE；
灵活应用：由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，可得AEEG=ABBC，进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM//BF，则DGEM=CDBM，∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH//AC，则ABBC=AHCF，∠BFH=90°，易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案．
本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个有关环保的图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式中，计算错误的是( )
A. (−a)−1=1a B. a3⋅a4=a7 C. (2a2)3=8a6 D. a3÷a2=a
3. 平面直角坐标系中，在第二象限的点是( )
A. (1,2) B. (1,−2) C. (−1,2) D. (−1,−2)
4. 若实数a、b满足ab<0，则下列事件是随机事件的是( )
A. a>0，b>0 B. a>0，b<0
C. a<0，b<0 D. a>0，b<0或a<0，b>0
5. 如图是由6个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从中取走一些小正方体之后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则最多可以取走的小正方体的块数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 如图，小红用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，她先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得∠B=60°，对角线AC=2cm，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为( )
A. 2cm B. 2 2cm C. 2cm D. 4cm
7. 某家电销售商店周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位：台)，如果两种品牌冰箱周销售量的方差为S12，S22，则S12与S22的大小关系是( )
A. S12>S22 B. S12
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. −2023的绝对值是 ．
10. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米=0.000014毫米，0.000014用科学记数法表示为______．
11. 分解因式：3a2−12= ．
12. 若 (x−1)2=1−x，则x的取值范围是______ ．
13. 已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则它的边数为 ．
14. 已知矩形周长为12，面积为6，则矩形的对角线长为______ ．
15. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为______．
16. 如图，反比例函数y=kx的图象(部分)经过点A(2,1)，则kx>12x的解集是______ ．
17. 如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A′、C′，若∠A′BC′=14°，则∠EBF= ______ ．
18. 如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y=6，AD⊥BC于点D，AD=1，则m的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 12−|2−tan60°|+4sin30°；
(2)1−a−2a÷a2−4a2+a．
20. (本小题8.0分)
解不等式组2x+3≥112x+3<5，并写出该不等式组的整数解．
21. (本小题8.0分)
某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数
分布直方图如下(数据分成5组：10≤x<15，15≤x<20，20≤x<25，25≤x<30，30≤x≤35)：
b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是：
21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9
c.甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如表：
平均数
中位数
甲部门
22.8
m
乙部门
23.0
22.7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中m的值；
(2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n1，在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为n2，比较n1，n2的大小，并说明理由；
(3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额．
22. (本小题8.0分)
烟花三月下扬州，又到一年扬马时，2023年4月16日，扬州鉴真国际半程马拉松比赛正式鸣枪，来自世界各地的2万名跑者在扬州最美的季节畅意奔跑，外地的江女士也来参加扬马，借此机会她还想在扬州游玩一日，领略江南的美景，并购买一件纪念品，经网友推荐，她计划在“①瘦西湖”“②东关街”“③大明寺”“④个园”四个景点中挑选一个景点游玩：在扬州特色的纪念品：“a漆器”“b剪纸”“c乱针绣”三种中挑选一件留作纪念．
(1)四个景点中江女士去瘦西湖的概率是______ ；
(2)求江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率，请用列表或画树状图说明．
23. (本小题8.0分)
为培养学生问题意识和良好的个性品质，增强创新意识，掌握科学研究的方法，推进其对自然、社会、自我的整体认识与体验，某中学组织学生去离学校15km的综合实践教育基地参加活动.先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队和大队的速度分别是多少？
24. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME=AM，连接DE，CM．
(1)求证：BD//CE；
(2)当AE=2AB，CM//DE时，试说明四边形CEDM为矩形．
25. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，延长ED、AC交于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若tanB=2，DF=103，求⊙O的半径长．
26. (本小题8.0分)
(1)请用一副三角板画一个角等于105°；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于15°，不写作法，保留作图痕迹：
(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，作边AC的垂直平分线MN，以点B为圆心，BC长为半径画弧交MN于点E，连接BE，请按要求画出图形，并求出∠ABE的度数．
27. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系中，设函数图象T上的点P坐标为(x,y).我们不妨约定：点P的纵坐标与横坐标的差“y−x”叫做点P的“双减差”，而图象T上的所有点的“双减差”的最小值称为函数图象T的“幸福数”.例如：抛物线y=x2上有点P(3,9)，则点P的“双减差”为6；当x≥0时，y−x=x2−x=(x−12)2−14；该抛物线的“幸福数”为−14.据约定，解答下列问题．
(1)求函数y=6x+x(1≤x≤2)图象的“幸福数”；
(2)若直线y=kx+5(−1≤x≤2)的“幸福数”为k2(k>1)，求k的值；
(3)设抛物线y=x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y=−2x+2上，当2m−1≤x≤12m+3时，抛物线y=x2+bx+c的“幸福数”是−4，求该抛物线的解析式．
28. (本小题8.0分)
【阅读材料】
教材习题
如图，AB、CD相交于点O，O是AB中点，AC//BD，求证：O是CD中点．
问题分析
由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即点O是CD的中点
方法提取
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．
(1)如图1，若AB=BC，AE=CF，求证：点D是EF的中点；
(2)如图2，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD与BE之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC，当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为______ ，CF扫过的面积为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意．
故选：D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确记忆对称图形的性质是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A．(−a)−1=−1a，故该选项错误，符合题意；
B.a3⋅a4=a7，故该选项正确，不符合题意；
C.(2a2)3=8a6，故该选项正确，不符合题意；
D.a3÷a2=a，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
根据负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．
本题考查了负整数指数幂的运算，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：第二象限内的点横坐标小于0，坐标轴大于0，
∴(−1,2)是第二象限的点，其他的不是．
故选：C．
根据第二象限内点坐标的特点判断出正确选项．
本题考查点坐标所在的象限，掌握各个象限内点坐标的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵ab<0，
∴a、b异号，
∴a>0，b<0或a<0，b>0，
A、∵ab<0，∴不可能使得a>0，b>0，∴该事件是不可能事件，故A不符合题意；
B、∵ab<0，∴可能使得a>0，b<0，∴该事件是随机事件，故B符合题意；
C、∵ab<0，∴不可能使得a<0，b<0，∴该事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、∵ab<0，∴使得a>0，b<0或a<0，b>0，∴该事件是必然事件，故D不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】C
【解析】解：原几何体的左视图是：
．
故最多可以取走的小正方体的块数是3，余下几何体与原几何体的左视图相同，
故选：C．
根据题意得到原几何体的左视图，结合左视图选择即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上是关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图1，图2中，连接AC，
图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2cm，
在图2中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC= AB2+BC2= 22+22=2 2(cm)，
故选：B．
如图1，图2中，连接AC，在图1中，可证得△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=2cm，在图2中，由勾股定理求出AC的长即可．
本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形和正方形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：甲种品牌冰箱的平均数为：16×(7+10+8+10+12+13)=10(台)，
甲的方差为：
S12=16×[(7−10)2+(10−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=133
乙种品牌冰箱的平均数为：16×(9+10+11+9+12+9)=10(台)，
乙的方差为：
S12=16×[(9−10)2+(10−10)2+(11−10)2+(9−10)2+(12−10)2+(9−10)2]=43，
∵133>43，
∴S12>S22，
故选：A．
利用平均数以及方差的计算公式，进行运算，即可求解．
本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：观察图1和图3可知，经过2次整理，语文的位置不变，后面4本数的顺序恰好反过来，
∴再经过2次整理，在图3的基础上，4本数的顺序又会反过来，即变为图1的顺序，
∴从如图1开始，经过n次整理后，得到的顺序与如图1相同，则n为4的倍数，
故选：B．
观察图形，找到规律即可解答本题．
本题考查图形的变化规律，解题的关键是观察图形，找到经过4的倍数次整理后，得到的顺序与如图1相同．
9.【答案】2023
【解析】
【分析】
本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
根据绝对值的定义进行求解即可．
【解答】
解：−2023的绝对值是2023，
故答案为：2023．
10.【答案】1.4×10−5
【解析】解：0.000014=1.4×10−5．
故答案为：1.4×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11.【答案】3(a+2)(a−2)
【解析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：3a2−12
=3(a2−4)
=3(a+2)(a−2)．
故答案为：3(a+2)(a−2)．
12.【答案】x≤1
【解析】解：∵ (x−1)2=1−x，
∴1−x≥0，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
直接利用二次根式的性质得出1−x≥0，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出1−x的取值范围是解题关键．
13.【答案】5
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，(n−2)⋅180°=360°+180°，
解得n=5．
故答案为：5．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
14.【答案】2 6
【解析】解：设矩形的长为a，宽为b，
∵矩形周长为12，面积为6，
∴a+b=6，ab=6，
∴矩形的对角线长为：
a2+b2
= (a+b)2−2ab
= 62−2×6
=2 6
故答案为：2 6．
设矩形的长为a，宽为b，可得a+b=6，ab=6，再利用勾股定可理及完全平方式的变式，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，完全平方式的变式，代数式求值问题，熟练掌握和运用勾股定理及完全平方式的变式是解决本题的关键．
15.【答案】9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13
【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13，
故答案为：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)−(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16.【答案】0
把点A(2,1)代入y=k1x，
得k1=12，
∴y=12x，
点A(2,1)关于原点O对称的点的坐标为(−2,−1)，
补全图象如下：
由在第一象限内的图象可得：kx>12x的解集为0
综上，kx>12x的解集为0
本题考查了求正比例函数的解析式，利用函数图象求不等式的解集，补全图象，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
17.【答案】38°
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
由折叠可知，∠ABE=∠A′BE，∠CBF=∠C′BF，
∵∠A′BF=∠C′BF−∠A′BC′，∠ABE+∠A′BE+∠A′BF+∠CBF=90°，
∴2∠A′BE+2∠C′BF−∠A′BC′=90°，即：2∠A′BE+2∠C′BF=90°+∠A′BC′=104°，
∴∠A′BE+∠C′BF=52°，
∴∠EBF=∠A′BE+∠C′BF−∠A′BC′=52°−14°=38°，
故答案为：38°．
由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A′BE，∠CBF=∠C′BF，利用角之间的和差关系可得2∠A′BE+2∠C′BF=90°+∠A′BC′=104°，进而求得∠A′BE+∠C′BF=52°，再利用∠EBF=∠A′BE+∠C′BF−∠A′BC′即可求得结果．
本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A′BE+∠C′BF的度数是解决问题的关键．
18.【答案】9
【解析】解：如图：过点A作⊙O的直径AE，连接CE，
则AE=m，∠ACE=90°，∠ABD=∠AEC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ACE=90°，
∴△ABD∽△AEC，
∴ABAE=ADAC，
∴xm=1y，
∴m=xy，
∵x+y=6，
∴y=6−x，
∴m=x(6−x)=−x2+6x=−(x−3)2+9，
∵−1<0，
∴当x=3时，m取最大值，最大值为9，
故答案为：9．
过点A作⊙O的直径AE，连接CE，根据圆周角定理，可证得△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质，可得m=xy，再由x+y=6，即可得m=−(x−3)2+9，根据二次函数的性质，即可求解．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得到m关于x或y的二次函数关系式是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1) 12−|2−tan60°|+4sin30°
=2 3−|2− 3|+4×12
=2 3−(2− 3)+2
=2 3−2+ 3+2
=3 3；
(2)1−a−2a÷a2−4a2+a
=1−a−2a×a(a+1)(a+2)(a−2)
=1−a+1a+2
=a+2−a−1a+2
=1a+2．
【解析】(1)首先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解；
(2)首先把除法运算变为乘法运算，分解因式，再进行分式的混合运算，即可求解．
本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
20.【答案】解：2x+3≥1①12x+3<5②，
解不等式①得x≥−1，
解不等式②得x<4，
∴不等式组的解集为−1≤x<4，
∴不等式组的整数解有−1，0，1，2，3．
【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，排在第10、11位的两个数分别为23.7，24.3，故中位数m=23.7+24.32=24；
(2)在甲部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为11人，故n1=11；
∵乙部门的平均数为23.0，中位数为22.7，
∴在乙部门抽取的营业员中，该月销售额超过23.0万元的人数为不少于11人，故n2≥11，
∴n2≥n1；
(3)100×23.0=2300(万元)，
答：估计乙部门该月的销售总额为2300万元．
【解析】(1)根据中位数的意义，求出甲部门抽样20名营业员该月销售额从小到大排列，得出处在第10、11位的数据即可；
(2)根据题意得出n1，n2，再比较大小即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解题的关键是掌握中位数的定义以及样本估计总体思想的运用．
22.【答案】14
【解析】解：(1)四个景点中江女士去瘦西湖的概率是14．
故答案为：14．
(2)根据题意画树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的情况，其中江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的只有一种情况，
∴江女士游玩瘦西湖且购买剪纸作为纪念的概率为112．
(1)根据概率公式进行计算即可；
(2)根据题意画出树状图，然后求出概率即可．
本题主要考查了概率的基本公式，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
23.【答案】解：设大队的速度为x km/h，
由题意得：15x−151.2x=0.5，
解得：x=5，经检验x=5是原分式方程的解．
所以1.2x=6，
答：先遣队的速度为6km/h，大队的速度为5km/h．
【解析】设大队的速度为x km/h，根据“先遣队比大队早到0.5h”列分式方程，解方程即可求解．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走15km所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到0.5h列出方程解决问题．
24.【答案】(1)证明：连接AC，交BD于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴AO=OC，
∵ME=AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO//CE，
∴BD//CE．
(2)解：∵平行四边形ABCD，
∴AO=OC，
∵AE=2ME=2AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO//CE，
∴BD//CE．
∵CM//DE，
∴四边形CEDM是平行四边形，
∵AE=2AB，AE=2ME=2AM，
∴AB=ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=DC，
∴CD=ME，
∴四边形CEDM为矩形．
【解析】(1)连接AC，交BD于点O，利用平行四边形的性质，证明MO是△ACE的中位线即可得证；
(2)先证明四边形CEDM是平行四边形，再证明CD=ME，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，矩形的判定是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠ODC=∠B，
∴AB//OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵tanB=2，
∴DEBE=ADBD=2，
设BE=x，则DE=2x，
∴BD= 5x，
∴AD=2 5x，
∴AB= AD2+BD2=5x，
∴AC=5x，AE=4x，
∴OD=2.5x，
∵AB//OD，
∴△ODF∽△AEF，
∴ODAE=DFEF，
∴2.5x4x=103103+2x，
∴x=1，
∴OD=2.5x=2.5，
即⊙O的半径长2.5．
【解析】(1)连接OD，证明AB//OD，由DE⊥AB得到OD⊥DE，由OD是⊙O的半径即可得到结论；
(2)连接AD，由AC是⊙O直径得∠ADC=90°，由AB=AC，得到BD=DC，由tanB=2得到DEBE=ADBD=2，设BE=x，则DE=2x，由勾股定理得到BD= 5x，则AD=2 5x，由勾股定理得AB=5x，则AC=5x，AE=4x，OD=2.5x，由△ODF∽△AEF，则ODAE=DFEF，进一步求得x=1，则OD=2.5x=2.5，即可得到⊙O的半径长．
此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的判定、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如图所示，即：45°+60°=105°；
(2)作线段AB，分别以点A、点B为圆心，AB为半径画弧，交于一点C，可得△ABC为等边三角形，则∠BAC=60°，
以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点D、点E，再分别以点D、点E为圆心，大于12DE为半径画弧，交于一点F，
∴AF平分∠BAC，则∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30°，
连接AF交DE于点G，再分别以点G、点E为圆心，大于12GE为半径画弧，交于一点H，连接AH，
∴AH平分∠BAF，则∠BAH=∠HAF=12∠BAF=15°，
即：∠BAH即为所求；
(3)按要求画出图形，如图，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
过点B作BF⊥MN，
∵MN垂直平分AC，
∴∠ACB=∠BFG=∠FGC=90°，
∴四边形BFGC为矩形，则BF=CG=12AC=12BC=12BE，BF//AC，
∴cos∠FBE=12，∠FBA=∠A=45°，
∴∠FBE=60°，
∵BE=BE′，BF⊥MN，
∴BF平分∠EBE′，
∴∠FBE=∠FBE′=60°，
∴∠ABE′=∠FBE′+∠FBA=105°，
∠ABE=∠FBE−∠FBA=15°，
∴∠ABE的度数为15°或105°．
【解析】(1)显然从两个三角板中，将一个等于45°的角，再加上另一个三角板中等于60°的角，即可得到105°的角；
(2)利用直尺和圆规先作等边△ABC，然后作AF平分∠BAC，最后作AH平分∠BAF，∠BAH即为所求；
(3)按要求画出图形，如图，过点B作BF⊥MN，易证四边形BFGC为矩形，可得BF=CG=12AC=12BC=12BE，可知cos∠FBE=12，即可知∠FBE=60°，结合图形可知，∠ABE′=∠FBE′+∠FBA=105°，∠ABE=∠FBE−∠FBA=15°，可得∠ABE的度数为15°或105°．
本题考查简单作图，尺规作图——角平分线，垂直平分线的性质，矩形的判定及性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
27.【答案】(1)解：由y=6x+x得y−x=6x，
∵当1≤x≤2时，6x随x的增大而减小，
∴x=2时，63取最小值3，即函数y=6x+x(1≤x≤2)图象的“幸福数”是3；
(2)由y=kx+5可得y−x=(k−1)x+5，
令W=y−x，则W=(k−1)x+5，
∵k>1，
∴W随x的增大而增大，
∵−1≤x≤2，
∴x=−1时，W取最小值−(k−1)+5，
∴k2=−(k−1)+5，
∴k=−3或2，
∵k>1，
∴k=2；
(3)∵抛物线y=x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y=−2x+2上，
∴顶点坐标为(m,−2m+2)
∴抛物线为y=(x−m)2−2m+2=x2−2mx+m2−2m+2，
令w=y−x=x2−(2m+1)x+m2−2m+2，对称轴是直线x=2m+12，
∵2m−1≤x≤12m+3，
∴m≤83，
①当2m+12>12m+3时，即m>5，不合题意舍去；
②当2m+12<2m−1，即32
∴(2m−1)2−(2m+1)(2m−1)+m2−2m+2=−4，
解得m=2或4，
∵32
∴y=x2−4x+2．
③当2m−1≤2m+12≤12m+3，即m≤32，
此时当x=2m+12，w取最小值−4，
∴(2m+12)2−(2m+1)(2m+12)+m2−2m+2=−4，
解得m=2312，
∴y=x2−236x+265144．
综上所述，抛物线的解析式为y=x2−4x+2或y=x2−236x+265144．
【解析】(1)将函数变形为y−x=6x，当1≤x≤2时，6x随x的增大而减小，从而得到6x的最小值为3；
(2)将函数变形为y−x=(k−1)x+5，令W=y−x，则W=(k−1)x+5，由于k>1，根据函数的增减性可得x=−1时，W取最小值k2，从而得到k2=−(k−1)+5，求得k=−3或2，又k>1，得到k=2；
(3)由题意得抛物线y=x2+bx+c顶点的坐标为(m,−2m+2)，从而抛物线为y=(x−m)2−2m+2=x2−2mx+m2−2m+2，令w=y−x=x2−(2m+1)x+m2−2m+2，则对称轴是直线x=2m+12，由于2m−1≤x≤12m+3时，抛物线y=x2+bx+c的“幸福数”是−4，所以分三种情况讨论：①若2m−1≤x≤12m+3的区间在对称轴的左边，即2m+12>12m+3时，解得m>5，不合题意舍去；②若2m−1≤x≤12m+3的区间在对称轴的右边，即2m+12<2m−1，解得32
28.【答案】52π 92π
【解析】(1)证明：∵AB=BC，∠B=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
过点E作EG//BF，则∠AGE=∠ACB=45°，∠AEG=∠B=90°，
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE，
∵AE=CF，
∴GE=CF，
∵∠AGE=∠ACB=45°，
∴∠DGE=∠DCF=135°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴点D是EF的中点；
(2)过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，
∴AEEG=ABBC，
∵AB=2BC，AE=2CF，则AE=2EG，
∴EG=CF，
∵EG//BF，
∴∠AGE=∠ACB，∠AEG=∠B=90°，
∴∠DGE=∠DCF，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS)，
∴CD=DG，
∵EG//BF，
∴AGAE=GCBE=2CDBE，
∵AE=2EG，则AG= AE2+EG2= 5EG
∴AGAE= 52，
∴AGAE=2CDBE= 52，
∴CD= 54BE；
灵活应用：
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，
∴AEEG=ABBC，
∵AECF=ABBC，
∴EG=CF，
∵EG//BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS)，
∴CD=DG，
过点D作DM//BF，则DGEM=CDBM，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM=12BE=3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：12AM⋅π=52π，
过点F作FH//AC，则ABBC=AHCF，∠BFH=90°，
∵AECF=ABBC，
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为12(BH2)2π−12(AB2)2π=92π，
故答案为：52π，92π．
(1)过点E作EG//BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点；
(2)过点E作EG//BF，可证△AEG∽△ABC，得AEEG=ABBC，由AB=2BC，AE=2CF，得EG=CF，再证△DGE≌△DCF，可得CD=DG，由平行线分线段成比例得AGAE=GCBE=2CDBE，由AE=2EG，可得AG= AE2+EG2= 5EG，AGAE= 52即可得CD= 54BE；
灵活应用：由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG//BF，则△AEG∽△ABC，可得AEEG=ABBC，进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM//BF，则DGEM=CDBM，∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH//AC，则ABBC=AHCF，∠BFH=90°，易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案．
本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
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