211.2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学四诊试卷（文科）

这是一份211.2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学四诊试卷（文科），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学四诊试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．
2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则　　
A．2 B．3 C． D．
3．（5分）已知向量，满足，，　　
A． B． C．12 D．20
4．（5分）数列是公差不为零的等差数列，并且，，是等比数列的相邻三项．若，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）函数，，的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为　　
（参考数据：，，

A．12 B．24 C．36 D．48
7．（5分）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　
A． B．，，
C． D．，，
8．（5分）在，上随机地取两个实数，，则事件“直线与圆相交”发生的概率为　　
A． B． C． D．
9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于　　

A． B． C． D．
10．（5分）已知抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
11．（5分）在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为　　
A． B． C． D．
12．（5分）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为　　
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）抛物线的焦点坐标是　 　．
14．（5分）设函数，则　 　．
15．（5分）现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为　 　．
16．（5分）已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数，当，时，的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，已知（C），，延长至，使，且，求的面积．
18．某大学高等数学这学期分别用，两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：

甲班
乙班
合计
优秀



不优秀



合计



（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考方式：，其中
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率．

19．如图，正方形的边长等于2，平面平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

20．已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．
21．设函数，已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
（Ⅰ） 求的值．
（Ⅱ） 若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ） 写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点且与直线平行的直线交于，两点，求．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数（其中．
（Ⅰ） 当时，求不等式的解集；
（Ⅱ） 若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．

2017年甘肃省兰州市西北师大附中高考数学四诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B．， C．， D．
【考点】：交集及其运算；：对数函数的定义域
【专题】51：函数的性质及应用
【分析】求解一元二次不等式化简集合，求解对数函数的定义域化简集合，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：，
，
则，．
故选：．
【点评】本题考查了对数函数定义域的求法，考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）已知复数的实部和虚部相等，则　　
A．2 B．3 C． D．
【考点】：复数的运算
【专题】11：计算题；35：转化思想；：数学模型法；：数系的扩充和复数
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再结合已知条件求出的值，根据复数求模公式计算得答案．
【解答】解：，
复数的实部和虚部相等，
，即．
．
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
3．（5分）已知向量，满足，，　　
A． B． C．12 D．20
【考点】：平面向量数量积的性质及其运算
【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；：平面向量及应用
【分析】求出两向量的坐标，代入数量积的坐标运算即可．
【解答】解：，
，．
．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
4．（5分）数列是公差不为零的等差数列，并且，，是等比数列的相邻三项．若，则　　
A． B． C． D．
【考点】84：等差数列的通项公式；87：等比数列的性质
【专题】11：计算题
【分析】由数列是公差不为零的等差数列，利用等差数列的性质得到，，再由，，是等比数列的相邻三项，利用等比数列的性质列出关系式，得到与的关系，用表示出，由等比数列的性质得到，将表示出的代入后，再将表示出的代入，约分后求出的值，由的值及的值，求出首项的值，由及的值，利用等比数列的通项公式即可表示出的通项．
【解答】解：是公差不为零的等差数列，并且，，是等比数列的相邻三项，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了等差、等比数列的性质，以及等差、等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
5．（5分）函数，，的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象　　

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】：函数的图象变换
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；57：三角函数的图象与性质
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由在函数图象上，结合的范围求出的值，可得函数的解析式．再根据函数的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：，
，
，解得：，可得：，
将代入得：，
，
，
故可将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．
故选：．
【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．
6．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为　　
（参考数据：，，

A．12 B．24 C．36 D．48
【考点】：程序框图
【专题】11：计算题；27：图表型；：试验法；：算法和程序框图
【分析】列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
，，
不满足条件，，，
不满足条件，，，
满足条件，退出循环，输出的值为24．
故选：．
【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．
7．（5分）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围　　
A． B．，，
C． D．，，
【考点】：基本不等式及其应用
【专题】59：不等式的解法及应用
【分析】将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
实数的取值范围是，，．
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．
8．（5分）在，上随机地取两个实数，，则事件“直线与圆相交”发生的概率为　　
A． B． C． D．
【考点】：几何概型
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；：直线与圆；：概率与统计
【分析】根据题意画出不等式组和表示的平面区域，利用面积比求出对应的概率值．
【解答】解：根据题意，得，
又直线与圆相交，
，
即，
得，
所以；
画出图形，如图所示；

则事件“直线与圆相交”发生的概率为
．
故选：．

【点评】本题考查了二元一次不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了几何概率的计算问题，是基础题目．
9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于　　

A． B． C． D．
【考点】：由三视图求面积、体积
【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：空间位置关系与距离
【分析】根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，即可求得．
【解答】解：根据几何体的三视图，得：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，
棱锥最长的棱长等于，
故选：．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，比较基础
10．（5分）已知抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，点是抛物线上的一动点，到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【考点】：双曲线的标准方程
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得，再利用抛物线的定义，结合到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，可得，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
【解答】解：抛物线的焦点，双曲线的一条渐近线的方程为，
抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为，

，
到双曲线的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3，



，，
，
双曲线的方程为．
故选：．
【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
11．（5分）在等腰直角中，，在边上且满足：，若，则的值为　　
A． B． C． D．
【考点】：平面向量的基本定理
【专题】15：综合题；35：转化思想；：演绎法；：平面向量及应用
【分析】易知，，三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．
【解答】解：，
，，三点共线，
由题意建立如图所示坐标系，
设，
则，，，
直线的方程为，
直线的方程为，
故联立解得，，，
故，，
故，，，，
故，
故，，，
故，
故选：．

【点评】本题考查了平面向量坐标运算的应用，考查平面向量基本定理，属于中档题．
12．（5分）定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为　　
A． B． C． D．
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【专题】51：函数的性质及应用
【分析】利用奇偶函数得出当时，，时，，画出图象，根据对称性得出零点的值满足，
的值，关键运用对数求解，整体求解即可．
【解答】解：定义在上的奇函数，
，
当时，，
当时，，
得出时，
画出图象得出：


如图从左向右零点为，，，，，
根据对称性得出：，
，，，
故，
故选：．
【点评】本题综合考察了函数的性质，图象的运用，函数的零点与函数交点问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）抛物线的焦点坐标是　，　．
【考点】：抛物线的性质
【专题】11：计算题
【分析】先将抛物线的方程化为标准方程形式，确定开口方向及的值，即可得到焦点的坐标．
【解答】解：抛物线的标准方程为，
，开口向右，故焦点坐标为，，
故答案为，．
【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．
14．（5分）设函数，则　　．
【考点】：分段函数的应用
【专题】11：计算题；38：对应思想；51：函数的性质及应用
【分析】由已知中函数，将代入可得答案．
【解答】解：函数，
，
（4），
故答案为：；
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
15．（5分）现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为　　．
【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：空间位置关系与距离
【分析】设球半径为，正方体边长为，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．
【解答】解：设球半径为，正方体边长为，
由题意得当正方体体积最大时：
，，
所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．（5分）已知函数的图象为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围为　，　．
【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】11：计算题；：直线与圆；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得有解，再由指数函数的单调性，即可得到的范围．
【解答】解：函数的导数为，
若曲线存在与直线垂直的切线，
即有有解，
即，
由，则．
则实数的范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知函数，当，时，的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，已知（C），，延长至，使，且，求的面积．
【考点】：正弦定理；：余弦定理
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得．由，，利用正弦函数的性质可求，结合已知可求的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，结合范围，可求，设，则，在中，由余弦定理可解得，进而由余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（Ⅰ）



．
，，，，可得：，
，解得：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，
，
，可得：，，
，解得：，
如图，设，则，
在中，由余弦定理可得：，解得，
，可得：，
．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．某大学高等数学这学期分别用，两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：

甲班
乙班
合计
优秀



不优秀



合计



（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考方式：，其中
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率．

【考点】：茎叶图；：独立性检验
【专题】12：应用题；38：对应思想；：数学模型法；：概率与统计
【分析】（1）根据茎叶图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）利用列举法求出基本事件，计算所求的概率值．
【解答】解：（1）根据茎叶图，填写列联表如下；

甲班
乙班
合计
优秀
3
10
13
不优秀
17
10
27
合计
20
20
40
计算观测值，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；
（2）甲班高等数学成绩不得低于80分的6名同学记为、、、、、，
其中、为86分的学生；
从6人中随机抽取2人，基本事件是
、、、、、、、、、、、、、、共15种，
成绩为86分的同学至少有一个被抽中基本事件是
、、、、、、、、共6种，
故所求的概率为．
【点评】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题．
19．如图，正方形的边长等于2，平面平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面平行
【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；：空间位置关系与距离
【分析】（Ⅰ）连结，记，取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
（Ⅱ）在面中，过作，交于点，推导出，从而，三棱锥的体积，由此能求出三棱锥的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）连结，记，取的中点，连结、，
点、分别是和的中点，，
又，，四边形是平行四边形，
，即，
又面，平面，
平面．
解：（Ⅱ）在面中，过作，交于点，
由已知条件知，在梯形中，，，，
，即，从而，
平面，点到平面的距离为，，
．
三棱锥的体积．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．
【考点】：椭圆的性质
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）由焦点坐标可求值，根据，，的平方关系可求得值；
（Ⅱ）当直线不存在斜率时可得，；当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，与椭圆方程联立消可得的方程，根据韦达定理可用表示，，可转化为关于，的式子，进而变为关于的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．
【解答】解：（Ⅰ）因为为椭圆的焦点，所以，
又，所以，
所以椭圆方程为；
（Ⅱ）直线无斜率时，直线方程为，
此时，，，面积相等，，
当直线斜率存在（显然时，设直线方程为，
设，，，，
和椭圆方程联立，消掉得，
显然△，方程有根，且，，
此时
，时等号成立）
所以的最大值为．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．
21．设函数，已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直．
（Ⅰ） 求的值．
（Ⅱ） 若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
【考点】：利用导数研究函数的单调性；：利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用
【分析】（Ⅰ）根据切线的斜率，求出的值即可；
（Ⅱ）求出的导数，问题 ，令 ，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线在点，（1）处的切线斜率为2，所以（1），（2分）
又 ，即 ，所以．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以 ，（6分）
若在上为单调递减函数，则在上恒成立，
即 ，所以 ．（8分）
令 ，则
由，得，，得，
故函数在，上是减函数，在，上是增函数，
则 ，无最大值，在上不恒成立，
故在不可能是单调减函数．（10分）
若在上为单调递增函数，则在上恒成立，
即 ，所以 ，由前面推理知， 的最小值为1，
，故的取值范围是，．（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
请考生在22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ） 写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点且与直线平行的直线交于，两点，求．
【考点】：点、线、面间的距离计算；：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程
【专题】35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程
【分析】（Ⅰ） 由消去参数，可得直线的普通方程；由得，由得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点且与直线平行的直线的参数方程为，将其代入，结合韦达定理，可得．
【解答】解：（Ⅰ） 由消去参数，得直线的普通方程为．
又由得，
由得曲线的直角坐标方程为．（5分）
（Ⅱ） 过点且与直线平行的直线的参数方程为
将其代入得，
则，知，，
所以．（10分）
【点评】本题考查的知识点是直线的参数方程，圆的极坐标方程，两点之间的距离，难度中档．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数（其中．
（Ⅰ） 当时，求不等式的解集；
（Ⅱ） 若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围．
【考点】：函数恒成立问题；：不等式恒成立的问题；：绝对值不等式的解法
【专题】11：计算题；32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；：不等式
【分析】（Ⅰ） 当时，化简不等式，利用的取值讨论去掉绝对值符号求解不等式的解集；
（Ⅱ） 利用绝对值的几何意义，转化列出不等式求解的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ） 当时，即．
①当时，得，解得；
②当时，得，不成立，此时；
③当时，得成立，此时．
综上，不等式的解集为或．（6分）
（Ⅱ） 因为，
由题意，
即或，
解得或，即的取值范围是，，．（10分）
【点评】本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
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日期：2019/4/15 16:38:55；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120