212.2017年福建省福州一中高考数学考前最后一卷（文科）

这是一份212.2017年福建省福州一中高考数学考前最后一卷（文科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年福建省福州一中高考数学考前最后一卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）当时，复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知，则的值为　　
A．2 B． C．3 D．
3．（5分）为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是　　
A．23 B．27 C．31 D．33
4．（5分）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为　　

A．528 B．1020 C．1038 D．1040
5．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积等于　　

A． B． C． D．
6．（5分）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是　　
A． B． C． D．
7．（5分）若实数，满足不等式组，则的最大值为　　
A．13 B．11 C．3 D．1
8．（5分）点在抛物线上，为抛物线焦点，，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则　　
A．9 B．12 C．18 D．32
9．（5分）如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是　　

A．（a）？； B．（b）？；
C．（a）？； D．（b）？；
10．（5分）已知函数，的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，则的单调递减区间为．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（5分）已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为　　
A．3 B． C．2 D．
12．（5分）已知函数，函数，若存在、，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设向量，均为单位向量，且，则与夹角为　 　．
14．（5分）已知函数，若实数满足（2），则实数的值是　　．
15．（5分）已知在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，．棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为　　．
16．（5分）已知函数，若，，则数列的前项和等于　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且，为外接圆的半径）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的面积．
18．（12分）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：

室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150


无呼吸系统疾病

100

合计
200


（Ⅰ）补全列联表；
（Ⅱ）你是否有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．参考公式与临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19．（12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（Ⅰ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线，使得平面，并给予证明．
（Ⅱ）求点到平面的距离．

20．（12分）在平面直角坐标系中，一动圆经过点，且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值．
21．（12分）设函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，，求．
（Ⅱ）若对任意，，都存在，为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：，，，曲线为参数）．
（Ⅰ）求的直角坐标方程；
（Ⅱ）与相交于，，与相切于点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）求函数的最大值．
（Ⅱ）是否存在满足的实数，，使得．

2017年福建省福州一中高考数学考前最后一卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）当时，复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】：复数的代数表示法及其几何意义
【专题】31：数形结合；59：不等式的解法及应用；：数系的扩充和复数
【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出．
【解答】解：复数，
，，，
在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、不等式的性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知，则的值为　　
A．2 B． C．3 D．
【考点】：同角三角函数间的基本关系
【专题】56：三角函数的求值
【分析】原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，将的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式．
故选：．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3．（5分）为了调查某班级的作业完成情况，将该班级的52名同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知05、18、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是　　
A．23 B．27 C．31 D．33
【考点】：系统抽样方法
【专题】35：转化思想；：定义法；：概率与统计
【分析】根据系统抽样的定义计算出样本间隔进行求解即可．
【解答】解：用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，
则样本间隔为，
则样本中还有一位同学的编号应该是，
故选：．
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．
4．（5分）“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为　　

A．528 B．1020 C．1038 D．1040
【考点】：归纳推理
【专题】29：规律型；35：转化思想；：定义法；：推理和证明
【分析】根据前4行可得，第行数字之和为，代值计算即可．
【解答】解：第一行数字之和为，
第二行数字之和为，
第三行数字之和为，
第四行数字之和为，

第行数字之和为，

故选：．
【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：，则该几何体的体积等于　　

A． B． C． D．
【考点】：由三视图求面积、体积
【专题】31：数形结合；：转化法；：空间位置关系与距离
【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体为一个三棱柱与一个半圆柱组成的．
【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为一个三棱柱与一个半圆柱组成的．
该几何体的体积
．
故选：．

【点评】本题考查了三棱柱与圆柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是　　
A． B． C． D．
【考点】：古典概型及其概率计算公式
【专题】：概率与统计
【分析】首先列举出所有可能的基本事件，再找到满足取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件，最后利用概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有，2，，，2，，，2，，，3，，，3，，，4，，，3，，，3，，，4，，，4，共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有，3，，，4，，，4，共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率．
故选：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
7．（5分）若实数，满足不等式组，则的最大值为　　
A．13 B．11 C．3 D．1
【考点】：简单线性规划
【专题】59：不等式的解法及应用
【分析】将转化为分段函数，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由，解得，即，
由，解，即，
当时，，即，，
当时，，即，，
当时，平移直线，（红线），
当直线经过点时，
直线的截距最小为，
当经过点时，
直线的截距最大为，此时．
当时，平移直线，（蓝线），
当直线经过点时，直线的截距最小为，
当经过点时，
直线的截距最大为，此时，
综上，
故的取值范围是，，
故的最大值为11，
故选：．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，将目标函数转化为分段函数，利用两次平移，是解决本题的关键，难度较大．
8．（5分）点在抛物线上，为抛物线焦点，，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则　　
A．9 B．12 C．18 D．32
【考点】：抛物线的性质
【专题】35：转化思想；41：向量法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用抛物线的焦半径公式，求得点坐标，即可求得圆，当，即可求得和坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得答案．
【解答】解：抛物线的焦点，设，由抛物线的焦半径公式，即，则，，
假设，则圆的方程为，
令，解得：或，则，，
则，，，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的焦半径公式，考查圆的方程，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
9．（5分）如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是　　

A．（a）？； B．（b）？；
C．（a）？； D．（b）？；
【考点】：程序框图
【专题】38：对应思想；：定义法；：算法和程序框图
【分析】根据二分法的定义结合程序框图的应用进行判断即可．
【解答】解：根据二分法的定义知①（b）？；②，
故选：．
【点评】本题主要考查程序框图的判断，结合二分法的定义是解决本题的关键．
10．（5分）已知函数，的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，则的单调递减区间为．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【考点】：函数的图象变换
【专题】15：综合题；33：函数思想；：数学模型法；57：三角函数的图象与性质
【分析】由题意求得周期，再由周期公式求得，结合函数对称轴求出，则函数的解析式可求，再由函数的图象平移求得，利用复合函数的单调性求的单调递减区间．
【解答】解：由图象上相邻最高点的距离为，的，则．
，
又图象关于直线对称，
，．
，．
，
时，．
则，
函数的图象向右平移个单位后，
得到．
由，得，．
的单调递减区间为，，．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查型函数的图象和性质，是中档题．
11．（5分）已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为　　
A．3 B． C．2 D．
【考点】：双曲线的性质
【专题】11：计算题；：直线与圆；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】首先求出到渐近线的距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，，，
一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为
．
设关于渐近线的对称点为，与渐近线交于，
，为的中点，
又0是的中点，，为直角，
△为直角三角形，
由勾股定理得
，，
，．
故选：．

【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，函数，若存在、，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【考点】34：函数的值域；：三角函数的最值
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题
【分析】根据的范围确定函数的值域和的值域，进而根据成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得的范围，进而可求得当集合的交集非空时的范围．
【解答】解：当，时，值域是，，
值域是，
存在、，使得成立，
，
若，则或，即，
的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定的范围．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）设向量，均为单位向量，且，则与夹角为　　．
【考点】：数量积表示两个向量的夹角
【专题】：平面向量及应用
【分析】直接利用向量的模的平方，化简求解即可．
【解答】解：向量，均为单位向量，且，
所以．
可得．
与夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，向量的夹角的求法，考查计算能力．
14．（5分）已知函数，若实数满足（2），则实数的值是　4或　．
【考点】：函数的值
【专题】34：方程思想；：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】先判断函数为偶函数，利用对数的运算法则进行化简求解即可．
【解答】解：函数为偶函数，则（2），
等价为（2），
即（2），
则（2），
则或，
得或，
故答案为：4或
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数是偶函数是解决本题的关键．
15．（5分）已知在直三棱柱中，为等腰直角三角形，，．棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为　　．
【考点】：球的体积和表面积；：球内接多面体
【专题】11：计算题；31：数形结合；46：分割补形法；：立体几何
【分析】由题意画出图形，求解直角三角形求出，然后补形可得三棱柱外接球的半径．
【解答】解：如图，连接并延长交 的延长线于，
连接，在平面 内过作交 的延长线于，
则，，
，得．
把原直三棱柱补形为正方体，则正方体的棱长为4．
三棱柱外接球的半径．
故答案为：．

【点评】本题考查球的体积与表面积，考查空间想象能力和思维能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5分）已知函数，若，，则数列的前项和等于　　．
【考点】：数列的求和
【专题】32：分类讨论；34：方程思想；：转化法；54：等差数列与等比数列
【分析】由函数，，可得，（6）（3），（8）（2）（1）．利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由函数，，
可得，
（6）（3），（8）（2）（1）．
数列的前项和．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且，为外接圆的半径）
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的面积．
【考点】：三角形中的几何计算
【专题】35：转化思想；：转化法；58：解三角形
【分析】（Ⅰ）由已知得，即，即，求得：．
（Ⅱ）由，即可得．
【解答】解：（Ⅰ），．
，
即，又，，，
得：．
（Ⅱ），且，．
，或（不合）
．
【点评】本题考查了三角恒等变形、余弦定理，面积计算，属于中档题．
18．（12分）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：

室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150


无呼吸系统疾病

100

合计
200


（Ⅰ）补全列联表；
（Ⅱ）你是否有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；
（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．参考公式与临界值表：

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【考点】：独立性检验
【专题】11：计算题；：概率与统计
【分析】（Ⅰ）由所给数据，结合500，即可补全列联表；
（Ⅱ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论；
（Ⅲ）求出基本事件的总数，利用古典概型概率公式，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）列联表如下

室外工作
室内工作
合计
有呼吸系统疾病
150
200
350
无呼吸系统疾病
50
100
150
合计
200
300
500
（4分）
（Ⅱ）计算，（7分）
所以有的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关．（8分）
（Ⅲ）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为、、、，无呼吸系统疾病的抽2 人，记为、，从中抽两人，共有15种抽法，
设 “从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”，有种，
所以（A）．（12分）
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，考查概率知识的运用，属于中档题．
19．（12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（Ⅰ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线，使得平面，并给予证明．
（Ⅱ）求点到平面的距离．

【考点】：直线与平面平行；：点、线、面间的距离计算
【专题】31：数形结合；45：等体积法；：空间位置关系与距离
【分析】取线段的中点，连接，直线即为所求．借助于给出证明；
利用求出到平面的距离即可．
【解答】解：（Ⅰ）取线段的中点，
连接，直线即为所求．
证明如下：
取中点，连接，连接交于．
则为的中位线．
，又，
，
四边形为平行四边形，．
，分别为，的中点，
，．
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又平面，平面，
平面，
到平面的距离等于到平面的距离，设为．
平面，平面，
，又，
，
又，，
平面．
，
在中，，，
又，，．
，
，，
解得．
到平面的距离为．

【点评】本题考查了线面平行的判定，体积与空间距离的计算，属于中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系中，一动圆经过点，且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值．
【考点】：抛物线的性质
【专题】35：转化思想；：转化法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，即可求得曲线的方程；
（Ⅱ）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线和圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知圆心到，的距离等于直线的距离，
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为准线的抛物线，
设抛物线方程，则，则，
曲线的方程为；．
（Ⅱ）设，，，
直线的方程为：，
又圆心到的距离为1，则．
整理得：，
同理可得：，
，是方程，的两根，
，，
依题意，即，
则．
由，则，．
．
当，即时上式取得等号，
面积的最小值为8．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：，以及基本不等式的运用，属于中档题．
21．（12分）设函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，，求．
（Ⅱ）若对任意，，都存在，为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．
【考点】：利用导数研究函数的极值；：利用导数研究函数的最值
【专题】53：导数的综合应用
【分析】（Ⅰ）先求导得到，由，（1），得到与的值，再令导数大于0，或小于0，得到函数的单调区间，再由零点存在性定理得到得到，进而得到的值；
（Ⅱ）令（b），，，问题转化为在上（b）有解即可，亦即只需存在使得即可，连续利用导函数，然后分别对，，看是否存在使得（1），进而得到结论．
【解答】解：（Ⅰ），是函数的极值点，．
是函数的零点，得（1），
由，解得，．（2分）
，
令，，得；
令得，
所以在上单调递减；在上单调递增．（4分）
故函数至多有两个零点，其中，，
因为（2）（1），（3），（4），
所以，故．（6分）
（Ⅱ）令（b），，，则（b）为关于的一次函数且为增函数，
根据题意，对任意，，都存在， 为自然对数的底数），使得成立，
则在上，有解，
令，只需存在使得即可，
由于，
令，，，
在上单调递增，（1），（9分）
①当，即时，，即，在上单调递增，（1），不符合题意．
②当，即时，（1），（e）
若，则（e），所以在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，
存在使得（1），符合题意．
若，则（e），在上一定存在实数，使得，
在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，
存在使得（1），符合题意．
综上所述，当时，对任意，，都存在， 为自然对数的底数），使得成立．（12分）
【点评】本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，曲线．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：，，，曲线为参数）．
（Ⅰ）求的直角坐标方程；
（Ⅱ）与相交于，，与相切于点，求的值．
【考点】：参数方程化成普通方程
【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程
【分析】（Ⅰ）由，，能求出曲线的直角坐标方程．
（Ⅱ）设，，，由题意知直线的斜率，从而，进而，．设，对应的参数分别为，．把，代入，得，由此利用韦达定理能求出．
【解答】解：（Ⅰ），，
由，得，
曲线的直角坐标方程为：．
（Ⅱ）设，，，由题意知直线的斜率，
所以，即，
所以，故，．
取，，不妨设，对应的参数分别为，．
把，代入，
化简得，即，
与相交于，，△，．
．
【点评】本题考查曲线的直角坐标的求法，考查两线段之差的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）求函数的最大值．
（Ⅱ）是否存在满足的实数，，使得．
【考点】：函数的最值及其几何意义
【专题】35：转化思想；：转化法；：不等式
【分析】（Ⅰ）即可，
（Ⅱ）由，即可判定．
【解答】解：（Ⅰ），
当且仅当或时，等号成立，最大值．
（Ⅱ），
当且仅当，时取等，
所以存在满足的实数，，使得．
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
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日期：2019/4/17 15:03:47；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120