2019北京中关村中学初一（上）期中数学（教师版）

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2019北京中关村中学初一（上）期中
数 学
一.选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（3分）在﹣3，﹣1，2，0这四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．0
2．（3分）2018年9月14日，北京新机场名称确定为“北京大兴国际机场”，2019年建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求，将45000000科学记数法表示应为（　　）
A．0.45×108 B．45×106 C．4.5×107 D．4.5×106
3．（3分）如图，在数轴上点A、B、C、D表示的数，其中绝对值最大的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．3a﹣（﹣2a）＝5a
C．3a2﹣2a＝a D．（3﹣a）﹣（2﹣a）＝1﹣2a
5．（3分）若|m﹣2|+（n﹣1）2＝0，则m+2n的值为（　　）
A．﹣1 B．4 C．0 D．﹣4
6．（3分）下列数或式：（﹣2）3，（﹣）6，﹣52，0，m2+1，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）下列各式子中，是同类项的是（　　）
A．2a与2b B．3a2b与5ab2
C．2xy与 x2y D．0.3a2b 与0.5ba2
8．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（　　）

A．a＞b B．﹣ab＜0 C．|a|＜|b| D．a＜﹣b
9．（3分）若x＝2时x4+mx2﹣n的值为6，则当x＝﹣2时x4+mx2﹣n的值为（　　）
A．﹣6 B．0 C．6 D．26
10．（3分）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（　　）

A．63 B．70 C．96 D．105
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．（3分）如果+30m表示向东走30m，那么向西走40m表示为　 　．
12．（3分）写出一个次数为3，且含有字母a、b的整式：　 　．
13．（3分）计算：﹣2+3＝　 　；（﹣2）×3＝　 　．
14．（3分）比较大小（用“＞，＜，＝”表示）：﹣|﹣2|　 　﹣（﹣2）．
15．（3分）设甲数为x，乙数为y，用代数式表示“甲数与乙数的和的三分之一”是　 　．
16．（3分）单项式的系数是　 　，次数是　 　．
17．（3分）已知|x|＝2，|y|＝3，且x＜y，则x﹣y＝　 　．
18．（3分）a为绝对值小于2019的所有整数的和，则2a的值为　 　．
19．（3分）如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为　 　（用含a，b的式子表示）．

20．（3分）观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中的五角星的个数为　 　，第n个图形中的五角星（n为正整数）个数为　 　（用含n的代数式表示）．
三、解答题（本题共40分，21题12分，22题、23题、24题每题4分，25题、26题每题5分，27题每题6分）
21．（12分）计算：
（1）5+（﹣3）﹣8
（2）﹣8×（+1﹣1）
（3）|﹣4|×（﹣）2+8÷（﹣）
22．（4分）化简3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b．
23．（4分）先化简，再求值.5（x2﹣y）﹣3（x2﹣2y）﹣x2﹣1，其中x＝﹣3，y＝1
24．（4分）[阅读材料]“九宫图“源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．
[规律总结]观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是什么？请你把发现的规律表述出来．若图3，是一个幻方，求出a、b的值．

25．（5分）窗户的形状如图所示（图中长度单位：cm），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是acm，计算：
（1）窗户的面积；
（2）窗户的外框的总长．

26．（5分）我们规定：a﹣p＝（a≠0），即a的负P次幂等于a的p次幂的倒数．例：4﹣2＝
（1）计算：5﹣2＝　 　；（﹣2）﹣2＝　 　；
（2）如果2﹣p＝，那么p＝　 　；如果a﹣2＝，那么a＝　 　；
（3）如果a﹣p＝，且a、p为整数，求满足条件的a、p的取值．
27．（6分）数轴上点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即MN＝|m﹣n|．那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问：

（1）当t＝4秒时，P、Q友好距离　 　个单位长度，当t＝14秒时P、Q友好距离　 　个单位长度．
（2）当P、Q两点友好距离是16个单位长度时，t＝　 　秒．
（3）P、Q两点相遇时，求运动的时间t的值．

2019北京中关村中学初一（上）期中数学
参考答案
一.选择题（本题共30分，每小题3分）在下列各题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
，
由图可知，四个数中﹣3最小．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：45000000＝4.5×107，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
3．【分析】直接利用数轴结合绝对值的定义得出答案．
【解答】解：∵绝对值越大则点距离原点越远，
∴由数轴可得A点距离原点最远，故A点表示的数绝对值最大．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确理解绝对值的意义是解题关键．
4．【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：∵3a+2b不能合并，故选项A错误；
∵3a﹣（﹣2a）＝3a+2a＝5a，故选项B正确；
∵3a2﹣2a不能合并，故选项C错误；
∵（3﹣a）﹣（2﹣a）＝3﹣a﹣2+a＝1，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5．【分析】根据非负数的性质列式计算求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得m﹣2＝0，n﹣1＝0，
解得m＝2，n＝1，
则m+2n＝2+2×1＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
6．【分析】在原点右边的数即正数，所以先根据有理数乘方的定义化简各数，继而可得答案．
【解答】解：（﹣2）3＝﹣8＜0，（﹣）6＝＞0，﹣52＝﹣25＜0，0，m2+1≥1＞0，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，正确理解题意，依据数轴上原点右边的数表示正数，左边的数表示负数及有理数的乘方运算法则即可解决．
7．【分析】直接利用同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进而分析得出答案．
【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故本选项不合题意；
B．所含字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意；
C．所含字母的指数不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意；
D．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
8．【分析】根据各点在数轴上的位置得出a、b两点到原点距离的大小，进而可得出结论．
【解答】解：∵由图可知a＜0＜b，且|a|＞|b|，
∴a＜﹣b．
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
9．【分析】把x＝2代入求出4m﹣n的值，再将x＝﹣2代入计算即可求出所求．
【解答】解：把x＝2代入得：16+4m﹣n＝6，
解得：4m﹣n＝﹣10，
则当x＝﹣2时，原式＝16+4m﹣n＝16﹣10＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．【分析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．
【解答】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，
这7个数之和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．
由题意得
A、7x＝63，解得：x＝9，能求得这7个数；
B、7x＝70，解得：x＝10，能求得这7个数；
C、7x＝96，解得：x＝，不能求得这7个数；
D、7x＝105，解得：x＝15，能求得这7个数．
故选：C．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“H”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．
【解答】解：如果+30m表示向东走30m，那么向西走40m表示为﹣40m，
故答案为：﹣40m．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
12．【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出一个符合题意的答案．
【解答】解：由题意可得：a2b（答案不唯一）．
故答案为：a2b（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了整式，正确掌握单项式次数确定方法是解题关键．
13．【分析】根据有理数的加法和乘法法则计算可得．
【解答】解：﹣2+3＝+（3﹣2）＝1，
（﹣2）×3＝﹣（2×3）＝﹣6，
故答案为：1，﹣6．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法和乘法法则．
14．【分析】先求出各数的值，再根据负数小于一切正数即可得出结论．
【解答】解：∵﹣|﹣2|＝﹣2＜0，﹣（﹣2）＝2＞0，
∴﹣|﹣2|＜﹣（﹣2）．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数小于一切正数是解答此题的关键．
15．【分析】根据甲数为x，乙数为y，先表示出甲、乙两数的和，再乘以即可．
【解答】解：设甲数为x，乙数为y，
则甲、乙两数的差的三分之一是：，
故答案为：．
【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出代数式．
16．【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故答案为：；3．
【点评】本题考查的是单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
17．【分析】先依据绝对值的性质求得x、y的值，然后再代入计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3，且x＜y，
∴x＝2，y＝3；x＝﹣2，y＝3，
∴x﹣y＝﹣1或﹣5．
故答案为：﹣1或﹣5．
【点评】此题考查了有理数的减法，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
18．【分析】首先判断出绝对值小于2019的所有整数有哪些，然后把它们相加，求出a的值是多少，进而求出2a的值为多少即可．
【解答】解：绝对值小于2019的所有整数有：﹣2018、﹣2017、…、﹣1、0、1、…、2017、2018，
它们的和是：
a＝（﹣2018+2018）+（﹣2017+2017）+…+（﹣1+1）+0＝0，
∴2a＝0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
19．【分析】利用矩形的性质得到剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），然后计算它的周长．
【解答】解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），
所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．
故答案为4b﹣2a．
【点评】本题考查了矩形的周长．
20．【分析】根据每个图形观察发现，每个图形左边五角星个数和图形序号一致，上方只有一个，根据规律即可求出答案．
【解答】解：∵第1个图形中五角星的个数3＝1+1+1，
第2个图形中五角星的个数5＝1+2+2，
第3个图形中五角星的个数8＝1+3+22，
第4个图形中五角星的个数13＝1+4+23，
∴第5个图形中五角星的个数为1+5+24＝22，
则第n个图形中的五角星个数为1+n+2n﹣1．
故答案为：22；1+n+2n﹣1．
【点评】本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
三、解答题（本题共40分，21题12分，22题、23题、24题每题4分，25题、26题每题5分，27题每题6分）
21．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝5+（﹣3）+（﹣8）
＝5+（﹣11）
＝﹣6；
（2）原式＝﹣8×﹣8×1﹣8×
＝﹣4﹣8﹣10
＝﹣22；
（3）原式＝4×﹣8×
＝1﹣12
＝﹣11．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝6ab2﹣12a+3b﹣6ab2+4a+b
＝﹣8a+4b．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
23．【分析】直接去括号进而合并同类项进而把已知代入求出答案．
【解答】解：5（x2﹣y）﹣3（x2﹣2y）﹣x2﹣1
＝5x2﹣5y﹣3x2+6y﹣x2﹣1
＝x2+y﹣1，
当x＝﹣3，y＝1时，代入原式＝（﹣3）2+1﹣1＝9．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．
24．【分析】计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可确定出“幻方”需要的条件，确定出a、b的值即可．
【解答】解：通过观察和口算可知，每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
由幻方的条件可知4+2+a＝﹣1+1+3，
解得a＝﹣3；
4﹣1+b＝﹣1+1+3，
解得b＝0．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系，列出方程．
25．【分析】（1）根据图示，用边长是acm的4个小正方形的面积加上半径是acm的半圆的面积，求出窗户的面积是多少即可．
（2）根据图示，用3条长度是2acm的边的长度和加上半径是acm的半圆的周长，求出窗户的外框的总长是多少即可．
【解答】解：（1）窗户的面积是：
4a2+πa2÷2
＝4a2+0.5πa2
＝（4+0.5π）a2（cm2）

（2）窗户的外框的总长是：
2a×3+πa
＝6a+πa
＝（6+π）a（cm）
【点评】此题主要考查了列代数式问题，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握正方形、圆的周长和面积的求法．
26．【分析】（1）根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解；
（2）根据负整数指数幂的计算法则找到指数即可求解；
（3）根据负整数指数幂的计算法则找到底数和指数即可求解．
【解答】解：（1）5﹣2＝；（﹣2）﹣2＝；
（2）如果2﹣p＝，那么p＝3；如果a﹣2＝，那么a＝±4；
（3）由于a、p为整数，
所以当a＝9时，p＝1；
当a＝3时，p＝2；
当a＝﹣3时，p＝2．
故答案为：（1）；；（2）3；±4．
【点评】考查了负整数指数幂，负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
27．【分析】（1）根据路程等于速度乘时间，可得点P、Q运动的路程，从而可求出点P、Q与点O相距的距离，进一步求得P、Q友好距离；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得当P、Q两点友好距离是16个单位长度时t的值；
（3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得P、Q两点相遇时，运动的时间t的值．
【解答】解：（1）当t＝4秒时，点P和点O在数轴上相距10﹣2×4＝2个长度单位，点Q和点O在数轴上相距18﹣1×4＝14个长度单位，P、Q友好距离2+14＝16个单位长度；
当t＝14秒时，点P和点O在数轴上相距（14﹣10÷2）×1＝9个长度单位，点Q和点O在数轴上相距18﹣1×14＝4个长度单位，P、Q友好距离9﹣4＝5个单位长度．
故答案为：16，5；
（2）依题意有10﹣2t+18﹣t＝16或8+10+2（t﹣14）+t＝28+16
解得t＝4或t＝18（舍弃），
故答案为：4；
（3）依题意有10+（t﹣5）+t＝28，
解得t＝．
故运动的时间t的值为秒．
【点评】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．