2020北京师大附中初一（上）期中数学（教师版）

这是一份2020北京师大附中初一（上）期中数学（教师版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空，计算题，化简求值题，解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020北京师大附中初一（上）期中
数 学
一、选择题（本题共10小题，共30分，下面各题均有四个选只有一个是符合题意）
1．（3分）﹣1的相反数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．（3分）截至2020年10月21日全球新冠肺炎确诊数已超40960000例，将40960000科学记数法表示为（　　）
A．4.090×106 B．4.096×107
C．40.96×108 D．0． 4096×109
3．（3分）在数8，0，﹣|﹣2|，﹣0.5，﹣，﹣12中，负数的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2y+2xy2＝3xy2 B．3a+b＝3ab
C．a2+a3＝a5 D．﹣3ab+3ab＝0
5．（3分）若﹣3x2my3与2x4yn是同类项，则mn＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（3分）下列各式中去括号错误的是（　　）
A．x﹣（3y+）＝x﹣3y﹣
B．m+（﹣n+a﹣b）＝m﹣n+a﹣b
C．﹣[4x+（6y﹣3）]＝﹣2x﹣3y﹣3
D．（a+b）﹣（﹣c+）＝a+b+c﹣
7．（3分）关于x的方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为（　　）
A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
8．（3分）已知一个长方形的周长为30cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程（　　）
A．x﹣1＝2（15﹣x） B．x﹣1＝2（30﹣x）
C．x﹣1＝（15﹣x） D．x﹣1＝（30﹣x）
9．（3分）在数轴上，表示数x的点的位置如图所示，则化简|x+1|﹣|x﹣2|结果为（　　）

A．3 B．﹣3 C．2x﹣1 D．1﹣2x
10．（3分）一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式．例如，x2+y2+z2是对称整式，x2﹣2y2+3z2不是对称整式．
①所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；
②一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同；
③单项式不可能是对称整式；
④若某对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，则该多项式的项数至少为3．
以上结论中错误的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空（本共10小题，共20分）
11．（2分）在一次数学智力大比拼的竞赛中全班平均分为90分，小红得了85分，记作﹣5分，则小明得了92分，可记作　 　．
12．（2分）用四舍五入法取近似数，则7.895精确到0.01是　 　．
13．（2分）单项式﹣ab3的系数是　 　，次数是　 　．
14．（2分）比较大小：　 　（用“＞或＝或＜”填空）．
15．（2分）已a2+3a＝2，则多项式2a2+6a﹣10的值为　 　．
16．（2分）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+16＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
17．（2分）已知x2＝16，|y|＝3，xy＜0，那么x﹣y＝　 　．
18．（2分）如果一个足球价格为a元，那么3a可以表示3个足球的总价，类似的，请你赋予代数式4x+2y一个实际意义：　 　．
19．（2分）在计算：“10﹣3﹣”时，甲同学的做法如下：
10﹣3﹣
＝10﹣（﹣3﹣）①
＝10+（﹣3）②
＝7③
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤　 　．（写出错误所在行的序号）
这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，　 　．
20．（2分）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…．由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．
（1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数　 　．
（2）类似地，我们将k边形数中第n个数记为N（n，k）（k≥3）．以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数：N（n，3）＝n2+n
正方形数：N（n，4）＝n2
五边形数：N（n，5）＝n2﹣n
六边形数：N（n，6）＝2n2﹣n
…
根据以上信息，得出N（n，k）＝　 　．（用含有n和k的代数式表示）

三、计算题（本共4小题，每小题4分，共16分）
21．（4分）﹣4﹣（﹣2）+（﹣5）+8．
22．（4分）36÷4×（﹣）÷（﹣）．
23．（4分）（﹣12）×（﹣﹣）．
24．（4分）﹣22+3×（﹣）+1÷（）2．
四、化简求值题（25题8分，26题5分，共13分）
25．（8分）化简：
（1）（4a﹣2b）﹣（5a﹣3b）；
（2）2（2x2+3x﹣1）﹣（x2+2x﹣2）．
26．（5分）先化简后求值：4x2﹣[6xy+（y2+2x2）﹣2（3xy﹣y2）]，其中x＝﹣1，y＝．
五、解方程（本题共2小题，每小题5分，共10分）
27．（5分）2（2﹣x）﹣5（2﹣x）＝9．


28．（5分）解方程：．


六、解答题（本题共2题，29题5分，30题6分，共11分）
29．（5分）对于正整数a，b，定义一种新算a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b
（1）计算1△2的值为　 　；
（2）写出a△b的所有可能的值　 　；
（3）若a△b△c△d△e△f＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）c+（﹣1）d+（﹣1）e+（﹣1）f，其中a、b、c、d、e、f都是正整数，请你写出使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值　 　；
（4）若a，b，c都是正整数，则下列说法正确的是　 　．（选出所有正确选项）
A．a△b＝b△a
B．a△（b+c）＝a△b+a△c
C．（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]
D．（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]

30．（6分）阅读下面信息：
①数轴上两点M、N表示数分别为x1，x2，那么点M与点N之间的距记为|MN|且|MN|＝|x1﹣x2|．
②当数轴上三点A、B、C满足|CA|＝k|CB|（k＞1）时，则称点C是“A对B的k相关点”．例如，当点A、B、C表示的数分别为0，1，2时，|CA|＝2|CB|，所以C是“A对B的2相关点”．
根据以上信息，回答下列问题：
已知点A、B在数轴上表示的数分别为6和﹣3，动点P在数轴上表示的数为x：
（1）若点P是“A对B的2相关点”，则x＝　 　；
（2）若x满足|x+2|+|x﹣1|＝3，且点P是“A对B的k相关点”，则k的取值范围是　 　；
（3）若动点P从A点出发以每秒1个单位的速度向左运动，同时动点Q从B点出发以每秒2个单位的速度向右运动，运动t秒时，点Q恰好是“P对A的2相关点”，求t的值．

2020北京师大附中初一（上）期中数学
参考答案
一、选择题（本题共10小题，共30分，下面各题均有四个选只有一个是符合题意）
1．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣1的相反数是：1＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：40960000＝4.096×107，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】先利用绝对值和乘方的意义得到﹣|﹣2|＝﹣2，﹣12＝﹣1，然后判断负数的个数．
【解答】解：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣12＝﹣1，
在数8，0，﹣|﹣2|，﹣0.5，﹣，﹣12中负数为﹣|﹣2|，﹣0.5，﹣，﹣12，
所以负数的个数为4．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了相反数和绝对值．
4．【分析】在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、x2y与2xy2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、3a与b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、a2与a3＝a5不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、﹣3ab+3ab＝0，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
5．【分析】根据同类项的定义得到2m＝4，n＝3，解得即可．
【解答】解：根据题意得2m＝4，n＝3，
解得：m＝2，n＝3，
所以mn＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
6．【分析】直接利用去括号法则，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，分别判断得出答案．
【解答】解：A、x﹣（3y+）＝x﹣3y﹣，正确，不合题意；
B、m+（﹣n+a﹣b）＝m﹣n+a﹣b，正确，不合题意；
C、﹣[4x+（6y﹣3）]＝﹣2x﹣3y+，错误，符合题意；
D、（a+b）﹣（﹣c+）＝a+b+c﹣，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了去括号法则，正确去括号是解题关键．
7．【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【解答】解：依题意，得
2×（﹣1）﹣（﹣1）k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7，
解得，k＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
8．【分析】根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．
【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30 cm，
∴长方形的宽为（15﹣x）cm，
∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个方形，
∴x﹣1＝2（15﹣x），
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽．
9．【分析】直接利用数轴得出x的取值范围，再利用绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：﹣1＜x＜0，
则x+1＞0，x﹣2＜0，
故|x+1|﹣|x﹣2|
＝x+1﹣[﹣（x﹣2）]
＝x+1+x﹣2
＝2x﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴以及绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
10．【分析】根据对称整式的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：①假设两个对称整式分别为M和N（含相同的字母），
由题意可知：任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，
则M+N的结果不变，故①正确；
②反例：x3+y3+z3+x+y+z为对称整式，但是次数并不相同，故②不正确；
③反例：xyz为单项式，但也是对称整式，故③不正确；
④对称整式只含字母x，y，z，且其中有一项为x2y，
若x，y互换，则x2y：y2x，则有一项为y2x；
若z，x互换，则x2y：z2y，则有一项为z2y；
若y，z互换，则x2y：x2z，则有一项为x2z；
第三项中x，y，z的次数相同，
则该多项式的项数至少为3．故④正确．
所以以上结论中错误的是②③，共2个．
故选：C．
【点评】本题考查了多项式、整式，解决本题的关键是掌握多项式和整式的定义．
二、填空（本共10小题，共20分）
11．【分析】根据在一次数学智力大比拼的竞赛中全班平均分为90分，小红得了85分，记作﹣5分，可以得到小明得了92分，可记作的得分．
【解答】解：92﹣2＝2．
故小明得了92分，可记作+2分．
故答案为：+2分．
【点评】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
12．【分析】把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【解答】解：7.895精确到0.01是7.90．
故答案为7.90．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
13．【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣ab3的系数是﹣，次数是4．
故答案为：﹣，4．
【点评】本题考查单项式的相关定义．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
14．【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
【解答】解：∵＞，
∴＜；
故答案为：＜．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
15．【分析】根据已知条件a2+3a＝2可化为2a2+6a＝4，代入多项式2a2+6a﹣10即可得出答案．
【解答】解：给等式a2+3a＝2两边同时乘以2，
可得2a2+6a＝4，
所以2a2+6a﹣10＝4﹣10＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查代数式求值，应用整体思想是解决本题的关键．
16．【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣1+16＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣1＝1且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
17．【分析】根据x与y乘积小于0，得到x与y异号，利用平方根定义及绝对值的代数意义求出x与y的值，代入原式计算即可．
【解答】解：∵x2＝16，|y|＝3，xy＜0，
∴x＝4，y＝﹣3或x＝﹣4，y＝3，
∴x﹣y＝4+3＝7或﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：7或﹣7．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】结合实际情境作答，答案不唯一．
【解答】解：答案不唯一，如4x+2y赋予一个实际意义：已知一支钢笔4元，一支铅笔2元，购买x支钢笔和y支铅笔共计（4x+2y）元．
故答案为：已知一支钢笔4元，一支铅笔2元，购买x支钢笔和y支铅笔共计（4x+2y）元．
【点评】此题主要考查了代数式，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答．
19．【分析】减去两个有理数，相当于加上这两个数的相反数的和．
【解答】解：10﹣3﹣
＝10+（﹣3﹣）
＝10+（﹣4）
＝6
故①步错．
故答案为：①，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加．
【点评】本题考查有理数加减运算．添括号正负号的处理是关键．
20．【分析】（1）由题意得第8个图的三角形数是36，所以既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36；
（2）由已知等式进行变形进而可推出结果．
【解答】解：（1）由题意第8个图的三角形数为×8（8+1）＝36，
∴既是三角形数又是正方形数，且大于1的最小正整数为36，
故答案为36．
（2）∵N（n，3）＝＝，
N（n，4）＝n2＝＝，
N（n，5）＝n2﹣n＝，
N（n，6）＝2n2﹣n＝＝，
由此推断出N（n，k）＝（k≥3）．
故答案为：（k≥3）．
【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．
三、计算题（本共4小题，每小题4分，共16分）
21．【分析】根据有理数加减法的计算法则进行计算即可．
【解答】解：﹣4﹣（﹣2）+（﹣5）+8
＝﹣4+2﹣5+8
＝（﹣4﹣5）+（2+8）
＝﹣9+10
＝1．
【点评】本题考查有理数的加减，掌握计算法则是正确计算的前提．
22．【分析】根据有理数乘除法的混合运算法则计算可求解．
【解答】解：原式＝
＝．
【点评】本题主要考查有理数的乘除法，掌握有理数乘除法法则是解题的关键．
23．【分析】首先利用乘法分配律进行计算，再计算加减即可．
【解答】解：原式＝（﹣12）×+12×+12×
＝﹣3+4+1
＝2．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握乘法分配律．
24．【分析】首先计算乘方，再算乘除，最后计算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣4﹣×+1÷
＝﹣4﹣4+16
＝8．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
四、化简求值题（25题8分，26题5分，共13分）
25．【分析】（1）直接去括号，再合并同类项得出答案；
（2）直接去括号，再合并同类项得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4a﹣2b﹣5a+3b
＝﹣a+b；

（2）原式＝4x2+6x﹣2﹣x2﹣2x+2
＝3x2+4x．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
26．【分析】利用去括号、合并同类项化简后再代入求值即可．
【解答】解：4x2﹣[6xy+（y2+2x2）﹣2（3xy﹣y2）]
＝4x2﹣（6xy+y2+2x2﹣6xy+y2）
＝4x2﹣6xy﹣y2﹣2x2+6xy﹣y2
＝2x2﹣2y2，
当x＝﹣1，y＝时，
原式＝2×1﹣2×＝．
【点评】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是正确解答的前提．
五、解方程（本题共2小题，每小题5分，共10分）
27．【分析】方程去括号，移项合并，将未知数系数化为1即可．
【解答】解：2（2﹣x）﹣5（2﹣x）＝9，
去括号，得4﹣2x﹣10+5x＝9，
移项，得5x﹣2x＝9+10﹣4，
合并同类项，得3x＝15，
系数化为1，得x＝5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
28．【分析】此题两个分母不同，可先使方程两边同时乘以公分母12，再进行化简．这样做会使题目难度降低．
【解答】解：原式可变形为：3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）
去括号得：9y﹣3﹣12＝10y﹣14
移项得：9y﹣10y＝﹣14+12+3
合并得：﹣y＝1
系数化1得：y＝﹣1
【点评】本题易在去分母，移项上出错，学生往往会不知道如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．
六、解答题（本题共2题，29题5分，30题6分，共11分）
29．【分析】（1）根据a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，可以求得所求式子的值；
（2）分正整数a，b都是奇数，一奇一偶，都是偶数进行讨论即可求解；
（3）写出五奇一偶的情况即为所求；
（4）根据a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，依次计算，再进行比较即可求解．
【解答】解：（1）∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，
∴1△2＝（﹣1）1+（﹣1）2＝﹣1+1＝0．
故答案为：0；
（2）正整数a，b都是奇数，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1﹣1＝﹣2；
正整数a，b一奇一偶，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1+1＝0；
正整数a，b都是偶数，
a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝1+1＝2．
综上所述，a△b的所有可能的值是﹣2或0或2．
故答案为：﹣2或0或2；
（3）使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值1，3，5，7，9，2（答案不唯一）．
故答案为：1，3，5，7，9，2（答案不唯一）；
（4）A．∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，b△a＝（﹣1）b+（﹣1）a，
∴a△b＝b△a，故说法正确；
B．∵a△（b+c）＝（﹣1）a+（﹣1）b+c，a△b+a△c＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）a+（﹣1）c，
∴无法得到a△（b+c）＝a△b+a△c，故说法错误；
C．∵（a△a）2＝[（﹣1）a+（﹣1）a]2＝4，2[（2a）△（2a）]＝2[（﹣1）2a+（﹣1）2a]＝2×2＝4，
∴（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]，故说法正确；
D．∵（a△b）3＝[（﹣1）a+（﹣1）b]3，3[（3a）△（3b）]＝3[（﹣1）3a+（﹣1）3b]，
∴无法得到（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]，故说法错误．
故答案为：A、C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
30．【分析】（1）根据“A对B的k相关点”的定义，分点P在点B左边和点P在A，B之间列方程求解即可；
（2）首先求出|x+2|+|x﹣1|＝3时x的取值范围，再根据点P是“A对B的k相关点”列出相应方程，求出得到x的不等式组，解出不等式组即可得到k的取值范围；
（3）分别表示出P、Q，根据题意分两种情况列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得，|PA|＝2|PB|，
情形①：当点P在点B的左边时，则有，6﹣x＝2（﹣3﹣x），解得，x＝﹣12；
情形②：点P在点A，B间，则有，6﹣x＝2（x+3），解得，x＝0；
故答案为：﹣12或0；
（2）∵|x+2|+|x﹣1|＝3，
∴﹣2≤x≤1，
∵点P是“A对B的k相关点”，
∴|6﹣x|＝k|﹣3﹣x|，
∴6﹣x＝k（3+x），
∴x＝，
∴﹣2≤≤1，即：﹣2≤≤1，
∴1≤≤4，
∵k＞1，
∴k+1≤9，
解得，k≤8，
又4（k+1）≥9，
解得，k≥，
∴；
故答案为：；
（3）∵运动t秒后，P表示的数为6﹣t，Q表示的数为﹣3+2t，点Q恰好是“P对A的2相关点”，
∴|QP|＝2|QA|，
∴|﹣3+2t﹣6+t|＝2|﹣3+2t﹣6|，
∴|﹣9+3t|＝2|﹣9+2t|，
∴﹣9+3t＝2（﹣9+2t），或∴﹣9+3t＝﹣2（﹣9+2t），
解得：t＝9或t＝．
【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．