2020北京景山学校初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2020北京景山学校初一（下）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了能使有意义的实数x的值有，化简二次根式的结果是，在实数范围内分解因式等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题）
1．下列各组二次根式中，同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝（ ）
A．2B．C．D．1.5
3．能使有意义的实数x的值有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（ ）
A．2cmB．8cm
C．2cm或8cmD．以上答案都不对
5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°
6．若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（ ）
A．6B．36C．64D．8
7．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ）
A．B．C．D．
8．化简二次根式的结果是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题）
9．在实数范围内分解因式：3a2﹣9＝ ．
10．若等腰三角形的两条边分别长2，5，则此三角形的周长是 ．
11．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝ cm．
12．已知直角三角形的两条直角边的长度分别是6cm和8cm，则第三边上的高为 ．
13．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝ cm．
15．有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为 尺．
16．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是 ．
17．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝ ，∠ECD＝ ．
18．如图，线段OA的长为2，它的一个端点O是数轴的原点，OA与数轴正半轴的夹角为45度，以OA为一边作等腰三角形OAB，使项点B在数轴上，则数轴上点B所表示的数是 ．
三.解答题
19.（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）（）（）；
（7）（2﹣）（2+）；
（8）（）2．
20.解方程：
21.解方程：+1＝
22.下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：
学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．
同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．
（1）假如你也在课堂中，你的意见如何，为什么？
（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）
23.已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：△ABC是等腰三角形．
24.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求证：DE平分∠AEB．
25.“五•一”假期的某天，小明、小东两人同时分别从家出发骑共享单车到奥林匹克公园，已知小明家到公园的路程为15km，小东家到公园的路程为12km，小明骑车的平均速度比小东快3.5km/h，结果两人同时到达公园．求小东从家骑车到公园的平均速度．
26.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：NM＝NF；
（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】将选项中的二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可得出答案．
【解答】解：A、与3的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；
B、3与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；
C、＝，＝，被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
D、＝2，＝，被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB＝2BC，代入求出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵BC＝1，
∴AB＝2，
故选：A．
3．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴﹣x2≥0，
解得：x＝0，即符合题意的只有一个值．
故选：B．
4．【分析】设腰长为x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【解答】解：设腰长为2x，一腰的中线为y，
则（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故选：B．
5．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故选：D．
6．【分析】根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形A的边长，求出正方形A的面积．
【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，
由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，
∴正方形A的面积为36，
故选：B．
7．【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，根据甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，列方程即可．
【解答】解：设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x﹣5）棵，
由题意得，＝．
故选：D．
8．【分析】根据二次根式找出隐含条件a+2≤0，即a≤﹣2，再化简．
【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0，
﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2，
∴原式＝＝．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
9．【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：3a2﹣9＝3（a2﹣3）＝3（a+）（a﹣）．
故答案为：3（a+）（a﹣）．
10．【分析】分类讨论即可解决问题．
【解答】解：当等腰三角形腰为2，底为5时，
等腰三角形周长为：2+2＜5，不能构成三角形；
当等腰三角形腰为5，底为2时，
等腰三角形周长为：5+5+2＝10+2，
故答案为：10+2．
11．【分析】由CD是角平分线，可得∠ACD＝∠BCD，而DE∥BC，则∠BCD＝∠EDC，于是∠ACD＝∠EDC，再利用等角对等边可求出DE＝CE，从而求出AC的长．
【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
又∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC．
∴∠ACD＝∠EDC．
∴DE＝CE．
∴AC＝AE+CE＝5+7＝12．
故填12．
12．【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为＝10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为×6×8＝×10h，h＝4.8cm，
∴直角三角形斜边上的高为4.8cm．
故答案为4.8cm．
13．【分析】方程两边同乘以x﹣1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【解答】解：方程两边同乘以x﹣1，得，m﹣3＝x﹣1，
解得x＝m﹣2，
∵分式方程的解为正数，
∴x＝m﹣2＞0且x﹣1≠0，
即m﹣2＞0且m﹣2﹣1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
14．【分析】首先连接AD，由DE垂直平分AC，可得AD＝CD，由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，可求得∠B＝∠C＝∠DAC＝30°，继而求得AD与CD的长，则可求得BD的长，继而求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，
∴BD＝2AD＝8（cm），
∴BC＝BD+CD＝12（cm）．
故答案为：12．
15．【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故答案为：13
16．【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，
∴BN＝ND∴DN+MN＝BN+MN连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
BN+MN＝BP+PM＝BM，
BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN+MN的最小值是10．
故答案为：10．
17．【分析】根据等边三角形性质得出AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，求出∠BAD＝∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，求出BC和∠ECD即可．
【解答】解：∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝∠B＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE＝15cm，
∴BC＝BD﹣CD＝15cm﹣6cm＝9cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝9cm，
∵∠B+∠BAC＝∠ACD＝120°，∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ECD＝60°，
故答案为：9cm，60°
18．【分析】如图，在数轴上取点B1，B2，B3，B4，使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，进而可得数轴上点B所表示的数．
【解答】解：如图，在数轴上取点B1，B2，B3，B4，
使OB1＝OA＝2，OB3＝OA＝2，AB4＝OA＝2，
根据题意可知：
OA＝2，∠AOB2＝45°，
作AB2⊥x轴于点B2，
则OB2＝AB2＝，
∴OB4＝2，
∴数轴上点B所表示的数是：﹣2，，2，2．
故答案为：﹣2或或2或2．
三.解答题
19.【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；76：分母有理化；79：二次根式的混合运算．
【专题】514：二次根式；66：运算能力．
【分析】（1）根据二次根式的除法可以解答本题；
（2）根据二次根式的加减法可以解答本题；
（3）根据二次根式的的乘法和减法可以解答本题；
（4）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；
（5）根据负整数指数幂、零指数幂和分母有理化可以解答本题；
（6）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（7）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（8）根据完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝2×÷
＝2×
＝；
（2）
＝4﹣+
＝4﹣+3﹣2
＝+1；
（3）
＝﹣3﹣
＝﹣；
（4）
＝
＝﹣；
（5）
＝+1+﹣1
＝+1+﹣1
＝2；
（6）（）（）
＝2﹣4﹣3+
＝3﹣7；
（7）（2﹣）（2+）
＝[2﹣（）][2+（）]
＝4﹣（）2
＝4﹣（3﹣2+5）
＝4﹣8+2
＝﹣4+2；
（8）（）2
＝2+﹣2+2﹣
＝2+﹣2+2﹣
＝2．
20.【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】观察可得方程最简公分母为x﹣2，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：原方程即．
方程两边都乘以（x﹣2），得x﹣1﹣1＝3（x﹣2）．
解得x＝2．
经检验x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
21.【考点】B3：解分式方程．
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查解分式方程的能力，因为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可得最简公分母为（x+1）（x﹣1）．去分母后解整式方程即可，注意检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x2﹣1），得
x2﹣4x+x2﹣1＝2x（x﹣1），
2x2﹣4x﹣1＝2x2﹣2x，
﹣2x＝1，
∴x＝﹣．
经检验：x＝﹣是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣．
22.【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】21：阅读型；32：分类讨论．
【分析】乍一看两个同学说的都对，但是细分析我们就能看出两个人的回答都不全面，而正确的应该是两者的结合，即结果有两种情况．通过此题教我们养成考虑问题要全面考虑的好习惯．
【解答】答：（1）上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．
理由如下：
①当∠A是顶角时，设底角是α．
∴30°+α+α＝180°，
α＝75°．
∴其余两角是75°和75°．
②当∠A是底角时，设顶角是β，
∴30°+30°+β＝180°，
β＝120°．
∴其余两角分别是30°和120°．
（2）感受为：解题时，思考问题要全面，有的题目要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
23.【考点】KI：等腰三角形的判定．
【专题】14：证明题．
【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
24.【考点】KF：角平分线的性质．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力．
【分析】延长AD交BC于F，由AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，易证得∠DFE＝∠DAE，可得AE＝FE，又由ED⊥AD，根据三线合一的性质，即可证得ED平分∠AEB．
【解答】证明：延长AD交BC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DFE＝∠B+∠BAD，∠DAE＝∠EAC+∠CAD，
∵∠B＝∠EAC，
∴∠FDE＝∠DAE，
∴AE＝FE，
∵ED⊥AD，
∴ED平分∠AEB．
25.【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设小东从家骑车到公园的平均速度为xkm/h，
，
解得，x＝14，
经检验x＝14是原分式方程的解，
答：小东从家骑车到公园的平均速度14km/h．
26.【考点】KY：三角形综合题．
【专题】152：几何综合题；67：推理能力．
【分析】（1）根据题意补全图1即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；
（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；
（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，
∴AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠Q，
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，
∴∠Q＝∠BFC，
∵∠MFN＝∠BFC，
∴∠MFN＝∠Q，
同理，∠NMF＝∠APQ，
∴∠MFN＝∠FMN，
∴NM＝NF；
（3）连接CE，
∵AC⊥PQ，PC＝CQ，
∴AP＝AQ，
∴∠PAC＝∠QAC，
∵BD⊥AQ，
∴∠DBQ+∠Q＝90°，
∵∠Q+∠CAQ＝90°，
∴∠CAQ＝∠QBD，
∴∠PAC＝∠FBC，
∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，
∴△APC≌△BFC（AAS），
∴CP＝CF，
∵AM＝CP，
∴AM＝CF，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE，
∵AC＝BC，
∴直线CE垂直平分AB，
∴∠ECB＝∠ECA＝45°，
∴∠GAM＝∠ECF＝45°，
∵∠AMG＝∠CFE，
∴△AGM≌△CEF（ASA），
∴GM＝EF，
∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，
∴BN＝AE+GN．