2020北京清华附中初一（下）期末数学（教师版）

这是一份2020北京清华附中初一（下）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了代数式有意义，则的取值范围是，若“存在，“”是“”的，已知，，则的值是，小殷设计了一个随机碰撞模拟器等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（每道小题只有一个正确选项，每小题3分.共24分）
1．放风筝是我国人民非常喜爱的一项户外娱乐活动，下列风笋剪纸作品中，不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．代数式有意义，则的取值范围是
A．且B．C．且D．
3．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为
A．B．C．D．
4．若“存在．使成立“是真命题，则的取值范围是
A．B．C．D．
5．“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系中，以，，，为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点的坐标是
A．B．C．D．
7．已知，，则的值是
A．4B．C．2D．
8．小殷设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有、、三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球同时相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球．例如，一个型小球和一个型小球发生碰撞，会变成一个型小球．初始，模拟器中有型小球6个，型小球5个，型小球8个，若经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下判断：
①最后剩下的小球可能是型小球；②最后剩下的小球一定是型小球：③最后剩下的小球一定不是型小球．
其中，正确的判断是
A．①B．②③C．③D．①③
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，画出的一条中位线（非尺规作图，保留所有画图痕迹）．
10．为作的平分线，小齐利用尺规作图，作法如下：
①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点、；
②分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点．
则射线为的平分线．为的平分线的原理是 ．
11．如果点在第四象限，那么的取值范围是 ．
12．在平面直角坐标系中，已知，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，则点的坐标为 ．
13．某直角三角形的周长为24，斜边上的中线长为5，则该三角形的面积等于 ．
14．如图，在矩形中，点、分别在边、上，且，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．重新展开，连接交于点，对于下列结论：
①； ②；③；④四边形是菱形．
其中，正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
15．如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到的过程： ．
16．如图，在中，，，，点是上一个动点，以、为邻边的所有平行四边形中，对角线的最小值是 ．
三.解答题（8逍题，共72分）
17．（10分）计算与化简：
（1）
（2）
18．（24分）解下列关于的方程或不等式（组．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（5分）国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴500元，若同样用6万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多．该款空调补贴前的售价为每台多少元？
20．（6分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆12万元，面包车每辆8万元，公司可投入的购车款不超过100万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为250元，每辆面包车的日租金为150元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于2000元，那么应选择以上哪种购买方案？
21．（6分）如图，在中，，，点、分别是、的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
22．（7分）已知，如图，点，，点在坐标轴上，使得是等腰三角形，计算点的坐标．
23．（7分）定义：在平面直角坐标系中，由某点分别向两坐标轴作垂线，称两垂足之间的线段长度为该点的轴垂距．比如点的轴垂距为5．并规定，坐标轴上的点在该轴上的垂足为自己，在另一轴上的垂足为原点．比如点的轴垂距为2．
（1）①点的轴垂距为 ，点的轴垂距为 ．
②若一个非坐标轴上的点的轴垂距为4，请写出满足条件的点的一个坐标 ．（写出一个即可）
（2）设点，点，，点是线段上的一个动点（含端点），求点的轴垂距的取值范围．
24．（7分）如图，已知在菱形中，，点是边上的动点，点关于直线的对称点为，在直线的下方，连接，取的中点为，连接．设．
（1）①补全图形；
②求的大小（用含的式子表示）；
（2）探究、、之间的等量关系，并证明你的结论．
参考答案
一.选择题（每道小题只有一个正确选项，每小题3分.共24分）
1．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意；
、是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
且，
解得且．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．【分析】首先根据等腰三角形的性质可求出，利用线段垂直平分线的性质推出，易求的度数．
【解答】解：，，
，
垂直平分，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
4．【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：若“存在．使成立“是真命题，则的取值范围是，
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．
5．【分析】根据推理和论证的条件判断即可．
【解答】解：，
而不能推出，
所以是的充分不必要条件，
故选：．
【点评】此题考查推理和论证，关键是根据推理和论证的条件解答．
6．【分析】根据平行四边形的性质结合平面直角坐标系可以解决问题．
【解答】解：若以为对角线，则，
若以为对角线，则，
若以为对角线，则，
因此不能作为顶点的坐标是选项，
故选：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等．
7．【分析】先确定，，再利用二次根式的性质化简得到原式，然后把代入计算即可．
【解答】解：，，
，，
原式
，
，
原式．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
8．【分析】①和②可以举一个特例进行判定．通过分析所有可能碰撞所导致的、数量的奇偶性来判断③的正确与否．
【解答】解：假设6个球中每两个球进行碰撞，则可以得到3个球，5个球中让其中4个球每两个进行碰撞，则可以得到2个球，加上原来的球，共13个球，让这13个球互相碰撞，重复进行直至剩下一个球，再和剩下的球碰撞，可以得到一个球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，球数量与球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶；
，与一奇一偶．
由此可知，与的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是型小球，③正确．
故选：．
【点评】本题是一个推理与论证的题目，主要考查对实际问题中数据变化的分析能力和综合推理能力，发现、数量的奇偶性始终不一样是解答本题的关键．
二.填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】取的中点，格点，，连接交于，连接交于，线段或线段即为所求（答案不唯一）．
【解答】解：如图，线段或即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】根据判断三角形全等即可．
【解答】解：如图，连接，．
，，，
，
，即是的角平分线．
故答案为．
【点评】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
11．【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【解答】解：在第四象限，
，．
解得．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号根据条件可以转化为不等式或不等式组的问题．
12．【分析】利用旋转变换的性质作出图形即可解决问题．
【解答】解：如图，由作图可知，．
故答案为．
【点评】本题坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出，求出，两边平方后代入求出的值，即可求出答案．
【解答】解：是直角三角形斜边上的中线，
，
直角三角形的周长是24，
，
两边平方得：，
由勾股定理得：，
，
，
．
故答案为24．
【点评】本题主要考查对三角形的面积，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，完全平方公式等知识点的理解和掌握，能根据性质求出的值是解此题的关键．
14．【分析】求出，判断出①正确；根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，由直角三角形的性质，可得，判断出②错误；求出，，然后求出，判断出③正确；由题意无法证明，可判断④错误，即可求解．
【解答】解：，
，
由翻折的性质得，，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②错误；
由翻折可知，
，
，，
，故③正确；
如图，连接，
由折叠的性质可得：，，
，
是等边三角形，
长度无法确定，
无法判断四边形是菱形，故④错误，
故答案为①③．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
15．【分析】根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由得到的过程．
【解答】解：将沿轴向下翻折，在沿轴向左平移2个单位长度得到，
故答案为：将沿轴向下翻折，在沿轴向左平移2个单位长度得到．
【点评】本题考查了坐标与图形变化轴对称，坐标与图形变化平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
16．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值；由勾股定理可求得的长；由三角形的中位线定理可求得的最小值，再乘以2即可得出的最小值．
【解答】解：设、交于点，如图：
在中，，
．
四边形是平行四边形，
，．
当取得最小值时，对角线最小，此时，
．
又点是的中点，
是的中位线，
．
在中，，，，
由勾股定理得：．
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、垂线段最短、三角形的中位线定理及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三.解答题（8逍题，共72分）
17．【分析】（1）先进行二次根式的化简、零指数幂的运算，去绝对值，然后合并即可得到答案；
（2）原式第二项利用乘法分配律计算，再根据异分母分式减法法则进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式以及分式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
18．【分析】（1）去分母化成整式方程，然后解整式方程，把解得的整式方程的解代入最简公分母检验即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（3）不等式等价于或，解得即可；
（4）分类讨论，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为；
（3）等价于或，
解得，；
解得，，
不等式的解集为；
（4）当时，则有或，
当时，解得，
当时，解得；
当时，则有或，
解得或．
【点评】本题考查了解分式方程，解不等式组，解绝对值方程以及含字母系数的不等式等，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．【分析】设该款空调补贴前的售价为每台元，根据补贴后可购买的台数比补贴前前多，可建立方程，解出即可．
【解答】解：设该款空调补贴前的售价为每台元，
由题意，得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：该款空调补贴前的售价为每台3000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．【分析】（1）设公司购买辆轿车，则购买辆面包车，根据“轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过100万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案；
（2）根据这10辆车的日租金不低于2000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合，即可得出应该选择的购买方案．
【解答】解：（1）设公司购买辆轿车，则购买辆面包车，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取3，4，5，
该公司共有3种购买方案，方案1：购买3辆轿车，7辆面包车；方案2：购买4辆轿车，6辆面包车；方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
（2）依题意，得：，
解得：，
又，
，
公司应该选择购买方案3：购买5辆轿车，5辆面包车．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得，即可得出结论；
（2）作于，则，由直角三角形的性质得，，求出，由勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，分别是，的中点
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：作于，如图所示：
则，
，，
，
，
．
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和直角三角形的性质，属于中考常考题型．
22．【分析】分为三种情况：①，②，③，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
，
①时，点的坐标为，，；
②时，点的坐标为，，；
③时，点的坐标为，，．
综上所述，点的坐标为，，；，，；，，．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，关键是用了分类讨论思想解答．
23．【分析】（1）①由轴垂距的定义即可得出答案；
②由，即可得出结论；
（2）求出，过点作于，则点的轴垂距等于线段的长，此时线段上点的轴垂距最小，求出线段上点的轴垂距最大为6，由三角形面积求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）①，
点的轴垂距为：3，
，
点的轴垂距为：5，
故答案为：3，5；
②，
非坐标轴上的点的轴垂距为4，点的一个坐标为：，，
故答案为：，；
（2）点，点，，
，
，
过点作于，如图所示：
则点的轴垂距等于线段的长，此时线段上点的轴垂距最小，
点，点，，
，，
线段上点的轴垂距最大为6，
，
，
，
点的轴垂距的取值范围为：点的轴垂距．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“点的轴垂距”、坐标与图形性质、两点间的距离公式、三角形面积等知识；熟练掌握新定义“点的轴垂距”和三角形面积公式是解题的关键．
24．【分析】（1）①依照题意画出图形；
②由菱形的性质可得，，，由轴对称的性质可得，，由等腰三角形的性质和四边形内角和定理可求解；
（2）如图2，在上截取，连接，过点作于，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1所示：
②四边形是菱形，，
，，，
点关于直线的对称点为，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2），
理由如下：如图2，在上截取，连接，过点作于，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．