2023年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．﹣5的相反数是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
2．如图所示的几何体是由一些相同的棱长为1的正方体组成，下列关于该几何体三视图面积说法错误的是（　　）
A．左视图的面积等于3 B．俯视图的面积都等于3
C．正视图的面积等于3 D．正视图的面积等于6
3．研究发现新冠肺炎病毒大小约等于0.000000125米，0.000000125可用科学记数法表示为a×10﹣n的形式，则a、n的值分别为（　　）
A．1.25、﹣7 B．1.25、7 C．12.5、6 D．1.25、﹣6
4．如图，直线l1∥l2，直线BC交l1于点D，直线DE⊥BC交l2于E，∠ADC＝145°，则∠BED的度数等于（　　）

A．55° B．45° C．35° D．60°
5．下列运算正确的是（　　）
A．2x2﹣x＝2x B．x2•x3＝x6
C．﹣x5÷（﹣x）2＝x3 D．22023﹣22022＝22022
6．某校八年级准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加市青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）

甲
乙
丙
丁
x
8
7
7
8
方差
0.8
1.2
0.8
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣6 B．x≥3 C．﹣6＜x≤3 D．x≤3
8．如图，点A是⊙O外的任意一点，点B是线段AO的中点，以B为圆心，以AB长为半径的圆交⊙O于点C、D．则下列命题不一定是真命题的是（　　）

A．AC、AD是⊙O的切线
B．AO是线段CD的垂直平分线
C．△ACD是等边三角形
D．AC＝AD
9．在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标”．同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标．若在魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（1，﹣2）
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，动点Q同时从A点出发，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列y关于x的函数图象正确的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．的平方根是 　 　．
12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可建立方程组为 　 　．
13．圆心角为60°的扇形面积为6πdm2，则该扇形的弧长等于 　 　dm．
14．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让小灯泡L1，L2同时发光的概率为 　 　．

15．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k（x﹣2）+6（k＞0）的图象与反比例函数的图象的一个交点横坐标为2．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣6时，对于每一个x的值，反比例函数的值大于一次函数y＝k（x﹣2）+6（k＞0）的值，直接写出k的取值范围．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF＝AE．
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若AB＝5，cos∠OBC＝，求BF的长．

19．某校计划更换校服款式，为调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为20分），并按照1：1：1的比计算综合评分．将数据（评分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A，B两款校服各项评分的平均数（精确到0.1）如下：
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5
19.6
10.2

B
19.2
18.5
10.4
16.0
b．不同评分对应的满意度如下表：
评分
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
c．A，B两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：

d．B校服时尚性评分在10≤x＜15这一组的是：10 11 12 12 14
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在此次调研中，
①A校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：　 　（填“是”或“否”）；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为 　 　；
（2）在此次调研中，B校服时尚性评分的中位数为 　 　；
（3）在此次调研中，记A校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B校服时尚性评分高于其平均数的人数为n．比较m，n的大小，并说明理由．

20．某数学兴趣活动小组的同学们利用周末时间开展综合实践活动，测量高空的气温．如图，BC是与地面处在同一水平面的横跨河流的大桥，数学兴趣活动小组的同学们操纵无人机在河流上空A处测得大桥两端B、C的俯角分别为∠CAD＝45°，∠BAD＝53°，已知大桥长BC＝75米，海拔每升高100米，气温下降0.6℃，此时地面气温为25℃，求无人机所在处A点的气温是多少摄氏度？（参考数据：，，．）

21．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书每本书的价格是文学类图书每本书价格的1.2倍．已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本．
（1）学校购买文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是多少元？
（2）新学期，学校计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共1000册，且购进的科普类图书不少于文学类图书的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？
22．实践与探究：如图1，△ABC是⊙O的内接三角形．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作∠BAC的平分线AD，交⊙O于D；
②作线段DE，交AC的延长线与E，使DE＝AD．连接BD、CD；
（2）观察△ABD与△ECD是否全等；若全等，请证明：若不全等，请说明理由；
（3）如图2，若AC是⊙O的直径，且∠BAC＝45°，，其它条件不变，求线段DE的长．

23．如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C（0，﹣4），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线AC交PD于点E．已知抛物线的
顶点坐标为（﹣3，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A、B的坐标和直线AC的解析式；
（3）求当线段CP＝CE时m的值；
（4）连接BC，过点P作直线l∥BC交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得CE＝DF，若存在直接写出m的值；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．﹣5的相反数是（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
解：﹣5的相反数是5．
故选：C．
【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2．如图所示的几何体是由一些相同的棱长为1的正方体组成，下列关于该几何体三视图面积说法错误的是（　　）
A．左视图的面积等于3 B．俯视图的面积都等于3
C．正视图的面积等于3 D．正视图的面积等于6
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
解：由题意知，该组合体的左视图为，俯视图为，主视图为，
∴ABD选项结论正确，C选项结论错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3．研究发现新冠肺炎病毒大小约等于0.000000125米，0.000000125可用科学记数法表示为a×10﹣n的形式，则a、n的值分别为（　　）
A．1.25、﹣7 B．1.25、7 C．12.5、6 D．1.25、﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000125＝1.25×10﹣7．
故a＝1.25，n＝7，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图，直线l1∥l2，直线BC交l1于点D，直线DE⊥BC交l2于E，∠ADC＝145°，则∠BED的度数等于（　　）

A．55° B．45° C．35° D．60°
【分析】首先根据对顶角的性质得到∠FDB＝∠ADC＝145°，再根据DE⊥BC可求出∠1＝55°，最后再根据平行线的性质可求出∠BED的度数．
解：∵∠FDB＝∠ADC＝145°，
即：∠FDE+∠BDE＝145°，
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠FDE＝90°﹣∠BDE＝145°﹣90°＝55°，
∵l1∥l2，
∴∠BED＝∠FDE＝55°．

故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
5．下列运算正确的是（　　）
A．2x2﹣x＝2x B．x2•x3＝x6
C．﹣x5÷（﹣x）2＝x3 D．22023﹣22022＝22022
【分析】运用合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算、辨别．
解：∵2x2﹣x不能计算，
∴选项A不符合题意；
∵x2•x3＝x5，
∴选项B不符合题意；
∵﹣x5÷（﹣x）2＝﹣x3，
∴选项C不符合题意；
∵22023﹣22022
＝2×22022﹣1×22022
＝（2﹣1）×22022
＝22022，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
6．某校八年级准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加市青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2如表所示：如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）

甲
乙
丙
丁
x
8
7
7
8
方差
0.8
1.2
0.8
1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和丁组成绩较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，于是可决定选甲组去参赛．
解：∵甲组、丁组的平均数比乙组、丙组大，
∴应从甲和丁组中选，
∵甲组的方差比丁组的方差小，
∴甲组的成绩较好且状态稳定，应选的组是甲组；
故选：A．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣6 B．x≥3 C．﹣6＜x≤3 D．x≤3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x﹣3≥0得：x≥3，
由1﹣x＜3得：x＞﹣6，
则不等式组的解集为x≥3，
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．如图，点A是⊙O外的任意一点，点B是线段AO的中点，以B为圆心，以AB长为半径的圆交⊙O于点C、D．则下列命题不一定是真命题的是（　　）

A．AC、AD是⊙O的切线
B．AO是线段CD的垂直平分线
C．△ACD是等边三角形
D．AC＝AD
【分析】连接OC、OD、BC、BD，根据圆周角定理得到∠ACO＝∠ADO＝90°，根据切线的判定定理判断A；根据线段垂直平分线的判定和性质判断B、D．
解：连接OC、OD、BC、BD，
由题意得：OA是⊙B的直径，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，
∵OC、OD是⊙O的半径，
∴AC、AD是⊙O的切线，故选项A是真命题，不符合题意；
∵OC＝OD，BC＝BD，
∴AO是线段CD的垂直平分线，
∴AC＝AD，故选项B、D是真命题，不符合题意；
不能确定△ACD是等边三角形，故选项C不一定是真命题，符合题意；
故选：C．

【点评】本题考查的是切线的判定、圆周角定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．
9．在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点的坐标”．同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标．若在魏华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，2），则点C的坐标为（　　）

A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（1，﹣2）
【分析】先根据“正方形ABCD关于x轴对称，”确定x轴的位置，再根据点A的坐标确定原点的位置，进而确定y轴的位置，从而写出点C的坐标．
解：∵正方形ABCD关于x轴对称，
∴x轴过AB的中点E，过CD的中点F，
由点A的坐标为（﹣3，2），
我们将EF四等分，其中等分点O使得OE＝3OF，
则点O为原点，作出y轴，如图：

∴点C的坐标为：（1，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，正方形的性质，根据所给条件确定坐标系是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A﹣D﹣C的方向运动，动点Q同时从A点出发，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两动点到达C点停止运动．设运动的时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列y关于x的函数图象正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据运动轨迹，找出几何运动的转折点，以此可分三段进行求解：①当点P在AD上运动，点Q在AB上运动，即0≤t≤4时；②当点P在AD上运动，点Q在BC上运动，即4＜t≤8时；③当点P在CD上运动，点Q在BC上运动，即8＜t≤12时．再根据三角形的面积公式分段求出y关于t的函数关系式，最后即可判断函数图象．
解：①当点P在AD上运动，点Q在AB上运动，即0≤t≤4时，
此时，AP＝tcm，AQ＝tcm，
∴S△APQ＝＝＝（cm2）；
②当点P在AD上运动，点Q在BC上运动，即4＜t≤8时，如图，

此时，AP＝tcm，
∴S△APQ＝＝＝2t（cm2）；
③当点P在CD上运动，点Q在BC上运动，即8＜t≤12时，如图，

此时，DP＝（t﹣8）cm，BQ＝（t﹣4）cm，CQ＝（12﹣t）cm，CP＝（12﹣t）cm，
∴S△APQ＝S矩形ABCD﹣S△ABQ﹣S△CPQ﹣S△ADP
＝AB•AD﹣﹣﹣
＝4×8﹣﹣﹣
＝（cm2）；
综上，．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意，分段求出函数解析式是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．的平方根是 　±2　．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解：∵＝4
∴的平方根是±2．
故答案为：±2
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，则可建立方程组为 　　．
【分析】根据“买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵买一斤（16两）还差二十五文钱，
∴16x﹣y＝25；
∵买八两多十五文钱，
∴y﹣8x＝15．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．圆心角为60°的扇形面积为6πdm2，则该扇形的弧长等于 　2π　dm．
【分析】由扇形面积计算公式，弧长计算公式，即可求解．
解：设扇形的半径是rdm，
由题意得：＝6π，
∴r＝6，
∴扇形的弧长＝＝2π（dm）．
故答案为：2π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，弧长的计算，关键是掌握扇形面积计算公式，弧长的计算公式．
14．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让小灯泡L1，L2同时发光的概率为 　　．

【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和能让小灯泡L1，L2同时发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：由图可知，闭合开关S2和S3，能让小灯泡L1，L2同时发光，
画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中能让小灯泡L1，L2同时发光的结果有2种，
∴能让小灯泡L1，L2同时发光的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为 　﹣1　．

【分析】以AD为直径作⊙H，连接CH，交⊙H为点P，根据点圆最值的性质，则PC为最小距离，再根据勾股定理计算即可．
解：∵AF⊥DE，
∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上，
如图，取D中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求，

∵正方形的边长为2，
∴DC＝2，DH＝1，
∴CH＝＝，
∵HP＝1，
∴CP＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
解：（1）
＝2×+1+2+﹣1
＝+1+2+﹣1
＝2+2；

（2）
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和分式的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式运算法则进行计算是解此题的关键．
17．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k（x﹣2）+6（k＞0）的图象与反比例函数的图象的一个交点横坐标为2．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当x＜﹣6时，对于每一个x的值，反比例函数的值大于一次函数y＝k（x﹣2）+6（k＞0）的值，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
解：（1）对于y＝k（x﹣2）+6，当x＝2时，y＝6，
则一次函数y＝k（x﹣2）+6的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点坐标为（2，6），
∴m＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）解方程组，得或，
由题意得：﹣≥﹣6，
解得：k≥2，
则k的取值范围是k≥2．
【点评】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF＝AE．
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若AB＝5，cos∠OBC＝，求BF的长．

【分析】（1）先证DE＝BF，得出四边形EBFD是平行四边形，再由∠BED＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得BD＝2OB，AB＝BC＝5，AC⊥BD，在Rt△BOC中，由锐角三角函数定义求出OB＝4，得出BD＝8，再在Rt△BFD中，由锐角三角函数定义求出BF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，
∵CF＝AE，
∴AE+AD＝CF+BC，即DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE⊥ED，
∴∠BED＝90°，
∴四边形EBFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB，AB＝BC＝5，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，cos∠OBC＝＝，
∴＝，
∴OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵四边形EBFD是矩形，
∴∠F＝90°，
在Rt△BFD中，cos∠OBC＝，
∴BF＝BD×cos∠OBC＝8×＝．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．某校计划更换校服款式，为调研学生对A，B两款校服的满意度，随机抽取了20名同学试穿两款校服，对舒适性、性价比和时尚性进行评分（满分均为20分），并按照1：1：1的比计算综合评分．将数据（评分）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A，B两款校服各项评分的平均数（精确到0.1）如下：
款式
舒适性评分平均数
性价比评分平均数
时尚性评分平均数
综合评分平均数
A
19.5
19.6
10.2

B
19.2
18.5
10.4
16.0
b．不同评分对应的满意度如下表：
评分
0≤x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
满意度
不满意
基本满意
满意
非常满意
c．A，B两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图：

d．B校服时尚性评分在10≤x＜15这一组的是：10 11 12 12 14
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在此次调研中，
①A校服综合评分平均数是否达到“非常满意”：　是　（填“是”或“否”）；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为 　3人　；
（2）在此次调研中，B校服时尚性评分的中位数为 　10.5　；
（3）在此次调研中，记A校服时尚性评分高于其平均数的人数为m，B校服时尚性评分高于其平均数的人数为n．比较m，n的大小，并说明理由．

【分析】（1）①求出A校服综合评分平均数，根据题意比较大小，得出结论；
②根据扇形图计算；
（2）根据中位数的概念解答即可；
（3）根据A校服时尚性评分的平均数为10.2，B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，分别求出m、n，证明结论．
解：（1）①A校服综合评分平均数为：≈16.4，
∵“非常满意”是15≤x≤20，
∴达到“非常满意”，
故答案为：是；
②A校服时尚性满意度达到“非常满意”的人数为：20×15%＝3（人），
故答案为：3人；
（2）由题意得，B校服时尚性评分中，不满意人数：20×35%＝7（人），基本满意人数：20×10%＝2（人），满意人数：20×25%＝5（人），非常满意人数：20×30%＝6（人），
中位数是10和11位的中位数，是10≤x＜15中的前两位，即＝10.5，
故答案为：10.5；
（3）m＜n，
理由如下：A校服时尚性评分的平均数为10.2，达到满意水平，
由扇形图可知，20人中对A校服时尚性评分达到满意和非常满意是人数是20×45%＝9（人），
∴m≤9，
B校服时尚性评分时尚性评分平均数为10.4，小于中位数10.5，
∴n＝10，
∴m＜n．
【点评】本题考查的是中位数、平均数，扇形图，掌握中位数的概念、正确获取扇形图的信息是解题的关键．
20．某数学兴趣活动小组的同学们利用周末时间开展综合实践活动，测量高空的气温．如图，BC是与地面处在同一水平面的横跨河流的大桥，数学兴趣活动小组的同学们操纵无人机在河流上空A处测得大桥两端B、C的俯角分别为∠CAD＝45°，∠BAD＝53°，已知大桥长BC＝75米，海拔每升高100米，气温下降0.6℃，此时地面气温为25℃，求无人机所在处A点的气温是多少摄氏度？（参考数据：，，．）

【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据题意可得：EF＝BC＝75米，BE＝CF，然后设AE＝x米，则AF＝（x+75）米，在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

由题意得：EF＝BC＝75米，BE＝CF，
设AE＝x米，
∴AF＝AE+EF＝（x+75）米，
在Rt△ACF中，∠CAF＝45°，
∴CF＝AF•tan45°＝（x+75）米，
在Rt△ABE中，∠EAB＝53°，
∴BE＝AE•tan53°≈x（米），
∴x＝x+75，
解得：x＝225，
∴BE＝CF＝x+75＝225+75＝300（米），
∵海拔每升高100米，气温下降0.6℃，此时地面气温为25℃，
∴25﹣×0.6＝25﹣1.8＝23.2（℃），
∴无人机所在处A点的气温约为23.2摄氏度．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书每本书的价格是文学类图书每本书价格的1.2倍．已知学校用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本．
（1）学校购买文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是多少元？
（2）新学期，学校计划一次性购进科普类图书和文学类图书一共1000册，且购进的科普类图书不少于文学类图书的，如何购买花费最少？最少花费为多少元？
【分析】（1）首先设文学类图书的价格为a元，则科普类图书的价格为1.2a元，然后根据“用1200元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多10本”列出方程，最后解方程即可得出答案；
（2）设购进文学类图书x册，则购进科普类图书（1000﹣x）册，总费用为y元，根据题意得列出y与x之间的函数关系式，然后再根据“购进的科普类图书不少于文学类图书的”求出x的取值范围，最后根据一次函数的性质即可得出答案．
解：（1）设文学类图书的价格为a元，则科普类图书的价格为1.2a元．
依题意得：，
解得：a＝20，
检验后知道a＝20是原方程的解，
∴1.2a＝1.2×20＝24，
答：文学类图书和科普类图书每本书的价格分别是20元，24元．
（2）设购进文学类图书x册，则购进科普类图书（1000﹣x）册，总费用为y元，
依题意得：y＝20x+24（1000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+24000，
∵购进的科普类图书不少于文学类图书的，
∴，
解得：x≤600，
对于y＝﹣4x+24000，y随x的增大而减小，
∴当x取最大值时，y为最小，
又x≤600，
∴当x＝600时，y为最小，此时y＝﹣4×600+24000＝21600（元），1000﹣x＝100﹣600＝400（册）
答：购买文学类图书600册，科普类图书400册花费最少，最少花费为21600元．
【点评】此题主要考查了一次函数的实际应用，分式方程的应用，解答（1）的关键是准确地找出等量关系列出方程，特别需要的注意的是：解分式方程一定要验根，这也是解答此题的易错点；解答（2）的关键是理解一次函数的增减性，难点是依题意列出一次函数的解析式，并正确地求出自变量的取值范围．
22．实践与探究：如图1，△ABC是⊙O的内接三角形．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作∠BAC的平分线AD，交⊙O于D；
②作线段DE，交AC的延长线与E，使DE＝AD．连接BD、CD；
（2）观察△ABD与△ECD是否全等；若全等，请证明：若不全等，请说明理由；
（3）如图2，若AC是⊙O的直径，且∠BAC＝45°，，其它条件不变，求线段DE的长．

【分析】（1）①按尺规作图的要求作出∠BAC的平分线交⊙O于点D，再写出∠JAG＝∠IAG的证明过程即可；
②按尺规作图的要求作出线段DE，使DE＝AD，再作出线段BD、CD，并且写出DE＝AD的证明过程即可；
（2）由DE＝AD，得∠EAD＝∠DEC，而∠EAD＝∠DAB，所以∠DAB＝∠DEC，再根据“同角的补角相等”证明∠ABD＝∠ECD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECD；
（3）作CF⊥CD交DE于点F，由AC是⊙O的直径，得∠ABC＝∠ADC＝90°，由∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，得∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DAC＝∠DAB＝22.5°，再证明CF∥AD，则∠DFC＝∠BDA＝45°，所以∠FDC＝∠DFC＝45°，则CF＝CD＝﹣1，DF＝CD＝2﹣，再证明∠FCE＝∠E＝22.5°，则EF＝CF＝﹣1，即可求得DE＝DF+EF＝1．
解：（1）如图1，①作法：1．以点A为圆心任意长为半径作弧交AC于点J，交AB于点I；
2．连接JI，分别以点J、点I为圆心，大于JI长为半径作弧，两弧交于点G；
3．作射线AG交⊙O于点D，
射线AD就是所求的∠BAC的平分线．
证明：连接JG、IG，
由作法得AJ＝AI，JG＝IG，
∵AG＝AG，
∴△AJG≌△AIG（SSS），
∴∠JAG＝∠IAG，
∴AD是∠BAC的平分线．
②作法：1．以点D为圆心AD长为半径作弧交AC的延长线于点E；
2．连接DE、BD、CD，
线段DE、BD、CD就是所求的线段．
证明：由作法得DE＝AD，
∴DE、BD、CD就是所求的线段．
（2）△ABD≌△ECD，
证明：如图1，∵DE＝AD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠EAD＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DEC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ECD+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ECD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（ASA）.
（3）如图2，作CF⊥CD交DE于点F，则∠DCF＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝22.5°，
∴∠BDA＝∠BCA＝45°，
∵∠DCF＝∠ADC＝90°，
∴CF∥AD，
∴∠DFC＝∠BDA＝45°，
∴∠FDC＝∠DFC＝45°，
∴CF＝CD＝﹣1，
∴DF＝＝＝CD＝（﹣1）＝2﹣，
∵DE＝AD，
∴∠E＝∠DAC＝22.5°，
∴∠FCE＝∠DFC﹣∠E＝22.5°，
∴∠FCE＝∠E，
∴EF＝CF＝﹣1，
∴DE＝DF+EF＝2﹣+﹣1＝1，
∴线段DE的长为1．


【点评】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、同角的补角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23．如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C（0，﹣4），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线AC交PD于点E．已知抛物线的
顶点坐标为（﹣3，﹣）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A、B的坐标和直线AC的解析式；
（3）求当线段CP＝CE时m的值；
（4）连接BC，过点P作直线l∥BC交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得CE＝DF，若存在直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）令y＝0，解方程即可求得点A、B的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（3）过点C作CF⊥PE于点F，根据等腰三角形的性质可得点F是PE的中点，设P（m，m2+m﹣4），则E（m，﹣m﹣4），可得F（m，m2+m﹣4），再由点F与点C的纵坐标相同建立方程求解即可得出答案；
（4）过C作CH⊥PD于H，设P（m，m2+m﹣4），由PF∥BC，可得直线PF解析式为y＝2x+m2﹣m﹣4，进而可得OF＝|m2﹣m﹣4|，再证得Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），得出∠HCE＝∠FDO，进而推出∠FDO＝∠CAO，即tan∠FDO＝tan∠CAO，建立方程求解即可得出答案．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣，
把点C（0，﹣4）代入，得：﹣4＝9a﹣，
解得：a＝，
∴y＝（x+3）2﹣＝x2+x﹣4，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；
（2）令y＝0，得x2+x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝2，
∴A（﹣8，0），B（2，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4；
（3）如图，过点C作CF⊥PE于点F，

∵CP＝CE，
∴EF＝PF，即点F是PE的中点，
设P（m，m2+m﹣4），则E（m，﹣m﹣4），
∴F（m，m2+m﹣4），
∵PE∥y轴，CF⊥PE，
∴CF∥x轴，
∴m2+m﹣4＝﹣4，
解得：m＝﹣4或m＝0（不符合题意，舍去），
∴m的值为﹣4；
（4）存在m，使得CE＝DF，理由如下：
过C作CH⊥PD于H，如图，

设P（m，m2+m﹣4），
由B（2，0），C（0，﹣4）可得直线BC解析式为y＝2x﹣4，
根据PF∥BC，设直线PF解析式为y＝2x+c，将P（m，m2+m﹣4）代入得：
m2+m﹣4＝2m+c，
∴c＝m2﹣m﹣4，
∴直线PF解析式为y＝2x+m2﹣m﹣4，
令x＝0得y＝m2﹣m﹣4，
∴F（0，m2﹣m﹣4），
∴OF＝|m2﹣m﹣4|，
∵∠CHD＝∠PDO＝∠COD＝90°，
∴四边形CODH是矩形，
∴CH＝OD，
∵CE＝DF，
∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），
∴∠HCE＝∠FDO，
∵∠HCE＝∠CAO，
∴∠FDO＝∠CAO，
∴tan∠FDO＝tan∠CAO，
∴＝，即＝，
∴m2﹣m﹣4＝﹣m或m2﹣m﹣4＝m，
解得：m＝﹣4或m＝4或m＝2﹣2或m＝2+2，
∵P在第三象限，
∴m＝2﹣2或m＝﹣4．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数综合应用，等腰三角形性质，矩形判定及性质，相似三角形判定及性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．