【名校】吉林省梅河口市第五中学2018届高三上学期第四次月考数学（文）试题

这是一份【名校】吉林省梅河口市第五中学2018届高三上学期第四次月考数学（文）试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

梅河口市第五中学 2018 届高三第四次月考

数学试卷（文科） 第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．复数 (1 + i)(3 + 4i) 等于
i
A．7＋i B．7－i C．7＋7i D．－7＋7i

2．设集合 A＝{x|（x＋1）（4－x）＞0}，B＝{x|0＜x＜9}，则

A∩B 等于

A．（0，4） B．（4，9） C．（－1，4） D．（－1，9）

3．若球 O 的半径为 4，且球心 O 到平面α的距离为 3 ，则平面α

截球 O 所得截面圆的面积为

A．π B．10π C．13π D．52π

4．命题 P: $ x∈R，tanx＞1．命题 q：抛物线 y = 1 x2 的焦点到准线
3
的距离为 1 ．那么下列命题为真命题的是
6

A．Øp
B．（Øp ）∨q C．p∧q D．p∧（Øp ）


5．已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 a1＝3 且 Sn＋1＝2Sn，则 a4

等于

A．6 B．12 C．16 D．24

6．若 a＝log1664，b＝lg0.2，c＝20.2，则

A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a

7．若 tan（α＋80°）＝4sin420°，则 tan（α＋20°）的值为

A．- 3
5



B． 3 3
5

C． 3
19

D． 3
7

8．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N º （a

例如 10 º 2（mod 4）．













mod m），


下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，

执行该程序框图，则输出的 i 等于



A．4 B．8 C．16 D．32

9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为




A．6

B．9

C．12

D．18












ì2 x + y - 6 ≤0,

í
10．设 x，y 满足约束条件ï x - y - 1≤ 0,
î
ï x - 1≥ 0.
若 a∈[－2，9]，则 z＝ax


＋y 仅在点（ 7 ， 4 ）处取得最大值的概率为
3 3
A． 9
11
B． 7
11
C． 6
11
D． 5
11
11．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）在[0，＋∞）上递减，若 f

（x3－2x＋a）＜f（x＋1）对 x∈[－1，2]恒成立，则 a 的取值范 围为
A．（－3，＋∞） B．（－∞，－3）

C．（3，＋∞） D．（－∞，3）


12．已知ω＞0，a＞0， f ( x) = a sinwx +

3a coswx ， g ( x) = 2 cos(ax + p ) ，
6


h( x) =
f ( x) 这 3 个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所
g ( x)


示，则函数 g（x）＋h（x）的图象的一条对称轴方程可以为




A． x = p
6
B． x = 13p
6
C． x = - 23p
12
D． x = - 29p
12













第Ⅱ卷


二、填空题（本大题共 4 小题．将答案填在答题卡中的横线上）

ì( 1 )x , x ≥1,

í
13．已知函数 f ( x) = ï 2
则 f（f（2））＝ ．

ïîlog4 x, 0 < x < 1,

14．已知向量 AB = (m,1) ，BC = (2 - m, -4) ，若 ABg AC > 11，则 m 的取 值范围为 ．
1
15．在公差大于 1 的等差数列{an}中，已知 a2 = 64 ，a2＋a3＋a10

＝36，则数列{|an|}的前 20 项和为 ．


16．直线 y＝2b 与双曲线 x
2 y 2
-
= 1（a＞0，b＞0）的左支、右支

a2 b2

分别交于 B、C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若∠AOC＝

∠BOC，则该双曲线的离心率为 ．

三、解答题（本大题共 6 小题．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤．）

17．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，已知

2sin2A＋sin2B＝sin2C．

（1）若 b＝2a＝4，求△ABC 的面积；


（2）若C = 2p ，c =
3

3 ，求△ABC 的周长．

18．已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如 下面的折线图所示：



（1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润最高？

（2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；
（3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟 合模式估测第 3 年 8 月份的利润．

月份 x

1

2

3

4
利润 y（单位：百万元）

4

4

6

6

n n

å i i
å i i


相关公式：bˆ =
( x
i =1
- x )2 ( y
- y )
=
x y
i =1
- nx · y

，aˆ = y - bˆx ．

n n

2 2
å
i =1
( xi
- x )2
å
i =1
xi - nx


19．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋pn，且 a2，a5，a10 成等比

数列．

（1）求数列{an}的通项公式；


（2）若bn

= 1 +
5
an gan +1
，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．


20．在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥

平面 ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E 为线段 AB 上一点， 且 AE︰EB＝7︰2，点 F、G 分别为线段 PA、PD 的中点．



（1）求证：PE⊥平面 ABCD；
（2）若平面 EFG 将四棱锥 P－ABCD 分成左右两部分，求这两 部分的体积之比．


21．已知椭圆 C： x
2 y 2
+
= 1（a＞b＞1）的焦距为 2，过短轴的一

a2 b2

个端点与两个焦点的圆的面积为 4 π ，过椭圆 C 的右焦点作斜率
3
为 k（k≠0）的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中 点为 P．
（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）过点 P 垂直于 AB 的直线与 2 轴交于点 D（ 1 ，0），求 k
7


（1）当 a＝3 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线

的斜率；

（2）讨论函数 f（x）的单调性；


2
（3）当函数 f（x）有极值时，若对"x > 0 ，f ( x) ≤ (2016 - a) x 3 + x


恒成立，求实数 a 的取值范围．
+ a - 1
x + 1

数学试卷参考答案（文科）

1．A

2．A

3．C

4．D

5．B

6．D

7．D

8．C

9．B

10．B

11．C

12．C

13．－1

14．（7，＋∞）

15．812


16． 19
2

17．解：（1）由正弦定理可得 2a2＋b2＝c2，

∵b＝2a＝4，∴c = 2 6 ，



由余弦定理可得cos C = - 1 ，∴sin C =
4
15 ．
4


∴△ABC 的面积为 1 ab sin C =
2

15 ．

cos C = = -
（2）由余弦定理可得 -a2 1 ，∴a＝b．
2ab 2

∴．c2＝3a2＝3，∴a＝b＝1，

∴△ABC 的周长为2 + 3 ．

18．解：（1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高．

（2）第 1 年前 7 个月的总利润为 1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28（百 万元），
第 2 年前 7 个月的总利润为 2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31（百万元）， 第 3 年前 7 个月的总利润为 4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41（百万元），
∴这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势．

（3）∵ x = 2.5 ，y = 5 ，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6

＝54，

∴b$ = 54 - 4 ´ 2.5 ´ 5 = 0.8 ，
30 - 4 ´ 2.52
∴a$ = 5 - 2.5 ´ 8 = 3 ，

∴ $y = 0.8x + 3 ，

当 x＝8 时， $y = 0.8 ´ 8 + 3 = 9.4 （百万元），∴估计 8 月份的利润为

940 万元．

19．解：（1）当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋p．

当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋p，也满足 an＝2n－1＋p，故 an＝2n－1

＋p．

∵a2，a5，a10 成等比数列∴（3＋p）（19＋p）＝（9＋p）2，∴p

＝6，

∴an＝2n＋5．

（2）由（1）可得b
= 5 ( 1 -
1 ) + 1 ，

n 2 2n + 5 2n + 7


5 1 1 1 1 1 1 5 n
14 n 2 +54 n

∴T = n +
( - + - + L+ -
) = n + = ．

n 2 7 9 9 11 2 n + 5 2 n + 7 14 n + 49 14 n + 49

1 PB

20．（1）证明：在等腰△APB 中，cos ÐABP = 2
AB
= 1 ，
3


则由余弦定理可得 PE 2 = ( 2 )2 + 22 - 2 ´ 2 ´ 2 ´ 1 = 32 ，∴ PE = 4 2 ．
3 3 3 9 3

∴PE2＋BE2＝4＝PB2，∴PE⊥AB，

∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，

∴PE⊥平面 ABCD．



（2）解：设平面 EFG 与棱 CD 交于点 N，连接 EN，因为 CF∥AD， 所以 GF∥平面 ABCD，从而可得 EN∥AD．
延长 FG 至点 M，使 GM＝GF，连接 DM，MN，则 AFE－DMN

为直三棱柱．


∵F 到 AE 的距离为 1 PE = 2 2 ， AE = 7 ，
2 3 3

∴ 1 7 2 2 7 2
S△ AEF = ´ ´ = ，
2 3 3 9

∴V = 7 2 ´ 2 = 14 2 ，V
= 1 ´ 7 2 ´1 = 7 2 ，

AFE - DMN 9 9
G - DMN
3 9 27



∴ 35 2
VAFENDG = VAFE - DMN - VG - DMN = ．
27


又 1 8 2
VP - ABCD = ´ PE ´ S矩形ABCD = ，
3 3


∴V : V = 35 2 : (8 2 - 35 2 ) = 35 : 37 ．
左 右 27 3 27

21．解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 4 ，
3

设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，


ì
ï2c = 2
ï 2 2 2
ía = b + c
ï



，又 b＞1，

ï(b -
ïî
4 ) 2 + c 2 = 4
3 3



解得 a＝2，b =
3 ，c＝1，



∴椭圆 C 的方程为 x
2 y 2
+
= 1 ．

4 3

（2）设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为 y＝k（x－1），


将其代入 x
2 y 2
+
= 1 中得，（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，

4 3

设 A（x1，y1），B（x2，y2），


2
则 x + x =
8k 2
， x x
= 4k
-12 ，

1 2 3 + 4k 2
1 2 3 + 4k 2



∴ y + y

= k (x

+ x ) - 2k =
8k 3

- 2k =
-6k ，

1 2 1 2
3 + 4k 2
3 + 4k 2


∵P 为线段 AB 的中点，

∴点 P 的坐标为（
4k 2
， -3k ）

3 + 4k 2

又直线 PD 的斜率为- 1 ，
k
3 + 4k 2



直线 PD 的方程为 y -
-3k
= - 1 (x -
4k 2
，
)

3 + 4k 2 k
3 + 4k 2



令 y＝0 得， x =
k ，由点 D 的坐标为（ k
，0），

2
2
3 + 4k 2
3 + 4k 2


2
则 k = 1 ，解得 k＝±1．
3 + 4k 2 7


22．解：（1）当 a＝3 时， f ¢( x) = 1 -
x
3
(x + 1)2
，∴ f ¢(1) = 1 ．
4



（2） f ¢( x) = 1 -
x
a
( x + 1)2
= x + (2 - a) x + 1 （x＞0），
2
x( x + 1)2


令 g（x）＝x2＋（2－a）x＋1，
①当 0≤a≤4 时，Δ＝（2－a）2－4≤0，g（x）≥0，即 f′（x）≥0， 函数 f（x）在（0，＋∞）上单调递增．


a - 2 ±
a 2 - 4a

②当 a＞4 时，Δ＞0，令 f′（x）＝0，则 x = > 0 ，
2


在（0，
a - 2 -
a 2 - 4a
2
）和（
a - 2 +
a 2 - 4a
2
，＋∞）上，f′（x）＞0，



函数 f（x）单调递增；在（
a - 2 -
a 2 - 4a
2
， a - 2 +
a 2 - 4a
2
）上，f′


（x）＜0，函数 f（x）单调递减．
（3）由（1）可知，当 a＞4 时，函数 f（x）在（0，＋∞）上有 极值．


2
f ( x) ≤ (2016 - a) x 3 + x
+ a - 1 可化为 ax3≤x－1－lnx＋2016x3，
x + 1

∵x＞0，∴a ≤
1 ( x - 1 - ln x) + 2016 ，
x3

设 h（x）＝x－1－lnx（x＞0），则h¢( x) = 1 - 1 = x - 1 ，
x x
当 0＜x＜1 时，h′（x）＜0，函数 h（x）单调递减；当 x＞1 时，

h′（x）＞0，函数 h（x）单调递增．


∴当 x＞0 时，h（x）≥h（1）＝0，∴

所以 a≤2016．

1 ( x - 1 - ln x) + 2016 ≥ 2016 ，
x3


又∵a＞4，∴4＜a≤2016，即 a 的取值范围是（4，2016]．