2023年江西省吉安地区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年江西省吉安地区中考三模数学试题（含解析），共33页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2023年江西省吉安地区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列为负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．2022北京冬奥会开幕式的地屏为观众呈现了一场精彩的视觉盛宴．它是由46504个面积为的单元箱体组成的，是目前世界上最大规模的舞台，能够呈现裸眼3D效果，则该地屏的总面积用科学记数法可表示为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．从图1的正方体上截去一个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

二、解答题
4．求的最小值（　　）
A．12 B．6 C． D．3

三、单选题
5．一款简易电子秤的工作原理：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板人的质量m之间的函数关系式为，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为60欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为0~0.2安（温馨提示：导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式），则下面结论错误的为（    ）

A．用含I的代数式表示为
B．电子体重秤可称的最大质量为120千克
C．当时，若电源电压U为12（伏），则定值电阻最小为70（欧）
D．当时，若定值电阻为40（欧），则电源电压U最大为10（伏）
6．用10根小棒组成如图1所示的图案，请平移3根小棒变成如图2所示的图案，平移的方式有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

四、填空题
7．分解因式：= ___________．
8．一组2，2x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是10，这数据的中位数是_______．
9．如图，在菱形中，，点为边的中点，点在对角线上运动，且，则长的最大值为 ___________．

10．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
11．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点经1次斜平移后的点的坐标为．已知点的坐标为．如图，点是直线上的一点，点关于点的对称点为点，点关于直线的对称点为点．若点由点经次斜平移后得到，且点的坐标为，则点的坐标为 ___________．
  
12．如图，在中，，，是边上一动点，过点作于点．连接，与关于所在的直线对称，且所在的直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．若点到的斜边和一条直角边的距离恰好相等，则的长为__________．


五、解答题
13．（1）计算：；
（2）数学实践活动中，将一张平行四边形纸片进行折叠（如图所示），折痕为，点在边上，点落在点处．若点是边的中点，且，，求的长．

14．先化简，然后从不等式组的解集中选取一个你认为合适的整数作为a的值代入求值．
15．2022年12月18日卡塔尔世界杯闭幕，以下是吉祥物，足球AL RIHLA和大力神杯．现有形状大小完全相同的3张卡片，背面分别印有上述图案，用编号A，B，C来表示．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)从中任意抽取一个张卡片，恰好是“大力神杯”的概率为___________；
(2)先从3张卡片中随机抽取一张，记下图案后放回洗匀，再从中随机抽取一张卡片，请用“画树状图”或“列表”的方法求出抽得的2张卡片图案不相同的概率．
16．如图，在单位长度为1的的网格中，优弧上的三点A、E、F均为格点，连接格点交优弧于点C．请完成如下解答任务：

(1)使用无刻度直尺作所在圆的圆心O（简要说明理由）；
(2)直接写出的度数为________；
(3)在第（1）、（2）的基础上，求的长．
17．如图，在四边形中，，对角线，交于点，，且平分，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的面积．
18．在全国中小学生安全教育日来临之际，某校为了加强学生对于各类安全常识了解程度，在八、九年级学生（各有 500 人）中，开展了安全常识知识竞答活动，满分100分．然后随机各抽取20名同学的成绩进行了收集、整理与分析，过程如下：
【收集数据】
八年级：
61
80
86
83
95
100
90
95
75
92
75
80
100
87
97
78
68
84
99
95
九年级：
82
83
91
100
96
79
90
63
90
91
80
86
97
90
85
81
69
90
79
98
【整理数据】
成绩x（单位：分）
61≤x≤70
71≤x≤80
81≤x≤90
91≤x≤100
八年级
2
5
5
8
九年级
2
a
9
6
【分析数据】
年级
统计量
平均数
众数
中位数
方差
八年级
86
95
b
115．9
九年级
86
90
88
83．9
请根据以上信息，回答以下问题：
(1)填空∶a=_______；b=_______．
(2)若九年级准备对知识竞答达到95 分的同学给予奖励，那么大约有_______名学生将会获得奖励．
(3)结合以上数据，你认为哪个年级的总体成绩更好，请说出你的理由．
19．设函数，函数（，，b是常数，，）．

(1)如图①，若函数和函数的图象交于点，，
①求，的函数表达式；
②直接写出当时，自变量x的取值范围；
(2)如图②，若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得点D，点D恰好落在函数的图象上，点P在y轴上，求周长的最小值．
20．小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚，经测量，安装遮阳棚的那面墙高，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，安装好的遮阳篷与水平面的夹角为，如下右图为侧面示意图．

（参考数据：，，，，，）
(1)据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
(2)请计算此遮阳棚延展后的长度（即的长度）．（结果精确到）
21．如图，是圆O的切线，切点为A，是圆O的直径，连接交圆O于E．过A点作 于点D，交圆O于B，连接．

(1)求证：；
(2)求证：是圆O的切线；
(3)若，求的长．
22．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米．

(1)求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．
23．问题提出
在中，，，点D是的中点，连接，绕着点A逆时针旋转得到，连接，点G，H分别为的中点，连接，试探究与之间有怎样的数量关系和位置关系？
问题解决
  
(1)先将问题特殊化：如图（1），当旋转角为0°，即处于起始位置时，与的数量关系是___________，位置关系是___________．
(2)继续研究特殊情形：如图（2），当点M在线段上时，（1）中的结论是否成立？若成立，证明结论；若不成立，请说明理由．
(3)由此归纳一般结论：如图（3），在旋转过程中，与之间的数量关系是___________，位置关系是___________．
拓展应用
(4)如图（4），当将绕点A逆时针旋转时，连接的面积为，应用上述探究的结论，求的长．

参考答案：
1．B
【分析】先化简各数，再根据小于零的数是负数判断即可．
【详解】A．，是正数，故本选项不合题意；
B．，是负数，故本选项符合题意；
C．，是正数，故本选项不合题意；
D．，是正数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了乘方的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义等，掌握负数的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】先利用有理数的乘法法则进行计算，再用科学记数法进行表示即可．
【详解】解：根据题意可得，该地屏的总面积为，即该地屏的总面积用科学记数法可表示为．
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
3．D
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看得到的图形为有一条对角线的正方形，如图所示：

故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的主视图，根据已知几何体的位置观查出主视图，考查学生的空间想象能力．
4．C
【分析】根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，即可进行解答．
【详解】解：①当时，原式，
，
；
②当时，原式，
，
；
③当时，原式，
，
；
④当时，原式，
，
．
综上，当时，原式有最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．
5．C
【分析】由题意知，，整理得，可判断A的正误；根据的性质可知，随 的增大而增大，计算时，的值，进而可判断B的正误；根据定值电阻的阻值不变，可判断C的正误；当时，计算的值，进而可得的值，根据的性质，求的最大值，进而可判断D的正误．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∴A正确，故不符合要求；
由可知，随 的增大而增大，
当时，的最大值为120（千克）；
∴B正确，故不符合要求；
∵定值电阻的阻值不变，
∴C错误，故符合要求；
当时，（欧），
若定值电阻为40（欧），则（欧），
∵，
∴随 的增大而增大，的最大值为（伏），
∴D正确，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的应用．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
6．B
【分析】依据平移前后的两个图形的区别，平移3根木条即可变成如图（2）所示的图案，据此解答即可．
【详解】解：如图（2）和图（3）所示：

所以有两种平移方式：②④⑥或①⑧⑩．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．
7．
【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．
【详解】



．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．12
【分析】先根据数据的平均数为，得出，再根据唯一众数为，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案．
【详解】数据，，，的平均数是，
，即，
数据，，，唯一的众数是，
或，即或，
当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：；
当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．
9．
【分析】连接、、，根据菱形的对称性得到，证明是等边三角形，利用三线合一进行求解即可．
【详解】解：如图，连接、、，

四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
点为边的中点，
，
，，
，
，
，即长的最大值是．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将军饮马问题．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．
10．
【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
∴
设的两根分别是、；则，；
∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
11．
【分析】连接，根据对称性，得到，推出是直角三角形，延长交轴于点，过点作于点，易得是等腰直角三角形，求出点坐标，进而求出的解析式，设出点坐标，代入解析式进行求解即可．
【详解】解：连接，
    
由中心对称可知，
由轴对称可知，
，
，，
，
，
是直角三角形．
延长交轴于点，过点作于点，
，，
，
是等腰直角三角形，  
，
，
点坐标为，
设直线的解析式为，
点，在直线上，，解得
，
点由点经次斜平移得到，
点，由，解得，
．
【点睛】本题考查一次函数与几何图形的综合应用．理解并掌握斜平移的定义，是解题的关键．
12．或
【分析】分类讨论，①当点在的平分线上时，点落在边上，过点作于点，过点作于点，设，则，，再证，根据相似比求出x，再根据，用相似比求出CH的长；②当点在的平分线上时，点落在的延长线上，过点作于点，设，根据，用相似比解出a，即可求出CH的长.
【详解】根据题意，得，，，
①当点在的平分线上时，
点落在边上，过点作于点，过点作于点，如解图1所示，
∴，，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵与关于所在的直线对称，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，解得；
②当点在的平分线上时，
点落在的延长线上，过点作于点，如解图2所示，
设，
∵点在的平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为或.

【点睛】本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握相似三角形的综合运用是解决本题的关键，难度较大.
13．（1）；（2）
【分析】（1）根据化简绝对值，有理数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解；
（2）连接交于，得出是的中位线，设，根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）原式
．
（2）如图，连接交于，
将一张平行四边形纸片进行折叠，
∴为的中点．
而点是边的中点，
，，
设，
，
．
，
，
，
，
解得，
．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，化简绝对值，有理数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，折叠的性质，中位线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．，4
【分析】先将括号内的分式通分，同时将除法变为乘法，并进行因式分解，再进行分式的约分，最后根据不等式的解集，选取使得分式有意义的数代入求解即可．
【详解】原式，
解不等式组
得，根据分式有意义的条件，
则，，
∴，
可取，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)
(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽得的2张卡片图案不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，
从中任意抽取一个张卡片，恰好是“大力神杯”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中抽得的2张卡片图案不相同的结果有6种，
∴抽得的2张卡片图案不相同的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
16．(1)作图见解析，理由见解析
(2)
(3)的长为

【分析】（1）由的圆周角所对的弦为直径可知线段为直径，根据线段的中垂线与直径的交点即为圆心，作图即可；
（2）如图2，连接，计算求解，，的值，则，，可知是等腰直角三角形，且，则，由图可知，根据计算求解即可；
（3）如图3，连接，由线段为直径，可知，根据计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，

∵，
∴线段为直径，
∵线段的中垂线与直径的交点即为圆心，
∴线段与网格线的交点即为圆心；
（2）解：如图2，连接，

∵，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
由图可知，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，连接，

∵线段为直径，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格，直径所对的圆周角为直角，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
17．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证明，得出，可证明四边形为平行四边形，再根据平分证明，即可得出四边形是菱形；
（2）根据勾股定理求出，得出，根据菱形面积得出，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
18．(1)
(2)名
(3)九年级的总体成绩好一些，理由见解析．

【分析】（1）利用表格信息可得再确定八年级的中位数落在这一组，把这组数据按照从小到大的顺序排列如下：83，84，86，87，90，从而可得中位数；
（2）利用总人数乘以样本中达到95分的学生所占的百分比即可；
（3）从中位数与方差两个方面分析可得出结论．
【详解】（1）解：由九年级的表格信息可得：的人数有：
（人），
八年级20个数据排在最中间的两个分别是第10个，第11个数据，
所以中位数落在这一组，
把这组数据按照从小到大的顺序排列如下：
83，84，86，87，90，
所以第10个，第11个数据分别是86，87，
所以中位数为：
（2）解：因为样本中九年级达到95分的有4人，
所占的百分比为：
所以（名），
所以九年级准备对知识竞答达到95 分的同学给予奖励，那么大约有名学生将会获得奖励．
（3）解：八年级与九年级学生得分的平均数相同，
但是九年级学生成绩的中位数比八年级学生成绩的中位数高，而且成绩的方差还比八年级成绩的方差小，所以九年级学生的成绩优于八年级学生的成绩．
【点睛】本题考查的是频数分布表，平均数，众数，中位数，方差的含义，以及利用平均数，众数，中位数或方差作决策，熟练的掌握以上知识是解本题的关键．
19．(1)①的函数表达式为，的函数表达式为；②或
(2)周长的最小值为

【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求出，，作点C关于y轴的对称点为，连接，，根据即可得出周长的最小值．
【详解】（1）解：①把点代入，
得，
∴的函数表达式为，
把点代入，
得，
把点，代入，
得，
解得，
∴的函数表达式为；
②观察图象，当时，自变量x的取值范围是或．
（2）解：点向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，可得点D的坐标为．
∵，两点均在反比例函数上，
∴，
解得，
此时点，，
∴，
如图，作点C关于y轴的对称点为，连接，，

由轴对称的性质知，点的坐标为， ，
∴，
∴，
∴周长的最小值为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用轴对称求线段的最值，勾股定理等，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的图象和性质，熟练应用数形结合思想．
20．(1)此遮阳棚使得人进出时具有安全感
(2)此遮阳棚延展后的长度为

【分析】（1）过点C作于点F，，则，在中，，求出，在中，，即可求出x，再与比较，即可解答；
（2）根据（1）中的结果，求出，根据在中，，即可求解．
【详解】（1）解：过点C作于点F，
设，则，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，即，
解得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
∵米米，
∴此遮阳棚使得人进出时具有安全感．

（2）解：由（2）可得：，
∴，
在中，，即，
解得：，
答：此遮阳棚延展后的长度为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确理解题意，画出辅助线，构造直角三角形求解．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)5

【分析】（1）圆周角定理，得到，再根据，即可得证；
（2）连接，证明，推出，即可得证；
（3）根据同角的余角相等，得到，求出的长，证明，利用相似比进行求解即可．
【详解】（1）证明：为的直径，
，即，
又，
；
（2）证明：连接，如图，

，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（3），，
，
，
在中，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
22．(1)6米
(2)，
(3)

【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
（2）法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴将点C向左平移得到点B的坐标为
法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的，
∴可设，
将点代入得，（舍去）
∴下边缘抛物线的关系式为，
∴当时，，
解得，（舍去），
∴点B的坐标为；
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为．
当抛物线恰好经过点时，．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
23．(1)，
(2)成立，见解析
(3)
(4)1

【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的中位线定理即可得出结论；
（2）旋转的性质，得到，，，在中，，得到 ，进而推出为等边三角形，证明，推出是等腰直角三角形，进而得出结论；
（3）绕点C顺时针旋转得，连接证明，推出M、K、H在同一条直线上，得到，进而得出结论；
（4）设，分别用含的式子表示出的长，利用，列式求出的值，即可得解．
【详解】（1）解：∵，，点D是的中点，
∴，，
∵G，H分别为的中点，
∴，
∴，
即：，；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，连接．
  
∵，
∴．
又D 是的中点，
∴．
由旋转的性质可得，，
．
∵点M在线段上，
∴．
在中，，
∴．
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，．
∵H为的中点，
∴，即．
在与中，，
∴，
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形．
∵点G是的中点，
∴．
（3），
如图，绕点C顺时针旋转得，连接
  
设，
则，
，
即，
∵，
∴，得
∴，
∴M、K、H在同一条直线上，
∴H为的中点，
∴．
∵，
∴．
又，G为的中点，
∴．
故答案为：；
（4）设，则，
∴在中，．
由旋转知，
∴，
∴．
由以上探究可知，
∴，
∴．
又∵，
∴．
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一，旋转的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形和三角形的中位线．