21.江苏省徐州市2019届高三期中考试考前数学模拟卷
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数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 已知集合A＝{-1，0，1，2}，B＝{x|x2-2x≤0}，则A∩B元素的个数为__________．
2．复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为 ．
3. 函数 的单调递增区间为________.
4．已知如图所示的程序框图，该程序运行后输出的结果为________.
5．甲、乙、丙、三本书按任意次序放置在书架的同一排上，则甲在乙前面，丙不在甲前面的概率为______.
6. 已知，则________.
7. 已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是________.
8. 已知函数，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数
k的取值范围是 .
9.已知平面上四个互异的点A、B、C、D满足：，则
的形状是 ．
10.设均为正实数，且，则的最小值为 ．
11. 已知点是椭圆 上的一点，是椭圆的两个焦点，若的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 ___ ．
12.已知数列的首项，其前和为，且满足．若对任意的，恒成立，则的取值范围是 ．
13.函数在区间上存在极值点，则实数的取值范围为 ．
14. 设函数，对任意,
恒成立，则实数m的取值范围是 .
[二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分为14分）
在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，，它们终边分别经过点，
其中，，，且.
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.
求证：(1) 平面；
(2)∥平面.
17. （本小题满分14分）
如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为．
（1）当时，证明直线平分线段；（2）已知点，则：
①若，求；②求四边形面积的最大值．
19. (本小题满分16分)
已知数列满足下列条件：①首项；
②当时，；③当时，
（1）当，求首项之值；
（2）当时，求；
（3）试证：正整数3必为数列中的某一项；
20. (本小题满分16分)
已知函数．
（1）若，求函数的极值，并指出极大值还是极小值；
（2）若，求函数在上的最值；
（3）若，求证：在区间上，函数的图象在的图象下方．
第Ⅱ卷（附加题 共40分）
21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A．选修4—1 几何证明选讲
如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.求AM的长；
B．选修4—2 矩阵与变换
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。
C．选修4—4 参数方程与极坐标
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.
D．选修4—5 不等式证明选讲
已知，且，求的最小值．
22．(本小题满分10分)如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
(Ⅰ)求二面角的的余弦值；
（Ⅱ）求点到面的距离.
23．(本小题满分10分)已知二项式的展开式中第2项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列．
(Ⅰ)求及的值．
(Ⅱ)数列中，，，，求证： 能被4整除．
江苏省徐州市2019届高三期中考试考前模拟卷
数学试题参考答案与评分细则
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 3 2.4 3. 4. 25 5. 6. 7. 8. (0,1) 9.等腰三角形 10.16 11. 12. 13. 14.
[二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）由得： ……4分
所以： ……7分
（2）由，，
则
故 ……10分
因此 ……14分
16．证明：（1）因为，[来源:学+科+网][来源:学,科,网]
所以，所以； ………3分
又因为，得，所以.
………6分
又，所以平面； ………8分
（2）连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，又，所以∥平面．
………14分
17. 解 设米，米．
（1）则，的面积
． ………………………………………………………3分
∴S．
当且仅当时取“=”． ………………………………………………………6分
（注：不写“＝”成立条件扣1分）
（2）由题意得，即． ………………8分
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以
（） ………………………………11分
当时，有最小值，此时． …………………13分
答：（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；
（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．………………… 14分
18. 解（1）点 椭圆的方程为
设，，则，
的直线方程为：
（2）①设点到直线的距离为，，
则………………………………………………6分
，即
由，解得；由，解得……………8分
，即 或．………………10分
②点到直线的距离
点到直线的距离
……………12分
…………………14分
当且仅当时取等号
所以四边形面积的最大值为．………………………16分
19.解析：（1）当时，则，此时，若，则；若，则或8，综上所述，之值为6或8或27。 ………………4分
（2）当时，，，
，，
以下出现周期为3的数列，从而； ………8分
（3）由条件知：若，则，；
若，则，
；
若，则，
； ………………13分
综上所述，，从而，
故当时，必有，因，故，
所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
若,则；若,则,若,则,
综上所述，正整数3必为数列中的某一项。 ………………16分
20.解：（1）的定义域是
当时在上递减；………………2分
当时 在上递增，
的极小值是，无极大值．………………4分
（2）恒成立对，
在上递增，………………6分
………………10分
（3）证明：令
在上恒成立，
在区间上递减，………………12分
………………15分
在区间上，函数的图象在的图象下方………………16分
21. A．选修4—1 几何证明选讲
解析：连接，则，因为四边形是平行四边形，所以∥，因为是⊙O的切线，所以，可得，又因为是的中点，所以，得，故.
B．选修4—2 矩阵与变换
解析：设矩阵，则由条件得，从而，
又，从而，联立，解之得,
故
C．选修4—4 参数方程与极坐标
解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径
直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).
从而,所以.即的最大值为。[来源:www.shulihua.net]
D．选修4—5 不等式证明选讲
解析：, ,
,
， 当且仅当，或时
的最小值是1.
22．(Ⅰ)∵∴．
在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得，
即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得，平面的法向量取为
设与所成的角为，则．
显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．
………………5分
（Ⅱ），，，，．
设平面的一个法向量，则，[来源:www.shulihua.net]
取，得，则点到平面的距离．
………………10分
23．解：(Ⅰ) ， ………………2分
故，，． ………………4分
(Ⅱ)证明：①当时，，，能被4整除．
②假设当n=k时， 能被4整除，即，其中p是非负整数．
那么当n =k+1时，
==
=显然是非负整数，
能被4整除．
由①、②可知，命题对一切都成立． ………………10分
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