22.江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试-数学

盐城市2019届高三年级第一学期期中考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．已知集合，，则=    ▲    ．

2．函数的最小正周期为    ▲    ．

3．若幂函数的图象经过点，则的值为    ▲    ．

4．在中，角的对边分别为，若，，，

则=    ▲    ．

5．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是    ▲    ．

6．在等差数列中，若，则数列的前6项的和    ▲    ．

7．若向量，，，且，则=  ▲  ．

8．若函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为    ▲    ．

9．若菱形的对角线的长为4，则    ▲    ．

10．函数（其中，，为常数，且，，）的部分图象如图所示，若（），则的值

为    ▲    ．

11．函数是以4为周期的奇函数，当时，，则    ▲    ．

12．设函数，若当时，不等式恒成立，则的取值范围是    ▲    ．

13．在中，角的对边分别为，已知，角的平分线交边于点，其中，则=    ▲    ．

14．设数列共有4项，满足，若对任意的，且）， 仍是数列中的某一项. 现有下列命题：①数列一定是等差数列；②存在，使得；③数列中一定存在一项为0. 其中，真命题的序号有   ▲   ．（请将你认为正确命题的序号都写上）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在中，角的对边分别为，已知，，且.

（1）求的值；

（2）求的值．

16．（本小题满分14分）

记函数的定义域、值域分别为集合.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

17．（本小题满分14分）

设直线是函数的图象的一条对称轴.

（1）求函数的最大值及取得最大值时的集合；

（2）求函数在上的单调减区间.

18．（本小题满分16分）

2016年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目. 2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2016年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润 = 累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为该项目赢利.

（1）试求的表达式；

（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

（参考数据：，，）

19. （本小题满分16分）

已知数列满足，，且.

（1）求的值；

（2）设为数列的前项的和，求；

（3）设，是否存正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分16分）

设函数，.

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）设函数，若对任意的，都有，求的取值范围；

（3）设，点是函数与图象的一个交点，且函数与的图象在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且.

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1.     2.      3.      4.      5.       6.2       7.

8.    9. 8     10.    11.    12.     13.    14.①②③

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

15．解：（1）由，得，即，解得.     ………………3分

在中，由余弦定理，得，

所以.                                                        ………………6分

（2）因为，所以为锐角，故.                     ………………8分

又由余弦定理，得，

所以为锐角，且.                                     ………………11分

所以.………………14分

16．解：（1）当时，，由，得.           ……………2分

又，所以.                                         ……………4分

故.                                                      ……………6分

（2）“”是“”的必要不充分条件.                           ……………8分

①当时，，，适合题意；                              ……………9分

②当时，，，适合题意；                           ……………11分

③当时，，，不适合题意.                  ……………13分

综上所述，实数的取值范围是.                                  ……………14分

17．解：（1）因为直线是函数的图象的对称轴，

所以对恒成立.                               ……………2分

所以对恒成立，

即对恒成立，所以.                         ……………6分

从而.                                  ……………8分

故当，即时，取得最大值为2.      ……………10分

（说明：其它方法的，类似给分）

（2）由，解得的递减区间为.  …12分

从而在上的减区间为.（注：区间的形式不唯一）          ……………14分

18．解：（1）由题意知，第1年至此后第年的累计投入

为（千万元），                                     ……………3分

第1年至此后第年的累计净收入

为（千万元）.  ………7分

所以（千万元）.                ……………8分

（2）方法一：因为，

所以当时，，故当时，递减；

当时，，故当时，递增.               ……………12分

又，，

.

所以，该项目将从第8年开始并持续赢利.                              ……………15分

答：该项目将从2023年开始并持续赢利.                               ……………16分

方法二：设，则，

令，得，所以.

从而当时，，递减；

当时，，递增.                              ……………12分

又，，

.

所以，该项目将从第8年开始并持续赢利.                              ……………15分

答：该项目将从2023年开始并持续赢利.                               ……………16分

19．解：（1）由题意，当为奇数时，；当为偶数时，. …………2分

又，，所以，即.  …………4分

（2）①当时，

.       ……………6分

②当时，

.                          ……………8分

所以，                    ……………9分

（3）由（1），得（仅且递增）.  ……………10分

因为，且，所以.

①当时，，若成等差数列，则

，

此与矛盾. 故此时不存在这样的等差数列.                         ……………12分

②当时，，若成等差数列，则

，

又因为，且，所以.

若，则，得，

得，矛盾，所以.

从而，得，

化简，得，解得.                                         ……………15分

从而，满足条件的只有唯一一组解，即，，.          ……………16分

20．解：（1）由题意，知，所以.

由题意，，即对恒成立.              ……………2分

又当时，，所以.                                 ……………4分

（2）因为，所以.

①当时，因为，所以，，故，不合题意.…6分

②当时，因为，所以，故在上单调递增. ……8分

欲对任意的都成立，则需，所以，解得.

综上所述，的取值范围是.                                ……………10分

（3）证明：因为，，且函数与在点处的切线互相垂直，所以，即   （）.

又点是函数与的一个交点，所以   （）.

由（）（）消去，得.                     ……………12分

①当时，因为，所以，且，此与（）式矛盾.

所以在上没有适合题意.                                       ……………13分

②当时，设，.

则，即函数在上单调递增，

所以函数在上至多有一个零点.

因为，，

且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点.

即只有唯一的，使得成立，且.

综上所述，存在唯一的，且.                   ……………16分

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