2021届河北省张家口市第一中学高三上学期期中考试数学试题（衔接班）

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2020-2021学年第一学期期中考试数学试卷（衔接班）

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1．设复数，且，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．直线与平行,则（ ）

A． B．2 C．或 2 D．0 或 1

3．某班级8位同学分成，，三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（    ）

A．140 B．160 C．80 D．100

4．记等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．9 B．11 C．19 D．21

5．已知是实数，则“”是“的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有.若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．若，，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是(    )

A．为单位向量 B．为单位向量 C． D．

11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（    ）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%

C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点成中心对称

C．的图象关于直线对称

D．的单调递增区间是

第II卷（非选择题）

三、填空题

13．设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到    .

14．如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积恒为定值；

②存在点，使得平面； 

③对于棱上任意一点，在棱上均有相应的点，使得平面；

④存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值.

其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）

15．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.

16．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的（如图）.则该几何体共有______面；如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是______.

四、解答题

17．在①，②，③的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）

在中，角、、所对的边分别为、、，且角为锐角，         

（1）求角；

（2）若，求的取值范围.

18．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

1证明：；

2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

19．已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20．已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若恒成立，求的取值范围.

21．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.

（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；

（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.

附：参考公式其中.

22．在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线

（1）求曲线的方程；

（2）设直线与交于两点，为何值时？

高三年级2020-2021学年第一学期期中考试数学答案

参考答案

1．D   2．B  3．A   4．C   5．B  6．C 7．C 8．B

2． 9．BCD    10．AD   11．ABC    12．BCD

13．   14．①②④    15．     16．14       

17．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

选①，利用余弦定理求解即可；选②，利用正弦定理直接求解即可；选③，利用正

弦定理直接求解即可

利用正弦定理，得到，然后，由（1）可求出，最后利

用三角恒等变换，化简得：，再根据角的范围，即可求出的取值范围

【详解】

（1）选①由，

得

由正弦定理，得.

所以

因为，所以.

选②，则，.

，所以.

选③，则.

，所以，又，所以.

（2）

，

化简得：.

因为，所以，，

即.

【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题

18．（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】

要证明，我们可能证明面PAD，由已知易得，我们只要能证明即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明，由已知易我们不难得到结论；由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由的结论，我们进而可以证明平面平面ABCD，则过E作于O，则平面PAC，过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角的余弦值．

【详解】

1证明：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形．

因为E为BC的中点，所以．

又，因此．

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

而平面PAD，平面PAD且，

所以平面又平面PAD，

所以．

2设，H为PD上任意一点，连接AH，EH．

由1知平面PAD，

则为EH与平面PAD所成的角．

在中，，

所以当AH最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此又，所以，

所以．

因为平面ABCD，平面PAC，

所以平面平面ABCD．

过E作于O，则平面PAC，

过O作于S，连接ES，则为二面角的平面角，

在中，，，

又F是PC的中点，在中，，

又，

在中，，

即所求二面角的余弦值为．

【点睛】

求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出为二面角的平面角，通过解所在的三角形求得其解题过程为：作证是二面角的平面角计算，简记为“作、证、算”．

19．（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用可以判断数列是以为首项，为公比的等比数列，即可写出通项公式；

（2）由裂项相消法可求出.

【详解】

（1），令，解得，，，

两式相减，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以数列的通项公式为，

（2）由（1）知，，所以，即

，

∴

.

【点睛】

本题考查和的关系，考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.

20．Ⅰ；Ⅱ.

【解析】

【分析】

将代入，求导后运用其几何意义求出切线方程

分离参量得，令，求导后算出最值

【详解】

时，函数，可得，所以，时，．

曲线则处的切线方程；

即：；

由条件可得，

则当时，恒成立，

令，则，

令，

则当时，，所以在上为减函数．

又，

所以在上，；在上，．

所以在上为增函数；在上为减函数．

所以，所以．

【点睛】

本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果．

21．（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为.

【解析】

【分析】

（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出，结合临界值表，即可得出结论；

（2）由题意，得到的可能取值为0，1，2，3，且，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.

【详解】

（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：

因为，

所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”

（2）的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，，

则，，

，

所以随机变量的分布列为

因此期望为：.

【点睛】

本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.

22．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程．

（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得．

【详解】

解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，

则，，，可得椭圆的标准方程为：．

（2）设，，联立，化为：，

恒成立，

，，

，，

，

解得．满足．

当时，能使．

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．