2021届黑龙江省大庆中学高三上学期期中考试数学（文）试题

大庆中学2020---2021学年度上学期期中考试

高三年级文科数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{x|-2＜x＜2}，B＝{x|x2-4x-5＜0}，则（    ）

A．(-2，2) B．(-2，-1) C．(-2，-1] D．(-1，2)

2．设i是虚数单位，若复数，则|z|＝（    ）

A． B．1 C． D．

3．已知向量，，若，则（    ）.

A．1 B． C． D．2

4．已知，，，则（    ）

A．  B． C． D．

5．等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）

A． 15 B．20 C．31 D．32

6．已知平面，，和直线，下列命题中错误的是（    ）

A．若，，则                  B．若，则存在，使得

C．若，，，则       D．若，，则

7．过点的直线与圆相交于，两点，若该直线的斜率为1,则（   ）

A． B． C． D．

8．给出下列四个结论：

①命题“，”的否定是“，”；

②命题“若，则且”的否定是“若，则”；

③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；

④若“是假命题，是真命题”，则命题一真一假.

其中正确结论的个数为（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知函数的部分图象如图所示，

则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，其中为坐标原点，则双曲线的方程为　　

A．     B．     C．     D．

11．四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若，则________________．

14．曲线在处的切线方程__________________．

15．若变量，满足约束条件，则的最大值为_________________．

16．等差数列的前n项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为_________________.

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）

中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若a＝2，，求的面积．

18．（12分）

已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和．

19．（12分）

如图，在以、、、、为顶点的五面体中，平面，，，.的面积且为锐角.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知椭圆的离心率，左焦点为，右焦点为，且椭圆上一动点M到的最远距离为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

21．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且恒成立，求实数的取值范围．

22．（10分）[4-4极坐标系与参数方程]

已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

（Ⅱ）设曲线与曲线相交于，两点，求的值．

大庆中学2020---2021学年度上学期期中考试

高三年级文科数学  参考答案

1．D   2．C   3．B  4．D  5．A  6．D  7．B  8．B   9．A  10．C  11．B  12．D

13．   14．   15．6    16．

17．（Ⅰ）因为由正弦定理得，

化简整理得，又因为，

所以，

由是内角，所以，．   --------------6分

（Ⅱ）由，可知，故有两解，

由余弦定理可得 ，

所以，解得或，又因为

所以的面积：或．    ---------------12分

18．（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，

由题意可知：，所以，

解得，故．--------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

所以

．  ---------------12分

19.（1）证明：由，解得，又为锐角，所以.

在中，由余弦定理可得，，即.

所以为等腰三角形，且，故，即.

平面，平面，而平面，

，又，，平面，平面，

平面.                --------------6分

（2）由，利用等体积法，可得，

因为平面，，，

所以，

故三棱锥的体积为.         ---------------12分

20．解：（Ⅰ），，.--------------4分

（Ⅱ）设，，，

，，，

，，，，

，，

，，     .--------------12分

21． 解：（Ⅰ）由已知可得．

当时，，在上单调递增；

当时，令，解得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．--------------4分

（Ⅱ），

则．

若函数有两个极值点，

则，是方程的两个不等正实根．所以，解得．

所以，        ①，    ②所以．

要使恒成立，只需恒成立．

由①②可得．

令，则，

当时，，为减函数，所以．

所以要使恒成立，只需满足．

所以实数的取值范围是．   -------12分

22． （Ⅰ）由

可得，即；

即曲线的直角坐标方程为；

曲线的参数方程为（为参数），

消去参数，可得的普通方程为．--------------5分

（Ⅱ）曲线的参数方程可写为（为参数），

代入曲线的普通方程，得，整理得．

设，所对应的参数分别为，，则，

所以．--------------10分