2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试 数学
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2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试
数 学
(满分150分,考试时间120分钟)
2020.11
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x|-2≤x<4},B={x|-5<x≤3},则A∩B=( )
A. {x|-5<x<4} B. {x|-5<x≤-2}
C. {x|-2≤x≤3} D. {x|3≤x<4}
2. “a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知变量x,y之间的一组数据如下表.若y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a,则a=( )
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.35 D. 0.45
4. 已知a,b为不同直线,α,β为不同平面,则下列结论正确的是( )
A. 若a⊥α,b⊥a,则b∥α B. 若a,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β
C. 若a∥α,b⊥β,a∥b,则α⊥β D. 若α∩β=b,a⊂α,a⊥b,则α⊥β
5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组,每个小组至多可接收该班2名同学,每名同学只能报一个小组,则报名方案有( )
A. 15种 B. 90种 C. 120种 D. 180种
6. 已知α∈(,π),tan α=-3,则sin(α-)等于( )
A. B. C. D.
7. 随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P02-,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天
8. 定义运算:① 对∀m∈R,m0=0m=m;
②对∀m,n,p∈R,(mn)p=p(mn)+mp+np.
若f(x)=ex-1e1-x,则有( )
A. 函数y=f(x)的图象关于x=1对称 B. 函数f(x)在R上单调递增
C. 函数f(x)的最小值为2 D. f(2)>f(2)
二、 多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.
9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商,其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织,构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况,统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元),得到如图的折线图,则下列说法正确的是( )
A. 根据甲店的营业额折线图可知,该店月营业额的平均值在[31,32]内
B. 根据乙店的营业额折线图可知,该店月营业额总体呈上升趋势
C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,乙店的月营业额极差比甲店小
D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,7,8,9月份的总营业额甲店比乙店少
10. 若非零实数x,y满足x>y,则下列判断正确的是( )
A. < B. x3>y3 C. ()x>()y D. ln(x-y+1)>0
11. 已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的最小正周期为π,其图象的一条对称轴为x=,则( )
A. φ=
B. 函数y=f(x)的图象可由y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
C. 函数f(x)在[0,]上的值域为[-1,]
D. 函数f(x)在区间[-π,-]上单调递减
12. 已知函数f(x)=其中a∈R.下列关于函数f(x)的判断正确的是( )
A. 当a=2时,f()=4
B. 当|a|<1时,函数f(x)的值域为[-2,2]
C. 当a=2且x∈[n-1,n](n∈N*)时,f(x)=2n-1(2-4)
D. 当a>0时,不等式f(x)≤2ax-在[0,+∞)上恒成立
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. (x2+)5的展开式中x4的系数为________.
14. 若一直角三角形的面积为50,则该直角三角形的斜边的最小值为________.
15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 021)=________.
16. 已知菱形ABCD边长为3,∠BAD=60°,点E为对角线AC上一点,AC=6AE.将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置,E记为E′,且二面角A′BDC的大小为120°,则三棱锥A′BCD的外接球的半径为________;过E′作平面α与该外接球相交,所得截面面积的最小值为________.
四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,点E,F分别为棱CC1与A1B1的中点.
(1) 求证:直线EF∥平面A1BC;
(2) 若该正三棱柱的体积为2,求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.
18. (本小题满分12分)
在① csin B=bsin ,② cos B=;③ bcos C+csin B=a这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线处,并完成解答.
问题:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,点D是边AB上一点,AD=5,CD=7,且________,试判断AD和DB的大小关系.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=x3-3x2+3bx+c在x=0处取得极大值1.
(1) 求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线的方程;
(2) 若函数f(x)在[t,t+2]上不单调,求实数t的取值范围.
20.(本小题满分12分)
在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,CD∥AB,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD=4,侧面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=2.
(1) 求证:BD⊥PA;
(2) 已知平面PAD与平面PBC的交线为l,在l上是否存在点N,使二面角PDCN的余弦值为?若存在,请确定点N位置;若不存在,请说明理由.
21. (本小题满分12分)
2020年10月16日是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割,其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产,亩产超过648.5公斤,通过推广种植海水稻,实现亿亩荒滩变粮仓,大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线,以海水稻为原料进行深加工,发明了一种新产品,若该产品的质量指标为m(m∈[70,100]),其质量指标等级划分如下表:
质量指标值m | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,100] |
质量指标等级 | 良好 | 优秀 | 良好 | 合格 | 废品 |
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件,将其质量指标值m的数据作为样本,绘制如图所示的频率分布直方图:
(1) 若将频率作为概率,从该产品中随机抽取3件产品,记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A,求事件A发生的概率;
(2) 若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品,然后从这7件产品中任取3件产品,求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望;
(3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位:元)的关系如下表(1<t<4):
质量指标值m | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,100] |
利润y(元) | 6t | 8t | 4t | 2t | -et |
试分析生产该产品能否盈利?若不能,请说明理由;若能,试确定t为何值时,每件产品的平均利润达到最大(参考数值:ln 2≈0.7,ln 5≈1.6).
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=xex-a(ln x+x).
(1) 当a>0时,求f(x)的最小值;
(2) 若对任意x>0恒有不等式f(x)≥1成立.
①求实数a的值;
②求证:x2ex>(x+2)ln x+2sin x.
2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊)
数学参考答案及评分标准
1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. A 9. ABD 10. BD 11. BC 12. ACD
13. 40 14. 10 15. 1 16. π(第一空2分,第二空3分)
17. (1) 证明:取BB1中点D,连接ED,FD,(1分)
在平行四边形BCC1B1中,点E为CC1的中点,点D为BB1的中点,
所以ED∥CB.
在△B1BA1中,点F为A1B1的中点,点D为BB1的中点,
所以FD∥A1B.(3分)
又ED,FD⊂平面EFD,ED∩FD=D,所以平面EFD∥平面A1BC.
又EF⊂平面EFD,所以EF∥平面A1BC.(5分)
(2) 解:设AA1=h,VABCA1B1C1=S△ABC·h=×4h,
所以h=2,即h=2.(6分)
因为平面ABC∥平面A1B1C1,
所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角.
因为CC1⊥平面A1B1C1,
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F,
所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角.(8分)
因为EC1=,FC1=,所以EF=,
所以cos∠EFC1==,即EF与平面ABC所成角的余弦值为.(10分)
18. 解:设AC=x,在△ACD中,由余弦定理可得49=x2+25-2·x·5·cos ,(2分)
即x2-5x-24=0,解得x=8或x=-3(舍去),所以AC=8.(3分)
选择条件①:
由正弦定理得sin Csin B=sin Bsin .(4分)
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin C=sin .(5分)
因为A+B=π-C,所以sin C=2sin cos =cos .(6分)
因为C∈(0,π),所以∈(0,),所以cos ≠0,
所以sin =,即=,C=.(10分)
又A=,所以△ABC是等边三角形,所以AB=8,(11分)
所以DB=3,故AD>DB.(12分)
选择条件②:
由cos B=,得sin B=.(5分)
因为A+B+C=π,
所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B
=×+×=.(8分)
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,(10分)
解得AB=10.(11分)
又AD=5,故AD=DB.(12分)
选择条件③:
因为bcos C+csin B=a,由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sin A.(4分)
因为A+B+C=π,所以sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,
所以sin Csin B=sin Ccos B.
因为sin C≠0,所以sin B=cos B.(7分)
因为B∈(0,π),故B=,
所以∠ACB=.(8分)
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,(10分)
解得AB=4(+1)>10.(11分)
因为AD=5,所以AD<DB.(12分)
19. 解:(1) 因为f′(x)=3x2-6x+3b,(1分)
由题意可得解得b=0,c=1,(3分)
所以f(x)=x3-3x2+1;
经检验,适合题意.
又f(1)=-1,f′(1)=-3,(5分)
所以函数y=f(x)图象在x=1处的切线的方程为y-(-1)=-3(x-1),
即3x+y-2=0.(6分)
(2) 因为f′(x)=3x2-6x,
令3x2-6x=0,得x=0或x=2.(8分)
当x<0时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;
当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数;
当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数.(9分)
因为函数f(x)在[t,t+2]上不单调,
所以t<0<t+2或t<2<t+2,(11分)
所以-2<t<0或0<t<2.(12分)
20. (1) 证明:连接BD,BD==2,AD=2,
所以BD2+AD2=AB2,所以AD⊥BD.(2分)
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD.
因为PA⊂平面PAD,所以BD⊥PA.(4分)
(2) 解:延长AD,BC相交于点M,连接PM,
因为M∈平面PAD,M∈平面PBC,所以M∈l.
又P∈l,所以PM即为交线l.(5分)
取AB中点Q,连DQ,则DQ⊥DC,
过D在平面PAD内作AD的垂线DH,则DH⊥平面ABCD.
分别以DQ,DC,DH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6分)
则P(1,-1,),C(0,2,0),M(-2,2,0),D(0,0,0),
所以=(1,-1,),=(0,2,0).
设平面PDC的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,
所以取m=(-,0,1).(8分)
设N(x1,y1,z1),=λ,
则(x1-1,y1+1,z1-)=λ(-3,3,-2),
所以x1=1-3λ,y1=-1+3λ,z1=-λ,
=(1-3λ,-1+3λ,-λ),=(0,-2,0).
设平面NDC的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·=0,n·=0,
所以取n=(-λ,0,3λ-1),(10分)
所以|cos〈m,n〉|==,
所以8λ2-10λ+3=0,
所以λ=或λ=,经检验λ=时,不合题意,舍去.
所以存在点N,点N为PM的中点.(12分)
21. 解:(1) 设事件A的概率为P(A),则由频率分布直方图,可得1件产品为废品的概率为P=(0.04+0.02)×5=0.3,则P(A)=1-C(0.3)3=1-0.027=0.973.(2分)
(2) 由频率分布直方图可知,质量指标值大于或等于85的产品中,
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4;
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2;
m∈[95,100]的频率为0.02×5=0.1.
故利用分层抽样抽取的7件产品中,m∈[85,90)的有4件,m∈[90,95)的有2件,m∈[95,100]的有1件.(4分)
从这7件产品中任取3件产品,质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
(7分)
所以E(X)=0×+1×+2×=.(8分)
(3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1<t<4):
质量指标值m | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,100] |
利润y | 6t | 8t | 4t | 2t | -et |
P | 0.05 | 0.1 | 0.15 | 0.4 | 0.3 |
故每件产品的利润y=0.3t+0.8t+0.6t+0.8t-0.5et=2.5t-0.5et(1<t<4).(10分)
则y′=2.5-0.5et,令y′=2.5-0.5et=0,得t=ln 5,
故当t∈(1,ln 5)时,y′>0,函数y=2.5t-0.5et单调递增;
当t∈(ln 5,4)时,y′<0,函数y=2.5t-0.5et单调递减.
所以当t=ln 5时,y取得最大值,为2.5×ln 5-0.5eln 5=1.5.
所以生产该产品能够盈利,当t=ln 5≈1.6时,每件产品的利润取得最大值1.5元.(12分)
22. (1) 解:(解法1)f(x)的定义域为(0,+∞).(1分)
由题意f′(x)=(x+1)(ex-)=(x+1),
令xex-a=0,得a=xex,
令g(x)=xex,g′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0,
所以g(x)在x∈(0,+∞)上为增函数,且g(0)=0,
所以a=xex有唯一实根,即f′(x)=0有唯一实根,设为x0,即a=x0ex0,(3分)
所以f(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-a(ln x0+x0)=a-aln a.(5分)
(解法2)f(x)=xex-a(ln x+x)=eln x+x-a(ln x+x)(x>0).
设t=ln x+x,则t∈R.
记φ(t)=et-at(t∈R),故f(x)最小值即为φ(t)最小值.(3分)
φ′(t)=et-a(a>0),
当t∈(-∞,ln a)时,φ′(t)<0,φ(t)单调递减,
当t∈(ln a,+∞)时,φ′(t)>0,φ(t)单调递增,
所以f(x)min=φ(ln a)=eln a-aln a=a-aln a,
所以f(x)的最小值为a-aln a.(5分)
(2) ①解:当a≤0时,f(x)单调递增,f(x)值域为R,不适合题意;(6分)
当a>0时,由(1)可知f(x)min=a-aln a.
设φ(a)=a-aln a(a>0),所以φ′(a)=-ln a,
当a∈(0,1)时,φ′(a)>0,φ(a)单调递增,
当a∈(1,+∞)时,φ′(a)<0,φ(a)单调递减,
所以φ(a)max=φ(1)=1,即a-aln a≤1.(7分)
由已知f(x)≥1恒成立,所以a-aln a≥1,
所以a-aln a=1,
所以a=1.(8分)
②证明:由①可知xex-ln x-x≥1,因此只需证x2+x>2ln x+2sin x.
因为ln x≤x-1,只需证x2+x>2x-2+2sin x,即x2-x+2>2sin x.(10分)
当x>1时,x2-x+2>2≥2sin x,结论成立;
当x∈(0,1]时,设g(x)=x2-x+2-2sin x,
g′(x)=2x-1-2cos x,
当x∈(0,1]时,g′(x)显然单调递增.
g′(x)≤g′(1)=1-2cos 1<0,故g(x)单调递减,
g(x)≥g(1)=2-2sin 1>0,即x2-x+2>2sin x.
综上,结论成立.(12分)
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