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    2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试 数学

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    2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试 数学

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    这是一份2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试 数学,共11页。


    2021届山东省潍坊市高三上学期期中考试

    数  学

    (满分150考试时间120分钟)

    202011

    (选择题 共60)

    一、 单项选择题:本大题共8小题每小题540分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合A{x|2x<4}B{x|5<x3}AB(  )

    A. {x|5<x<4}  B. {x|5<x2}

    C. {x|2x3}  D. {x|3x<4}

    2. a>1(a1)(a2)<0(  )

    A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

    C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

    3. 已知变量xy之间的一组数据如下表.若y关于x的线性回归方程为y0.7xaa(  )

    x

    3

    4

    5

    6

    y

    2.5

    3

    4

    4.5

    A. 0.1  B. 0.2

    C. 0.35  D. 0.45

    4. 已知ab为不同直线,α,β为不同平面则下列结论正确的是(  )

    A. aαbabα  B. abα,aβ,bβ,αβ

    C. aαbβ,abαβ  D. αβbaα,abαβ

    5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组每个小组至多可接收该班2名同学每名同学只能报一个小组则报名方案有(  )

    A. 15  B. 90  C. 120  D. 180

    6. 已知α(,π)tan α=-3sin)等于(  )

    A.   B.   C.   D.

    7. 随着科学技术的发展放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)P02其中P0t0时该放射性同位素的含量.已知t15该放射性同位素的瞬时变化率为-则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(  )

    A. 20  B. 30  C. 45  D. 60

    8. 定义运算 mRm00mm

    mnpR(mn)pp(mn)mpnp.

    f(x)ex1e1x则有(  )

    A. 函数yf(x)的图象关于x1对称  B. 函数f(x)R上单调递增

    C. 函数f(x)的最小值为2  D. f(2)f(2)

    二、 多项选择题:本大题共4个小题每小题520分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的5选对但不全的得3有选错的得0分.

    9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况统计了20204月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元)得到如图的折线图则下列说法正确的是(  )

    A. 根据甲店的营业额折线图可知该店月营业额的平均值在[3132]

    B. 根据乙店的营业额折线图可知该店月营业额总体呈上升趋势

    C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小

    D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知789月份的总营业额甲店比乙店少

    10. 若非零实数xy满足x>y则下列判断正确的是(  )

    A.   B. x3y3  C. ()x()y  D. ln(xy1)0

    11. 已知函数f(x)cos(ωxφ)(ω00φ)的最小正周期为π,其图象的一条对称轴为x(  )

    A. φ

    B. 函数yf(x)的图象可由ysin 2x的图象向左平移个单位长度得到

    C. 函数f(x)[0]上的值域为[1]

    D. 函数f(x)在区间[π,]上单调递减

    12. 已知函数f(x)其中aR.下列关于函数f(x)的判断正确的是(  )

    A. a2f()4

    B. |a|<1函数f(x)的值域为[22]

    C. a2x[n1n](nN*)f(x)2n1(24)

    D. a>0不等式f(x)2ax[0)上恒成立

    (非选择题 共90)

    三、 填空题:本大题共4小题每小题520分.

    13. (x2)5的展开式中x4的系数为________

    14. 若一直角三角形的面积为50则该直角三角形的斜边的最小值为________

    15. 已知f(x)是定义在R上的奇函数满足f(1x)f(1x).若f(1)1f(1)f(2)f(3)f(2 021)________

     

    16. 已知菱形ABCD边长为3BAD60°,E为对角线AC上一点AC6AE.ABD沿BD翻折到A′BD的位置E记为E′且二面角ABDC的大小为120°,则三棱锥A′BCD的外接球的半径为________;过E′作平面α与该外接球相交所得截面面积的最小值为________

    四、 解答题:本大题共6小题70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. (本小题满分10)

    已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2EF分别为棱CC1A1B1的中点.

    (1) 求证:直线EF平面A1BC

    (2) 若该正三棱柱的体积为2求直线EF与平面ABC所成角的余弦值.

     

     

     

    18. (本小题满分12)

    csin Bbsin cos B bcos Ccsin Ba这三个条件中任选一个补充在下面问题中的横线处并完成解答.

    问题:ABC的内角ABC的对边分别为abcAD是边AB上一点AD5CD7________试判断ADDB的大小关系.

    注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

     


    19. (本小题满分12)

    已知函数f(x)x33x23bxcx0处取得极大值1.

    (1) 求函数yf(x)的图象在x1处的切线的方程;

    (2) 若函数f(x)[tt2]上不单调求实数t的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    20.(本小题满分12)

    在四棱锥PABCD底面ABCD为直角梯形CDABABC90°,AB2BC2CD4侧面PAD平面ABCDPAPD2.

    (1) 求证:BDPA

    (2) 已知平面PAD与平面PBC的交线为ll上是否存在点N使二面角PDCN的余弦值为?若存在请确定点N位置;若不存在请说明理由.


    21. (本小题满分12)

    20201016日是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产亩产超过648.5公斤通过推广种植海水稻实现亿亩荒滩变粮仓大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线以海水稻为原料进行深加工发明了一种新产品若该产品的质量指标为m(m[70100])其质量指标等级划分如下表:

     

    质量指标值m

    [7075)

    [7580)

    [8085)

    [8590)

    [90100]

    质量指标等级

    良好

    优秀

    良好

    合格

    废品

    为了解该产品的经济效益并及时调整生产线该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000将其质量指标值m的数据作为样本绘制如图所示的频率分布直方图:

    (1) 若将频率作为概率从该产品中随机抽取3件产品抽出的产品中至少有1件不是废品为事件A求事件A发生的概率;

    (2) 若从质量指标值m85样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品然后从这7件产品中任取3件产品求质量指标值m[9095)的件数X的分布列及数学期望;

    (3) 若每件产品的质量指标值m与利润y(单位:元)的关系如下表(1t4)

     

    质量指标值m

    [7075)

    [7580)

    [8085)

    [8590)

    [90100]

    利润y()

    6t

    8t

    4t

    2t

    et

    试分析生产该产品能否盈利?若不能请说明理由;若能试确定t为何值时每件产品的平均利润达到最大(参考数值:ln 20.7ln 51.6)

     

     

     

     

     


    22. (本小题满分12)

    已知函数f(x)xexa(ln xx)

    (1) a0f(x)的最小值;

    (2) 若对任意x0恒有不等式f(x)1成立.

    求实数a的值;

    求证:x2ex(x2)ln x2sin x.

     

     


     

    2021届高三年级第一学期期中考试(潍坊)

    数学参考答案及评分标准

     

    1. C 2. B 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. A 9. ABD 10. BD 11. BC 12. ACD

    13. 40 14. 10 15. 1 16.  π(第一空2第二空3)

    17. (1) 证明:BB1中点D连接EDFD(1)

    在平行四边形BCC1B1ECC1的中点DBB1的中点

    所以EDCB.

    B1BA1FA1B1的中点DBB1的中点

    所以FDA1B.(3)

    EDFD平面EFDEDFDD所以平面EFD平面A1BC.

    EF平面EFD所以EF平面A1BC.(5)

    (2) 解:AA1hVABCA1B1C1SABC·h×4h

    所以h2h2.(6)

    因为平面ABC平面A1B1C1

    所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角.

    因为CC1平面A1B1C1

    所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F

    所以EFC1EF与平面A1B1C1所成的角.(8)

    因为EC1FC1所以EF

    所以cosEFC1EF与平面ABC所成角的余弦值为.(10)

    18. 解:ACxACD由余弦定理可得49x2252·x·5·cos (2)

    x25x240解得x8x=-3(舍去)所以AC8.(3)

    选择条件

    由正弦定理得sin Csin Bsin Bsin .(4)

    因为B(0,π)所以sin B0所以sin Csin .(5)

    因为ABπC所以sin C2sin cos cos .(6)

    因为C(0,π)所以(0)所以cos 0

    所以sin C.(10)

    A所以ABC是等边三角形所以AB8(11)

    所以DB3ADDB.(12)

    选择条件

    cos Bsin B.(5)

    因为ABCπ,

    所以sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B

    ××.(8)

    ABC,由正弦定理得(10)

    解得AB10.(11)

    AD5ADDB.(12)

    选择条件

    因为bcos Ccsin Ba由正弦定理得sin Bcos Csin Csin Bsin A(4)

    因为ABCπ,所以sin Bcos Csin Csin Bsin(BC)sin Bcos Csin Ccos B

    所以sin Csin Bsin Ccos B.

    因为sin C0所以sin Bcos B(7)

    因为B(0,π)B

    所以ACB.(8)

    ABC由正弦定理得(10)

    解得AB4(1)10.(11)

    因为AD5所以ADDB.(12)

    19. 解:(1) 因为f′(x)3x26x3b(1)

    由题意可得解得b0c1(3)

    所以f(x)x33x21

    经检验适合题意.

    f(1)=-1f(1)=-3(5)

    所以函数yf(x)图象在x1处的切线的方程为y(1)=-3(x1)

    3xy20.(6)

    (2) 因为f′(x)3x26x

    3x26x0x0x2.(8)

    x0f(x)0函数f(x)为增函数;

    0x2f(x)0函数f(x)为减函数;

    x2f(x)0,函数f(x)为增函数.(9)

    因为函数f(x)[tt2]上不单调

    所以t0t2t2t2(11)

    所以-2t00t2.(12)

    20. (1) 证明:连接BDBD2AD2

    所以BD2AD2AB2所以ADBD.(2)

    因为平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCDADBD平面ABCD

    所以BD平面PAD.

    因为PA平面PAD所以BDPA.(4)

    (2) 解:延长ADBC相交于点M连接PM

    因为M平面PADM平面PBC所以Ml.

    Pl所以PM即为交线l.(5)

    AB中点QDQDQDC

    D在平面PAD内作AD的垂线DHDH平面ABCD.

    分别以DQDCDH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(6)

    P(11)C(020)M(220)D(000)

    所以(11)(020)

    设平面PDC的法向量为m(xyz)0m·0

    所以m(01)(8)

    N(x1y1z1)λ

    (x11y11z1)λ(332)

    所以x11y1=-1z1λ,

    (11λ)(020)

    设平面NDC的法向量为n(x2y2z2)n·0n·0

    所以n(λ,03λ1)(10)

    所以|cosmn|

    所以210λ30

    所以λλ经检验λ不合题意舍去.

    所以存在点NNPM的中点.(12)

    21. 解:(1) 设事件A的概率为P(A)则由频率分布直方图可得1件产品为废品的概率为P(0.040.02)×50.3P(A)1C(0.3)310.0270.973.(2)

    (2) 由频率分布直方图可知质量指标值大于或等于85的产品中

    m[8590)的频率为0.08×50.4

    m[9095)的频率为0.04×50.2

    m[95100]的频率为0.02×50.1.

    故利用分层抽样抽取的7件产品中m[8590)的有4m[9095)的有2m[95100]的有1件.(4)

    从这7件产品中任取3件产品质量指标值m[9095)的件数X的所有可能取值为012

    P(X0)P(X1)P(X2)

    所以X的分布列为

     

    X

    0

    1

    2

    P

    (7)

    所以E(X)0×1×2×.(8)

    (3) 由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y()的关系如下表所示(1t4)

     

    质量指标值m

    [7075)

    [7580)

    [8085)

    [8590)

    [90100]

    利润y

    6t

    8t

    4t

    2t

    et

    P

    0.05

    0.1

    0.15

    0.4

    0.3

    故每件产品的利润y0.3t0.8t0.6t0.8t0.5et2.5t0.5et(1t4)(10)

    y′2.50.5ety′2.50.5et0tln 5

    故当t(1ln 5)时,y′0函数y2.5t0.5et单调递增;

    t(ln 54)y0函数y2.5t0.5et单调递减.

    所以当tln 5y取得最大值2.5×ln 50.5eln 51.5.

    所以生产该产品能够盈利tln 51.6每件产品的利润取得最大值1.5元.(12)

    22. (1) 解:(解法1)f(x)的定义域为(0)(1)

    由题f′(x)(x1)(ex)(x1)

    xexa0axex

    g(x)xexg(x)exxex(x1)ex0

    所以g(x)x(0)上为增函数g(0)0

    所以axex有唯一实根f′(x)0有唯一实根设为x0ax0ex0(3)

    所以f(x)(0x0)上为减函数(x0)上为增函数

    所以f(x)minf(x0)x0ex0a(ln x0x0)aaln a(5)

    (解法2)f(x)xexa(ln xx)eln xxa(ln xx)(x0)

    tln xxtR.

    φ(t)etat(tR)f(x)最小值即为φ(t)最小值.(3)

    φ′(t)eta(a0)

    t(ln a),φ′(t)0,φ(t)单调递减

    t(ln a),φ′(t)0,φ(t)单调递增

    所以f(x)minφ(ln a)eln aaln aaaln a

    所以f(x)的最小值为aaln a(5)

    (2) 解:a0f(x)单调递增f(x)值域为R不适合题意;(6)

    a0(1)可知f(x)minaaln a.

    φ(a)aaln a(a0)所以φ′(a)=-ln a

    a(01),φ′(a)0,φ(a)单调递增

    a(1),φ′(a)0,φ(a)单调递减

    所以φ(a)maxφ(1)1aaln a1.(7)

    由已知f(x)1恒成立所以aaln a1

    所以aaln a1

    所以a1.(8)

    证明:可知xexln xx1因此只需证x2x2ln x2sin x.

    因为ln xx1只需证x2x2x22sin xx2x22sin x(10)

    x1x2x222sin x结论成立;

    x(01]g(x)x2x22sin x

    g(x)2x12cos x

    x(01]g(x)显然单调递增.

    g(x)g′(1)12cos 10g(x)单调递减

    g(x)g(1)22sin 10x2x22sin x.

    综上结论成立.(12)

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