江西省九江市同文中学2021届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

同文中学高三上学期期中考试（理）

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列命题中的真命题有（    ）

A．已知是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；

B．已知命题，总有，则，使得

C．设是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的充要条件；

D．“”的否定为“”

3.函数的大致图象为（   ）

A                   B                  C               D

4.将函数y=3sin（2x+）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（，0）中心对称（    ）

1. 向左平移个单位     B.向右平移个单位     

C.向左平移个单位      D.向右平移个单位

5.设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（    ）

A.f(x)f(－x)是奇函数；         B.是奇函数；

C.f(x)＋f(－x)是偶函数；        D.f(x)－f(－x)是偶函数

6.函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

7.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为(    )

A． B． C． D．

8.如右图，点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点,则sinα＝（    ）

A.  B.     C.    D.

9．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（      ）

A．13 B．39 C．48 D．58

10．已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（    ）

A．是等差数列 B．

C． D．是等比数列

11.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，且满足=1，则的取值范围是（    ）

1.      B.      C. [-2,2]     D.

12.已知函数f(x)在定义域R上可导，且f´(x)≥cosx，则关于x的不等式的解集为（   ）

A.[，＋∞)     B.[－，＋∞)     C.(－∞，]     D.(－∞，－]

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13.已知向量a=(1,2),b=(4,m),若a//b,则ab=__________

14.若等差数列满足,则当=__________时，的前项和最大.

15．若有下列四个不等式①;②③；④则下列组合中全部正确的为__________

16.已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，．若函数恰有6个不同零点，则的取值范围是_________

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知数列中，且．数列中，且（）．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为.

18．如图，在三棱柱中，，平面，，

证明:平面平面；

求二面角的正弦值.

19.某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答.竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分.每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响.已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.

(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；

(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分.巳知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分X 的分布列.

20．已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．其中为常数．

（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于两点，若，求值．

23．已知函数，.

（1）当时，解不等式；

（2）若存在满足，求实数的取值范围

同文中学高三数学期中考试（理）

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．

13．20;          14. 8;        15. ①③;        16.

17（1）因为，

当时，，

两式相减得；

当时，，所以；

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则．

数列中，，满足（）．

即，，，…，，，

等式左右两边分别相乘可得，而，所以．

（2），由（1）可得，数列的前项和为.

则

两式相减可得

，所以，

解：证明：如图，平面，平面，

．

又，，

平面．

又平面，

平面平面．

过点作平面的垂线作为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面的法向量，

则有，即，令，，

设平面的法向量，

则有，即，令，，

向量，所成角的余弦值：．

，

二面角的正弦值为．

19．

20.（1）由椭圆定义可得，则，

又椭圆的离心率为，

，则，

因此，椭圆的标准方程为.

（2）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为，

设点、，设点的坐标为，

联立，消去并整理得，

恒成立，

由韦达定理得，，

由于以为直径的圆恒过点，则，

，，

，

由于点为定点，则为定值，所以，解得，

此时，符合题意；

当直线与轴重合时，则为椭圆的短轴，此时，点与点或点重合，合乎题意．

综上所述，直线恒过定点．

21.（1）．，

当时，，在上单调递增,不符合题意，

当时，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

（2）由（1）知

当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，

当时，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

故当时，函数取得最小值，

当时，，，函数无零点，不合题意，

当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，

当时，，，

又，所以在上只有一个零点，

令，则，

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，即，所以，

所以，

又，所以在上只有一个零点．

所以满足题意．

不妨设，则，，

令，

则，

，

当时，，所以在上单调递减，

所以当时，，即，

因为，所以，

所以，

又，，且在上单调递增，

所以，故得证．