专题41 离心率的求值或取值范围问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（原卷版）

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专题41  离心率的求值或取值范围问题【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.方法一  定义法万能模板内      容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步  根据题目条件求出的值第二步  代入公式，求出离心率.例1. 在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为         ．【变式演练1】【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．方法二  方程法万能模板内      容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步  设出相关未知量；第二步  根据题目条件列出关于的方程；第三步  化简，求解方程，得到离心率. 例2. 【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（    ）A． B．C． D．例3. 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（   ）A．         B．         C．          D．【变式演练2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【变式演练3】【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．方法三  借助平面几何图形中的不等关系万能模板内      容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步  根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步  将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，第三步  解不等式，确定离心率的范围.例4【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式演练4】【四川省阆中市东风中学2020-2021学年高三11月月考数学（文）】如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）A．4 B． C． D．方法四  借助题目中给出的不等信息万能模板内      容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步  找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；[来源:Zxxk.Com]第二步  列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5．（2021·玉林市第十一中学高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点为，，在双曲线上存在点满足，则此双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式演练5】【河北省衡水中学2020届高三高考数学（理科）二调】已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A． B． C． D．方法五  借助函数的值域求解范围万能模板内      容使用场景离心率的求值或取值范围解题模板第一步  根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步  通过确定函数的定义域；第三步  利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6.【2020届福建省漳州市高三毕业班调研】已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式演练6】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（   ）A．                       B．                          C．                  D．【高考再现】1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为                    ．3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是      ．4. 【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．    B．    C．    D．5. 【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.6. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.7. 【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是A.          B.       C.     D. 8. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（     ）A．   B．    C．  D．【反馈练习】1．【贵州省铜仁市伟才学校2021届高三上学期第四次半月考】如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．3．【安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（    ）A． B． C． D．4．【甘肃省天水一中2020届高三高考数学（理科）二模】已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（    ）A． B． C． D．5．【江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研】椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．【2020届安徽省池州市高三下学期5月教学质量统一监测数学（文）】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．7．【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科数学】已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于（    ）A． B． C． D．8．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．9．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．10．【安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试文科数学】已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（    ）.A． B． C． D．11.（2021·全国）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．12．（2021·安徽高三开学考试（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（    ）A． B． C． D．13．（2021·安徽高三开学考试（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（    ）A． B． C． D．14.（2022·浙江高三专题练习）若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．115．（2022·全国高三专题练习（理））已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．16．（2021·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．17．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知F是双曲线的左焦点，A，B分别是C的左，右顶点，若，则双曲线C的离心率为（　　）A． B．2 C． D．318．（2021·嘉峪关市第一中学高三一模（理））已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．或 D．或19．（2021·湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．20．（2021·全国高三模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．21．（2021·孟津县第一高级中学（文））双曲线的左右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N，与y轴交于M，若M为中点，则双曲线的离心率为（    ）A． B．C．2 D．322．（多选题）【江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期12月模拟测试】椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（    ）A． B． C． D．23.【四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中数学（文）】已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.24．【重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理）】已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点.过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.25．【四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（理）】已知点P在椭圆上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆上.记直线PF1的斜率为k，若，则椭圆离心率的最小值为_____.26．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．