【校级联考】河南省名校联盟2018—2019学年高三“尖子生”调研考试（二）数学（文）试题（解析版）

河南省名校联盟2018—2019学年高三“尖子生”调研考试（二）

数学（文）试题

注意事项：

    1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分．考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上．

    2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

    3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

    4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A＝{x∈Z｜－2≤x＜3}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝

A. {0，2，4}    B. {0，2}    C. {0，1，2}    D.

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合，利用交集的定义求解即可.

【详解】化简，

因为，

故，故选B.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

2.已知i为虚数单位，则＝

A. －1－i    B. －1＋i    C. 1－i    D. 1＋i

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数即可.

【详解】由复数的除法运算法则可得，

，故选A.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.《九章算术》中第七卷“盈不足”问题中有这样一则：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日加倍．若第n天（n∈R）蒲、莞的长度相等，则第[n]天蒲长了（    ）尺．（其中[n]表示不超过n的最大整数）

A. 2    B.     C. 1    D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由蒲、莞的生长速度都是等比数列，利用等比数列的求和公式列方程可得结果.

【详解】因为蒲、莞的生长速度都是等比数列，

若第天长度相等，

则，化简可得，

故，则第2日蒲生长的长度为尺，故选D.

【点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力，等比数列的通项公式与等比数列的求和公式，意在考查综合利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.

4.运行如图所示的程序框图，输出的k的值为

A. 8    B. 10    C. 12    D. 14

【答案】C

【解析】

【分析】

模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.

【详解】运行该程序，第一次，；

第二次，；

第三次，；

第四次，；

第五次，，

第六次，此时，

退出循环，输出的的值为12，故选C.

【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知

A. ＜，＜    B. ＞，＜

C. ＜，＞    D. ＞，＞

【答案】B

【解析】

【分析】

根据茎叶图中数据的分布可得，班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，从而可得结果.

【详解】班学生的分数多集中在之间，班学生的分数集中在之间，故；相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故，故选B.

【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意 平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了 随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.

6.已知m，n∈R，则“m2＋n2＜16”是“mn－5m＞5n－25”的

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

等价于，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】依题意，

或，故“”“”，反之不成立，例如；故“”是“”的充分不必要条件，故选A.

【点睛】本题主要考查不等式的性质、充分条件与必要条件相关问题，将不等式的性质、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.

7.已知某几何体的三视图如下图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两点，它们之间的距离不可能为

A.     B.     C. 2    D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由三视图还原几何体，由几何体直观图可得每条棱的长，从而可得结果.

【详解】

如图几何体的直观图旋转一定的角度后，

得到三视图表示的几何体的直观图，

直观图中，长方体由两个正方体组成，

其中正方体的棱长1，

由图可知，，，，

所以，几何体中每个棱长都不为2，故选C.

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

8.已知双曲线C：（a＞b＞0）的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为

A. y＝±x    B. y＝±x    C. y＝±x    D. y＝±x

【答案】B

【解析】

【分析】

求出交点坐标，利用四边形为矩形面积为8，且根据双曲线的对称性，，结合可得，从而可得结果.

【详解】依题意，不妨设点在第一象限，

联立解得（其中），

可知四边形为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，，

即，又因为，

所以可得，

解得（舍去），

故所求渐近线方程为，故选B.

【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的渐近线，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求双曲线的渐近线方程，关键是得到关于的齐次方程.

9.已知函数f（x）＝＋cosx的图象关于y轴对称，若函数g（x）恒满足g（k＋x）＋g（3－x）＋2＝0，则函数g（x）的图象的对称中心为

A. （1，1）    B. （2，－1）    C. （2，1）    D. （1，－1）

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数为偶函数，可得，则有可得结果.

【详解】因为的图象关于轴对称，

所以函数为偶函数，

,

,

可得，

则，

即为，

根据满足的函数的图象的对称中心为，

可得函数的图象的对称中心为，故选D.

【点睛】本题主要考查函数的对称中心以及由函数奇偶性求解析式，属于中档题. . 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.

10.已知函数f（x）＝cos（3x－）＋sin（3x－）（｜｜＜）的图象关于点（，0）对称，为了得到函数g（x）＝－2cos3x的图象，则需将函数f（x）的图象向右平移（    ）个单位长度．

A.     B.     C.     D. π

【答案】A

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简，由的图象关于对称可得，求得，利用平移法则求解即可.

【详解】化简，

因为的图象关于对称，

所以，

则；因为，故，

故，

则将函数的图象向右平移个单位长度，

得到函数的图象，故选A.

【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

11.已知函数f（x）＝则函数g（x）＝2[f（x）]2－3f（x）－2的零点个数为

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

令，解得或，利用导数研究函数的单调性，画出草图，由图可知有一个零点，有两个零点，从而可得结果.

【详解】

因为

所以，当时，，

故当时，，

当时，，且，，

作出函数的大致图象；

令，

解得或，

由图可知有一个零点，

有两个零点，

所以函数共有3个零点，故选B.

【点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

12.如图所示，A1，A2是椭圆C：的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝

A. 2    B. 3    C. 4    D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设，，求出直线的方程为，的方程为，联立可得，结合，可得，利用三角形面积公式可得结果.

【详解】设，，则直线的斜率为，

由，所以直线的斜率为．

于是直线的方程为：．

同理，的方程为：．

联立两直线方程，消去，得．

因为在椭圆上，所以，

从而．所以．

 所以，故选A.

【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线垂直的性质，以及直线斜截式方程与三角形面积公式的应用，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上）

13.已知向量＝（4m＋2，6），＝（2，m），若向量，平行，则实数m的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.

【详解】因为，

且向量平行

所以，，

解得或，故答案为或.

【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.

14.已知实数x，y满足则z＝x－2y的最大值为_________．

【答案】5

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】

画出表示的可行域，如图，

由可得，

将变形为，

平移直线，

由图可知当直经过点时，

直线在轴上的截距最小，

取最大值，最大值为，

最大值为5，故答案为5.

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15.如图所示，正六边形ABCDEF中，线段AD与线段BE交于点G，圆O1，O2分别是△ABG与△DEG的内切圆，圆O3，O4分别是四边形BCDG与四边形AGEF的内切圆，则往六边形ABCDEF中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

不妨设，小圆与正三角形相切，小圆的半径为，大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，圆半径为，由几何概型概率公式可得结果.

【详解】依题意，不妨设，

小圆与正三角形相切，小圆的半径为，

大圆与菱形相切，大圆直径是菱形的高，也等于正三角形的高，

可得大圆半径为，

由几何概型概率公式可得

该点落在图中阴影区域内的概率为：

，故答案为.

【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.

16.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，S△ABC表示△ABC的面积，且有b（asinA＋bsinB）＝4sinB·S△ABC＋bcsinC，若c＝，则△ABC的外接圆半径为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由利用正弦定理可得，再由余弦定理结合三角形面积公式可得,再利用正弦定理可得结果.

【详解】因为，

故，

即，

即，

故，

故，则的外接圆半径为，故答案为.

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于难题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知△ABC中，B＝，AB＝4．

   （1）若＝ ，AD＝BD，求BC的长；

   （2）若AC＝6，求sinC、sin∠BAC的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）设，则，,又.在中，由余弦定理列方程可得结果；（2） 在中， 由正弦定理可得；又，结合三角形内角范围可得，根据两角和的正弦公式可得结果.

【详解】（1）依题意，设，则，,

又.

在△ABD中，由余弦定理得，

即，解得，或（舍去）.

则.

（2） 在△ ABC中，设A,B,C所对的边分别为a,b,c，

由正弦定理，

所以；

又，

所以，

则为锐角，

所以；

则.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

18.已知等差数列{}的前n项和为，且a2＝3，a4＝7．

   （1）若Sm＋2＝36＋Sm，求S3m的值；

   （2）求数列{}的前n项和Tn．

【答案】（1）576；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列的公差为d，则，解得，，

可得数列通项，由，则，从而可得结果.

（2）因为，故，利用裂项相消法可得结果.

【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为d，

则，解得，

故，

故，

而，

则，解得，

故.

（2）因为，

故，

所以.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19.为了调查一款电视机的使用时间，研究人员对该款电视机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：

并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：

  （1）根据图中的数据，试估计该款电视机的平均使用时间；

  （2）根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；

（3）若按照电视机的使用时间进行分层抽样，从使用时间在[0，4）和[4，20]的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用时间都在[4，20]内的概率.

【答案】（1）；（2）有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关；（3）.

【解析】

【分析】

（1）所求平均数为，计算可得结果；（2）根据所给数据完善列联表，利用公式求得，与邻界值比较，即可得到结论；（3）根据分层抽样方法，求出每个层次应抽取的人数，应用列举法求出总事件个数，再求出符合条件的事件数，利用古典概型概率公式可得结果.

【详解】（1）依题意，所求平均数为

.

（2）依题意，完善表中的数据如下所示：

故；

故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关.

（3）依题意，使用时间在内的有1台，记为A，使用时间在内的有4台，记为a,b,c,d，则随机抽取2台，所有的情况为（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共10种，

其中满足条件的为（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种，

故所求概率.

【点睛】本题主要考查独立性检验的应用、分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

20.已知四棱锥S—ABCD中，∠SDA＝2∠SAD＝90°，∠BAD＋∠ADC＝180°，AB＝CD，点F是线段

SA上靠近点A的一个三等分点，AC与BD相交于E．

（1）在线段SB上作出点G，使得平面EFG∥平面SCD，请指明点G的具体位置，并用阴影部分表示平面EFG，不必说明平面EFG∥平面SCD的理由；

 （2）若SA＝SB＝2，AB＝AD＝BD＝，求点F到平面SCD的距离．

【答案】（1）点G为线段SB上靠近B点的三等分点，作图见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）作出平面的图形如图，点G为线段SB上靠近B点的三等分点；（2）利用勾股定理得，结合可证明平面，可得平面平面，于，由此平面，即为到平面的距离，设边上的高为，则，所以.

【详解】（1）作出平面的图形如下所示，点G为线段SB上靠近B点的三等分点.

（2）依题意， 因为，故；

而，

则有，   

所以，

又因为，

所以；

因为平面，

所以平面．

作于，如图，

因为平面，

所以平面；

又因为，

所以即为到平面的距离．

在△中，设边上的高为，则，

因为，

所以，

即到平面的距离为．

【点睛】本题主要考查面面平行的判定，点到面的距离以及空间垂直关系，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

21.已知抛物线C：x2＝2y，过点（－2，4）且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．

   （1）若k＝2，求｜MN｜的值；

   （2）记直线l1：x－y＝0与直线l2：x＋y－4＝0的交点为A，求kAM·kAN的值．

【答案】（1）20；（2）.

【解析】

【分析】

（1）联立得，由韦达定理与弦长公式可得结果；（2）求得，

设直线的方程为：，联立抛物线消去得，

由斜率公式求得，，利用韦达定理化简可得.

【详解】（1）依题意，直线：，

联立故，

设，

则，，

故.

（2）联立解得，故，

设直线的方程为：，，，

所以联立抛物线与直线的方程消去得，

则，，

，

可得，，代入可得.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

22.已知函数f（x）＝x2＋2mx＋2lnx，m∈R．

   （1）探究函数f（x）的单调性；

   （2）若关于x的不等式f（x）≤2＋3x2在（0，＋∞）上恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）题中不等式等价于，，设，利用导数研究函数的单调性，可得为的极小值点，即，从而可得结果.

【详解】（1）依题意，，，

若，则，故，故函数在上单调递增；

当时，令，解得；

若，则，，故函数在上单调递增；

若，则当时，，当时，，当时，；

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

（2）题中不等式等价于，即，

因此，

设，

则，

，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

因此为的极小值点，

即，

故，

故实数m的取值范围为.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.