陕西省西安市2023届高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市2023届高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．2B．C．1D．
3．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是 ( )
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
4．在等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A．B．1C．2D．
5．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数且的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
7．“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒．据统计老年患者治愈率约为70%，中年患者治愈率约为85%，青年患者治愈率约为90%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则该医院的平均治愈率约为（ ）
A．86%B．83%C．90%D．80%
8．2022年北京冬奥会开幕式以中国传统24节气作为倒计时进入，草木生长的勃勃生机拉开春意盎然的开幕式序幕.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长与最短的日子分别被定为冬至与夏至，其日影长分别为13.5尺与1.5尺.从冬至到夏至，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至这十三个节气，其日影长依次成等差数列，则北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是（ ）
A．10.5尺B．11尺C．11.5尺D．12尺
9．已知函数的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．在上的最小值为
D．若为偶函数，则
10．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
11．冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体，若圆锥部分的侧面展开图是面积为的半圆形，则该冰激凌的体积为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知命题，．下列说法正确的是（ ）
A．p为真命题，：，
B．p为假命题，：，
C．p为真命题，：，
D．p为假命题，：，
二、填空题
13．已知曲线，则与直线垂直的曲线的切线方程为_________．
14．已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为__________.
15．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______
16．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足，P为抛物线准线上任一点，则的最小值为__________．
三、解答题
17．在中，角的对边分别为，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值及的面积.
18．某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了50份试卷，得到如下结果：
(1)估算一下，1000人当中有多少人喜欢该产品？
(2)能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？
(3)从表格中男生中利用分层抽样方法抽取5人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行该产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
参考公式与数据：
，．
19．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点是的中点，点在边上移动.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
20．已知椭圆：的左焦点为，长轴长为，过右焦点的直线交椭圆于，两点
(1)求椭圆的方程；
(2)设线段的中点为，求点到直线的距离的取值范围.
21．已知函数（，常数）．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正数，且；求的最小值．
性别
是否喜欢
男生
女生
是
15
8
否
10
17
0.10
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案：
1．A
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】，
故选：A
2．C
【分析】利用复数的除法运算，计算复数z即可作答.
【详解】依题意，，
所以的虚部为1.
故选：C
3．A
【详解】在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可；
在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好；
在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好．
故选A
4．D
【分析】通过等比数列的通项公式计算，进而可得答案.
【详解】因为，
所以与的等比中项是，
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
6．B
【分析】判断函数的奇偶性，再由，可得结果.
【详解】由题可知函数的定义域为关于原点对称，
，
则，可知该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AC；
又当时，，排除D.
故选：B.
7．B
【分析】直接代入公式，即可求得本题答案.
【详解】由题可得，平均治愈率.
故选：B
8．A
【分析】依题意可知日影长为等差数列，则、，即可求出公差，从而求出，即可得解；
【详解】依题意设日影长为等差数列，其中、，
所以，所以，
即北京冬奥会开幕日（立春）的日影长是尺；
故选：A.
9．D
【分析】根据已知条件逐一求参数,再应用三角函数性质分别判断选项即可.
【详解】由题知，∵，，∴是的一个对称轴；
即，解得：，又，∴，故A错误；
∴
当时，，∴在上单调递减，故B错误；
当时，，∴当时，取最小值，故C错误；
函数为偶函数，∴，∴，故D正确．
故选:.
10．C
【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则
所以平面的一个法向量为
因为平面，则
设，则，所以
解得，所以，即
故选:C.
11．A
【分析】根据题意列出方程组，求得的值，得出，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
根据题意，可得，解得，所以，
故该冰激凌的体积.
故选：A.
12．C
【分析】根据方程与函数的关系结合零点存在性定理判断命题，再由含存在量词的命题的否定方法求其否定，由此确定正确选项.
【详解】方程可化为，设，则方程的根就是函数的零点，又当时，，当时，，由零点存在性定理知函数在区间内存在零点，故方程在上有解，故p为真命题，根据存在量词的命题的否定方法可得命题为，，所以C正确，
故选：C．
13．
【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解
【详解】设切点为，
因为，所以，
因为曲线的切线与直线垂直，
所以，
解得，
又点在曲线上，则，
所以切点坐标为，
所以曲线的与直线垂直的切线方程为：
，
即
故答案为：.
14．##
【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界来求得的最大值.
【详解】，
画出可行域如下图所示，由图可知，当时，取得最大值为.
故答案为：
15．
【详解】由题意可得， 解得 ．
∴等差数列 的前三项为-1，1，3．
则 3．
故答案为 ．
16．
【分析】设A(x0，y0)(x0>0)，根据抛物线的定义，由|AF|＝y0＋，可得，作出关于直线对称的点为，根据可求得|PA|＋|PF|的最小值；
【详解】由x2＝4y，知p＝2，则焦点F(0,1)，准线y＝－1.
依题意，设A(x0,y0)(x0>0)，由定义，得|AF|＝y0＋，即，则y0＝2－1＝1，
∴，AF⊥y轴，如图：设关于直线对称的点为，则，
则，当且仅当的坐标为时等号成立.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用关于直线对称的点为求|PA|＋|PF|的最小值是解题关键.
17．(1)；
(2)，
【分析】(1)直接利用余弦定理计算即可；
(2)由题意可知，利用正弦定理求的值即可；根据求解即可.
【详解】（1）∵，，，
∴由余弦定理，得，
解得；
（2）在中，
∵，∴，
∵，
∴，
∴.
18．(1)460人
(2)有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关
(3)．
【分析】（1）通过表格得到喜欢产品的概率，即可求解；
（2）根据列联表结合公式运算，并与临界值3.841比较得到结论；
（3）根据分层抽样得到共有3人喜欢，有2人不喜欢，然后写出选择两个人的所有情况，在罗列出满足至少有一人不喜欢的情况，根据古典概型即可
【详解】（1）通过表格可得到喜欢该产品的概率为，
故1000人中喜欢该产品的人大概有
（2）由表格可得，
故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关；
（3）由于，故抽取的5人中有3个人喜欢该产品，有2个人不喜欢该产品．
从中选2人，则所有选择方法为：，共10种不同情形，
其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：，共7种，
故所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；
（2）等体积法求三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：底面平面，
，
在矩形中，
因为，
平面，
平面，
，
又，点是的中点，
，
，且平面，平面，
平面.
（2）底面，
点到平面的距离为，
，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得、，再由可得答案；
（2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为1；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理可得点的横坐标，求出点到直线的距离，由的范围可得答案.
【详解】（1）根据题意可得，，，
∴，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）得，，
当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为1；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立消去得，
显然，
设，，
则，
∴点的横坐标，
∴点到直线的距离，
∵，
∴，
∴，
综上，点到直线的距离的取值范围为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为，令，求出函数的导函数，根据函数的单调性求出的最小值，进而求出的取值范围即可．
【详解】（1）时，，，
令，解得或，
故的递增区间是；
（2）若函数在上单调递增，
故在恒成立，
故，
令，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故的取值范围是.
22．(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的直角坐标方程.
（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.
【详解】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，
得.
曲线的极坐标方程为，有，
由得曲线的直角坐标方程为.
（2）将(为参数)代入曲线的方程得，，
即.
由于.
故可设，是方程的两个不同的实根，
所以，，
.
23．(1)
(2)3
【分析】（1）分段取绝对值再求解即可；
（2）根据绝对值的三角不等式可得，再根据基本不等式求解最小值即可.
（1）
，即．
当时，，解得；
当时，，解得，又，所以；
当时，，解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
（2）
，
当且仅当，即时取等号，所以，即．
所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为3．