广东省2023届高三第一次模拟考试数学（文科）试卷（含解析）

这是一份广东省2023届高三第一次模拟考试数学（文科）试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则的值为（ ）．
A．B．C．4D．
3．如图，程序框图的输出值，则输入值x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（其中e为自然对数的底数）（ ）
A．B．
C．D．
5．为了解某地区居民体育锻炼是否达标与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位居民，根据调查结果得到列联表如下，根据表格数据，下列结论正确的是（ ）
参考公式及数据：，其中.
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别无关
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别无关
C．有99%的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关
D．有99.9%的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关
6．若满足约束条件，则目标函数（ ）
A．无最大值，无最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．有最大值，有最小值
7．已知函数则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．据一组样本数据，求得经验回归方程为，且．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后重新求得的经验回归直线的斜率为1.1，则（ ）
A．去除两个误差较大的样本点后，的估计值增加速度变快
B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点
C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为
D．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为0.1
9．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
11．已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C.当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量，且，则___________.
14．已知三棱锥 中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为______．
15．已知双曲线的左､右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.
16．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.
三、解答题
17．2019年12月武汉出现的不明原因的病毒性肺炎，后发现这种肺炎传染性极强，春节到来时中央发出了武汉封城，全国停工停产，学校停课的决定.到2022年底，各地疫情不断，因学校是人员密集场所，所以会根据疫情情况不定时的停课.停课不停学，师生们开始了在家网课教与学的常态化状态.某网站为疫情在家学习的学生们提供了“学习强国”APP的学习平台.某校为了调研学生在该APP学习情况，研究人员随机抽取了2000名学生进行调查，将他们在该APP上学习的时间转化为分数，最长的学习时间赋为100分，最短的学习时间为0分，某两天的分数统计如下表所示：
(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的学员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；
(2)为了调查学生的学习情况是否受到家庭的影响，研究人员随机抽取了500名学生作出调查，得到的数据如下表所示：
判断是否有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响．
附：，其中．
18．已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
19．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，且是正三角形，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
20．已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当函数有两个极值点且.证明：.
21．已知函数，为其导函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.
23．已知，且，.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
不达标
达标
男
30
170
女
20
280
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
分数
人数
500
1000
200
300
有人陪伴在身边学习
独自学习
分数超过80
220
110
分数不超过80
80
90
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．D
【分析】分别求出集合，然后计算即可.
【详解】由，可得，
所以，
由，可得或，
所以或，
所以，
故选：D.
2．C
【分析】利用复数除法与减法法则可求得，后由共轭复数及复数模定义可得答案.
【详解】，所以，所以．
故选：C
3．D
【分析】根据程序框图，分和两种情况解不等式可求得答案.
【详解】由，得；
由，得．
所以输入值x的取值范围是．
故选：D.
4．B
【分析】利用导数可得在上单调递增，且,又因为是定义在上的奇函数，可得在上单调递增，且,由为偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，由可得，从而得，求解即可.
【详解】解：因为当时，，
所以，
所以在上单调递增，且,
又因为是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，且,
又因为为偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增；
，
所以，
解得.
故选：B.
5．C
【分析】利用卡方计算公式求出卡方值，并比照参考值，结合独立检验的基本思想确定结论即可.
【详解】随机变量的观测值.
因为，
所以有99%的把握认为该地区居民体育锻炼是否达标与性别有关.
故选：C.
6．C
【分析】先画出约束条件所表示的可行域，再由得，根据直线的几何意义，结合图像即可知截距有最大值，无最小值，即无最大值，有最小值.
【详解】根据题意，作出所表示的可行域，如图：
注意到，即这条直线取不到，图中由虚线表示，故两点也取不到，
由得，作出的平行直线簇，结合图像可知当经过点时，截距取得最大值，即取得最小值；
当经过点时，截距取得最小值，即取得最大值，但点不在可行域内，故取不到最大值，
综上：无最大值，有最小值.
故选：C.
.
7．A
【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.
【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，
则函数为偶函数，故排除选项B，C；
因为，
当时，恒成立，所以恒成立，
且当时，，
所以当时，，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
8．C
【分析】根据直线的斜率大小判断A；求出判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.
【详解】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线的斜率变小，则的估计值增加速度变慢，A错误；
对于B，由及得：，因为去除的两个样本点和，
并且，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为，
因此重新求得的回归方程对应直线一定过点，B错误；
对于C，设去除后重新求得的经验回归直线的方程为，由选项B知，，解得，
所以重新求得的回归方程为，C正确；
对于D，由选项C知，，当时，，则，
因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点的残差为，D错误.
故选：C
9．A
【分析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.
【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；
令，又，则，故，
∵在上递减，
∴，故的最大值为.
∴为真命题，为假命题；
∴为真，为假，为假，为假.
故选：A.
10．A
【分析】根据角A，B，C成等差数列求出B，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求范围.
【详解】∵角A，B，C成等差数列，∴，
∵，∴，∴.
根据正弦定理得：
＝
，
∵，∴，∴，∴.
故选：A.
11．B
【分析】求出直线所过定点为得C点坐标，再求出A，B点坐标，写出四边形面积，利用均值不等式求最小值，确定时，再由点到直线距离求解即可.
【详解】如图，
直线，都过点，
即点C的坐标是.
在中，令，得，所以，
同理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
所以当时，四边形OACB的面积取最小值.
此时，点B的坐标为，直线的方程是，
点B到直线的距离是.
故选：B.
12．D
【分析】通过构造函数，利用导数研究单调性，比较各式的大小.
【详解】设函数，则，
令函数，则．
令，得，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，因此在上单调递增，
所以．
令，则，所以，即．
构造函数，则，在上，在上.
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，则，
所以．得．
故选：D
【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
13．20
【分析】根据的坐标运算可得，再根据向量数量积公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】将三棱锥补成直三棱柱，直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，确定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圆半径，进而求得三棱锥外接球半径，即可得答案.
【详解】因为，，
所以在中，根据余弦定理可得：，
即．所以，
所以∠ABC=120°，所以底面是顶角为120°的等腰三角形．
由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，
则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，
且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．
设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，
由正弦定理得，，
所以，，
所以三棱锥外接球的体积为，
故答案为：
15．1
【分析】根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到，然后联立双曲线与圆的方程即可得到点的坐标，从而得到结果.
【详解】由题意得，所以，所以.
因为点在上，所以，所以，解得.
所以，所以双曲线的方程为.
由，解得，所以.
故答案为:
16．11710
【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值
【详解】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，
方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人，
，则单人票价为，
满10000元时，，则需34人，单人票价为241元，
满15000元时，，人数不足，
因为，
所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，
所以总费用为（元），
故答案为：11710
17．(1)；
(2)有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响.
【分析】（1）求出抽取的5人中分数在、内的人数，再利用列举法求出概率作答.
（2）根据给定的列联表，求出的观测值，再与临界值表比对作答.
【详解】（1）依题意，分数在内的应抽人数为，记这两人为，
分数在内的应抽人数为，记这三人为，
随机选取2人作为学习小组长的试验包含的基本事件有：
，共10个，
其中选取的两位小组长的分数都在内的事件含有的基本事件有：，共3个，
所以所选取的两位小组长的分数都在内的概率.
（2）列联表为：
则的观测值：，
所以有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系，得到是以2为首项，2为公比的等比数列，即可证明；
（2）由（1）中的结论可得，然后根据错位相减法即可得到.
【详解】（1）当时，,
当时，由得，
∴，又∵，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∵，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，∴
∵，
∴
∴
，
∴.
19．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）取的中点，连接，易证平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明；
（2）取的中点，连接，根据是正三角形，得到，再由平面平面，得到平面，在Rt中，由，求得，方法一：由，求得点到的距离，由平面，得到点到平面的距离，再由体积公式求解；方法二：连接，由，得到点到的距离，再根据为的中点得到三棱锥的高为三棱锥高的，然后由体积公式求解.
【详解】（1）证明：如图所示：
取的中点，连接.
因为底面是等腰梯形，，
又分别是的中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为是的中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.
（2）如图所示：
取的中点，连接.
由已知得且，所以四边形是平行四边形，
所以，且.
因为是正三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以.
设，则.
在Rt中，由，即，解得，
即.
方法一：由题意可得，点到的距离，
，
即点到平面的距离为.
又平面，所以点到平面的距离为.
所以.
方法二：连接，由题意得，，所以点到的距离为.
因为为的中点，所以三棱锥的高为三棱锥高的，
所以.
所以.
20．(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，结合导数的性质进行分类讨论求解即可；
（3）根据极值点的定义，结合（2）中结论，构造新函数，再利用导数的性质，确定新函数的单调性与最值，即可证明结论.
【详解】（1）当时，，则
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，则，
令，即，则
当，即时，，此时在上单调递减；
当，即当或时，
若，方程的两根为，则两根均为正根，且，
则时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，
若，恒成立，所以在上单调递减；
综上，当，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：由（2）知，当时，有两个极值点，满足，则，
所以
令，则，
则当时，，单调递增，当,，单调递减，
所以，即.
21．(1)的单调减区间为，增区间为
(2)
【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；
（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数，，则，
令，则，设，则，得，
故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，
所以，又时，，又，
所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，
故的单调减区间为，增区间为；
（2）解：关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，
又，
①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，又时，，，则函数在上有两个零点；
②当时，，得，，
（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；
（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题考查的是函数单调性、函数零点问题与导数的综合，难度较大.解决含参方程问题得关键是将含参方程转化为函数零点问题，从而利用函数单调性与导数的关系，对参数进行讨论先确定单调性，再结合零点存在定理及函数的极值判断各单调区间零点个数，从而求得参数范围，需要注意的是取值判断函数值符号的过程可结合函数的极限思想看开区间端点处的函数值趋势得正负.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的差角公式，整理直线方程，根据极坐标与直角坐标的转换公式，可得答案；
（2）将参数方程整理为普通方程，求得，由题意，建立方程，将问题转化为直线与圆的位置问题，可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
即.又∵，，
∴，即直线l的直角坐标方程为；
（2）由，且，则曲线C的普通方程为，
其与x轴的交点分别为，.
设点，由，得，
即，
∴，它表示圆心为，半径为的圆.
∵点既在直线l上，又在圆E上，∴，即，
∴，
即实数m的取值范围为.
23．(1)3；
(2).
【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值；
（2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】（1）因为，，
所以
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为3.
（2）
，
因为，所以，
所以原式
，
当且仅当，且，即，时等号成立，
则的最小值为.
有人陪伴在身边学习
独自学习
合计
分数超过80
220
110
330
分数不超过80
80
90
170
合计
300
200
500