河南省2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷（含解析）

这是一份河南省2022-2023学年高三下学期第三次模拟考试文科数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，且，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．4
3．疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
附表及公式：
，．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断错误的是（ ）A．注射疫苗发病的动物数为10
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率为75%
4．已知三个单位向量，，满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱锥中，所有的棱长都相等，E为AB中点，F对AC上一动点，若DF＋FE的最小值为，则该三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
7．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
8．已知圆的标准方程是，直线，若直线被圆所截得的弦长为，则直线与直线的关系为（ ）
A．平行B．垂直C．平行或相交D．相交
9．如图，在平面四边形中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．若实数x，y满足约束条件则的最大值为（ ）
A．1B．2C．6D．7
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，线段与双曲线C相交于点M，直线与y轴相交于点N，轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知在点处的切线与直线垂直，则______．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________.
15．已知函数，若存在、、、满足，且，则的最小值为______.
16．若函数在上存在极值,则的取值范围为______.
三、解答题
17．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的特斯拉汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.
(1)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数和中位数（精确到0.01）；
(2)统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下，预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？
参考公式：，
18．如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥B﹣ACE的体积．
19．已知等差数列和正项等比数列满足．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前n项和时的最小值．
20．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，且点在㮋圆上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为Q，经过坐标原点O和点Q的直线m与椭圆C交于M，N两点，求四边形AMBN的面积的取值范围．
21．已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围，
(2)证明：当时，．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程．
(2)已知直线过点，与曲线交于、两点，求的值．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：．
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
注射疫苗
30
总计
50
50
100
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
元月
2月
3月
4月
5月
销售量（万辆）
0.5
0.6
1.0
1.4
1.7
参考答案：
1．D
【分析】先求解集合A，B再求并集即可．
【详解】由已知得，所以，
又因为，所以．
故选：D.
2．C
【分析】根据复数的运算，结合复数相等得，进而再求复数模即可.
【详解】解；因为复数， 为实数，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：C
3．D
【解析】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只，补充完成列联表后，可判断A，B，计算后可判断C，D．
【详解】由题知：注射疫苗动物共40只，未注射为60只，
补充列联表，
由此可得A、B正确．
计算得：，
故能在犯错概率不超过0．001的前提下认为疫苗有效．C正确，D错误．
故选：D．
4．A
【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算.
【详解】因为，则，
∴，
故当，即与同向时，有最大值.
故选：A.
5．D
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.
【详解】由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
可得且，解得，
又由函数的图象过点，可得，即，
解得或，
当时，可得，所以的值可能为.
故选：D.
6．A
【分析】设三棱锥棱长为，外接球半径为，由正四面体性质求得，把和沿摊平，由余弦定理求得DF＋FE的最小值得值，从而可得外接球体积．
【详解】如图1，三棱锥各棱相等，是底面中心，则平面，显然有与底面上的直线垂直，是其外接球球心，设三棱锥棱长为，外接球半径为，
则，，
由得，，
把和沿摊平，如图2，
则，
因为DF＋FE的最小值为，所以，，
所以，
．
故选：A．
7．C
【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解.
【详解】解：因为，所以公比，则，
时，，时，，
又，所以，，，，
则，
又当时，，
所以能使不等式成立的最大正整数是．
故选：C．
8．C
【分析】根据弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理建立等量关系式，求得或，从而得到直线的方程，进而判断出两直线的位置关系，得到结果.
【详解】由题知直线被圆所截得的弦长为，
解得或，
所以直线的方程为或，
所以直线与要么平行，要么相交，
故选：C．
【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线被圆截得的弦长，两直线的位置关系，属于简单题目.
9．D
【解析】利用正弦定理建立关系，根据三角函数的有界限即可求解AB的取值范围
【详解】由题意，平面四边形中，延长、交于点，如图，
，
为等腰三角形，，
若点与点重合或在点右方，则不存在四边形，
当点与点重合时，
根据正弦定理：，
算得，
，
若点与点重合或在点上方，则不存在四边形，
当点与点重合时，
根据正弦定理：
算得，
，
综上所述，的取值范围为．
故选：D
【点睛】本题考查了正余弦定理的运用和数形结合的思想，构成三角形的条件的处理．属于中档题．
10．D
【分析】根据不等式组作出可行域，结合直线纵截距的几何意义求解.
【详解】作出可行域如下，
由可得，结合的几何意义可知，
当直线经过点时，纵截距有最大值，
最大值为，
故选:D.
11．D
【分析】根据题意求出点P坐标，继而表示出直线和的方程，根据点N位置求出求出点N坐标，根据，求出点M坐标，将M坐标代入曲线方程即可求出离心率.
【详解】设双曲线C的焦距为2c，由可得点P在圆上，
联立方程，可解得点P的坐标为，
直线的方程为，令，可得点N的坐标为，
直线的方程为，令，
解得，可得点M的坐标为，
将点M的坐标代入双曲线C的方程有，有，
化解得，解得．
故选:D．
12．B
【分析】令，分别讨论和时零点的情况：时直接解方程；时利用数形结合研究零点的情况.
【详解】令，则有或.
当时，由得：，至多有一个根.
当时，由得：.
令，则.
令，解得：；令，解得：；
所以在上单减，在上单增.
所以的最小值为e，无最大值.
所以函数在定义域R上有三个零点，只需时，有一个根； 时，有两个根.
要使有两根，只需.
所以只需满足，解得： .
故选：B
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
13．
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出参数作答.
【详解】由求导得：，而直线的斜率为，
依题意，，解得，
所以.
故答案为：
14．
【解析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．
【详解】解：设的内切圆与相切于D，E，F，
设，
则，
由椭圆的定义，可得，，
即有，
即有：，即，
再由，
故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题．
15．
【解析】本题首先可根据正弦函数的性质得出，然后根据当最大时最小即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因此要使成立的最小，
须取、、、、、、、，即，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，能否结合正弦函数性质得出是解决本题的关键，考查转化与化归思想，考查学生分析问题和讨论问题的能力，是中档题.
16．
【分析】在上存在极值,即在上存在变号零点,构造新函数,求导求单调性,判断函数性质后使函数的最小值小于零即可.
【详解】解:由题知在上存在极值,
即在上存在变号零点,
所以,
设函数,
即在上存在变号零点,
则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
因为时,,
故只需即可,
即.
故答案为:.
【点睛】思路点睛:此题考查函数与导数综合问题,属于难题,关于函数极值点的存在问题的思路有:
(1)对原函数进行求导;
(2)令导函数为新的函数,使新的函数有变号零点;
(3)对新函数求导求单调性,判断函数性质,建立不等式,计算结果.
17．(1)平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元
(2)预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆
【分析】（1）根据已知条件，结合平均数和中位数的公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，再将代入上式的线性回归方程中，即可求解.
【详解】（1）因为直方图的组距为1，则各组频率即为
相应小矩形的高，所以平均数的估计值为：
万元.
因为，
所以中位数在区间内，设中位数为，
则有，解得，
所以中位数的估计值为3.33万元.
（2）记，
，
由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系，
因为，，
则有：，
，
所以，
，
所以回归直线方程为，
当时，，
所以预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为2万辆.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过面面平行的性质来证得平面.
（2）结合锥体体积公式求得正确答案.
【详解】（1）连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，
连接BF，OE，BD1，则．
∵平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴平面ACE．
∵，ED1＝CF，
∴四边形D1ECF为平行四边形，
∴．
又∵平面ACE，EC⊂平面ACE，
∴平面ACE．
∵，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，
∴平面平面ACE，
∵BG⊂平面BD1F，∴平面ACE．
（2）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，
则AC边上的高为1，，
∴．
又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列出公差与公比的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）由（1）中的结论得到数列的前n项和，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，
因为，
则，
所以，且，则，
所以，；
（2）由（1）知，，则，且，
所以，即，所以的最小值为.
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解；
（2）设直线l的方程为，联立椭圆C的方程得到韦达定理，设线段AB的中点为，求出它的坐标，求出、点M，N到直线l的距离，再化简求出即得解.
【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为，则，即，
又，则，
因为点在椭圆上，
所以，即，解得，
则，，所以椭圆C的标准方程为．
（2）由（1）知，因为直线l的斜率不为0，所以可设直线l的方程为，
代入椭圆C的方程，消去x化简得，
设，，则，．
设线段AB的中点为，则，，即，则直线m的方程为，
代入椭圆C的方程可得，不妨设，．
，
点M，N到直线l的距离分别为，，
则四边形AMBN的面积为．
因为点M，N在直线l的两侧，所以，
因为，所以．
因此，四边形AMBN的面积的取值范围为．
21．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）分离参数，转化为在上恒成立，求出函数的最大值即可得到结果；
（2）根据题意转化为，然后求得的最小值即可证明.
【详解】（1）由，可得，
因为在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，即在上单调递减，
所以，
由在上恒成立，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为函数，，令，则，
即时，，则单调递增；
即时，，则单调递减；
所以，即（当且仅当取等号），
因为函数，，
则，令，则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
所以，即（当且仅当取等号），
因为，且（当且仅当取等号） ，（当且仅当取等号），所以（两个等号不同时成立这里反为大于号），
令，即证，
因额为，令，可得，所以，
当时，，则函数单调递减；
当时，，则函数单调递增；
所以，所以，
即当时，．
22．(1)曲线：，直线：
(2)
【分析】（1）平方相减，消掉参数，即可将曲线C的参数方程化为普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标与直角坐标互化公式即可求出直线的直角坐标方程；
（2）根据第一问，求出直线的倾斜角，写出直线的参数方程，将其与曲线的方程联立，利用的几何意义，即可求出的值．
【详解】（1）解：曲线的参数方程为（为参数），
由，，故，即，
又直线：，所以，
即，即，
又，所以，即，
所以曲线：，直线：.
（2）解：由，所以，，
故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，
所以，
故.
23．(1)
(2)证明过程见详解
【分析】（1）对进行分类讨论，再结合图象求解绝对值不等式即可；
（2）由（1）可知，可得，再利用基本不等式证明即可．
【详解】（1）由题意知，
令，得或，
结合图象可知的解集为．
（2）由题意可知，，，
，则令，，则，
，
当且仅当，即，时等号成立．
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
40
60
注射疫苗
30
10
40
总计
50
50
100