安徽省2023届高三下学期第一次模拟数学试卷（含解析）

安徽省2023届高三下学期第一次模拟数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C．2 D．5

3．下列说法：①若线性回归方程为，则当变量增加一个单位时，一定增加3个单位；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不会改变；③线性回归直线方程必过点；④抽签法属于简单随机抽样；其中错误的说法是（    ）

A．①③ B．②③④ C．① D．①②④

4．已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是

A．-  B． C． D．

7．在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

8．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（    ）

A．4 B．12 C．16 D．20

二、多选题

9．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

10．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）

A．异面直线与所成角的余弦值为

B．点为正方形内一点，当平面时，的最小值为

C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为

D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为

11．已知是自然对数的底数，函数则（   ） （参考数据：，，）

A．函数的图象在处的切线方程为

B．的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若整数满足，则所有满足条件的的和为21

12．某省年美术联考约有名学生参加，现从考试的科目素描满分分中随机抽取了名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成组：，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（    ）

A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于分

B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于分的考生约为人

C．若样本中分数小于的考生有人，则可估计总体中分数在区间内约人

D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为分

三、填空题

13．函数的最大值为_________．

14．和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.

15．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一个球，摸出红球或黄球的概率为0.6，摸出黄球或蓝球的概率为0.7，若从中依次有放回地摸出两个球，摸到每个球是相互独立的，则这两个球均为黄球的概率为___________.

16．若，则的值为________

四、解答题

17．已知，是第四象限角．

(1)求的值；

(2)求的值．

18．已知数列满足．

(1)判断数列是否为等比数列；

(2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和．

19．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图：

(1)求直方图中的的值

(2)估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．

(3)从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？

20．如图所示的多面体中，且，D为AB中点，平面ABC，且.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；

(3)求点B到平面的距离.

21．已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．

(1)若是短轴，求点C坐标；

(2)是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知函数，且．

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】由题意可得，，再根据交集的定义求解即可.

【详解】解:  依题意，，

，

故．

故选：B.

2．B

【分析】由题意，根据复数的除法运算，求得，再由复数模的运算，即可求解.

【详解】由题意，复数满足，

则.

故选：B.

3．C

【分析】根据线性回归方程与方差的求法，随机抽样的知识，对选项中的命题判断正误即可．

【详解】解：对于①，回归方程中，变量增加1个单位时，平均增加3个单位，不是一定增加，①错误；

对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，②正确；

对于③，线性回归方程必经过样本中心点，③正确；

对于④，抽签法属于简单随机抽样；④正确．

综上，错误的命题是①．

故选：．

【点睛】本题考查了线性回归方程与的应用问题，是基础题．

4．B

【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决.

【详解】由题知，，

所以，

设与夹角为，

所以在上的投影向量是，

故选：.

5．C

【分析】利用指数函数的单调性及中间值即可比较大小.

【详解】因为为增函数，，

所以，

又为减函数，，

所以，

所以，

故选：C

6．D

【分析】分别求出法向量的模长，然后用向量的夹角公式求得余弦值，得出平面的夹角余弦值.

【详解】由题

所以

故平面与夹角的余弦是

故选D

【点睛】本题主要考查了利用空间向量解决平面的二面角的问题，属于基础题.

7．D

【分析】作出图形，，所以O为的重心，连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，则四边形ABFC为平行四边形，在中用余弦定理解得AE，在中用面积公式求得面积，再乘以2可得．

【详解】

如图所示，

∵，所以O为的重心，

连AO并延长交BC与E，则E为BC的中点，延长AE至F，使，连BF，CF，

则四边形ABFC为平行四边形，

，，

，

即，又因为，所以，

∴，，

设，则，

在中由余弦定理得，

即，解得，即.

又，

∴.

故选：D.

【点睛】本题考查解三角形的应用，考查三角形中的几何计算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

8．C

【分析】利用给定条件，构造等比数列并借助等比数列前n项和求解作答.

【详解】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：

，得，

显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，

所以需要的天数至少为16.

故选：C

9．AC

【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．

【详解】解：对于A，是奇函数，由正弦函数的图象可知在上单调递增，符合题意；

对于B，是非奇非偶函数，不符合题意；

对于C，，，故为奇函数，且在上单调递增，符合题意；

对于D，，

所以，故函数偶函数，不符合题意．

故选：AC．

10．BCD

【分析】对于选项A：根据正方体的性质得出在中即为异面直线与所成的角，即可计算得出答案判定；

对于选项B：取的中点的中点，连接，，，得到，，即可证明面面，则根据已知得出轨迹为线段，则过作，此时取得最小值，计算得出即可判定；

对于选项C：过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，得出，，设，，以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，，的坐标，则可根据，列式得出，，即可得出，，在中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五边形的周长，即过点的平面截正方体所得的截面周长，即可判定；

对于选项D：取的中点，则，过作，

且使得，则为三棱锥的外接球的球心，则为外接球的半径，计算得出半径即可求出球的表面积，即可判定.

【详解】对于A选项，，

在中即为异面直线与所成的角，

，

异面直线与所成的角的余弦值为．故A错误；

对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，，

，

同理可得，

又面，面，面，面，

面，面，

又，面，

面面，

又面，面，

轨迹为线段，

在中，过作，此时取得最小值，

在中，，，，

在中，，，，

在中，，，，

如图，在中，．故B项正确；

对于C选项，过点的平面截正方体，

平面平面，则过点的平面必与与交于两点，

设过点的平面必与与分别交于、，

过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，

如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，

如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，

设，，

则，，，，，

，，，，

，，

，解得，

，，

，，

在中，，，，同理：，

在中，，，，同理：

在中，，，

，

即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故C正确；

对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作，

且使得，则为三棱锥的外接球的球心，

所以为外接球的半径，

在中，，

．故D项正确，

故选：BCD．

11．AD

【分析】利用导数的几何意义判断A，求出函数的单调区间，即可得到函数图象，数形结合即可判断B、C、D.

【详解】解：因为，

当时，则，又，

所以，所以函数的图象在处的切线方程为即，故A正确；

当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；

又当时，则，所以，故B错误；

又，，，

且当时，则，

当时，则，所以，则，

又，令，，则，即在上单调递减，

又，所以恒成立，

即，即在上单调递增，

又，，又，

所以，

所以的图象如下所示：

则满足不等式的整数有、、、、、、、、、、、、，

所以满足不等式的所有整数和为，故D正确；

故选：AD

12．AD

【分析】由样本和总体的关系判断选项A；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC；利用频率分布直方图中位数的算法计算中位数判断选项D.

【详解】由题意可知，在个样本中，该项科目分数是均不高于分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余名考生中，该项科目分数中可能有高于分的，故选项A不正确；

在样本中，分数不低于分的频率为，

则样本中分数小于分的频率为，

若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于分的考生约为人，故选项B正确；

在样本中，成绩低于分的频率为，

当分数小于的考生有人时，其频率为，则分数在区间内的频率为，

用样本估计总体，则全省考生中分数在区间内约人，故选项C正确；

用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间内，且等于分，故选项D不正确．

故选：AD．

13．－1

【分析】函数解析式变形后，利用基本不等式求最值即可.

【详解】，

当时，，，则，当且仅当时等号成立，

故函数的最大值为－1．

故答案为：－1．

14．30

【解析】设塔高，先求出，，再在中，由余弦定理可得答案．

【详解】设塔高，在中，由已知可得，

在中，由已知，

在中，由余弦定理可得，

即，

解得（负值舍去）．

故答案为：30

15．0.09

【分析】计算出摸出一个球为黄球的概率，然后根据独立事件的概率计算即可.

【详解】根据条件知从中摸出一个球，该球为黄球的概率为，

从中依次摸出两个球，则这两个球均为黄球的概率为.

故答案为：0.09

16．

【详解】令，得，令，得，则

.

点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或.

17．(1)

(2)

【分析】（1）先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系弦化切，代入求解即可；

（2）根据已知条件分析的范围，再利用同角三角函数的基本关系化简，并且弦化切，最后代入求解即可；

【详解】（1）∵，∴原式．

（2）∵，是第四象限角，∴，，∴

∴原式．

18．(1)见解析

(2)

【分析】（1）对递推式变形，再讨论首项即可

（2）分别求出，的通项，再错位相减和分组求和即可

【详解】（1）由题知

若,则,此时不是等比数列

若,则是首项为,公比为3的等比数列

（2）因为,所以,即

当

当,也满足,所以

所以

数列的前项和为

数列的前项和

所以

所以

所以数列的前项和

19．(1)

(2)众数、中位数、第80百分位数分别为230、224、253.33

(3)5

【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；

（2）由直方图中最高矩形底边的中点得众数，在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等、第80百分位数左边面积占总面积的，据此可得答案；

（3）利用频率估计月平均用电量为的居民在四组中所占比例，即可得答案.

【详解】（1）因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1，

则，

得.

（2）月平均用电量的众数是＝230.

因前3个矩形面积之和为.

前4个矩形面积之和为.

则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224.

因为前4个矩形面积之和为，前5个矩形面积之和为，则第80百分位数在[240，260)内，

设第80百分位数为，则，解得，即第80百分位数约为253.33.

（3）月平均用电量为的居民对应的频率为：.

又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：.

则应抽取居民的户数为：.

20．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由已知可得CD⊥平面，进而有，又，可得，从而根据线面垂直的判断定理即可证明；

（2）设平面平面，由线面平行的性质定理可得lBC，进而可得⊥平面，从而有即为平面与平面ABC所成的锐二面角的平面角，解三角形即可得答案；

（3）由，利用等体积法即可求解.

【详解】（1）证明：且，D为AB中点， CD⊥AB，，

∵平面ABC，平面ABC，∴，

∵，∴四点共面，

又，平面，

∴CD⊥平面，

∵平面，

∴，

又∵，

∴且，平面，

∴AB⊥平面；

（2）解：∵，平面，平面，∴BC平面；

∵平面ABC，设平面平面，则lBC，

由题意，∵，可得BC⊥平面，∴⊥平面，

∴即为平面与平面ABC所成的锐二面角的平面角，

∵，

∴平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为；

（3）解：由题意，设B到平面的距离为d，

∵，

∴，即，

∴，即点B到平面的距离为.

21．(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）两点式写出直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C坐标；

（2）设有，联立椭圆求C坐标，同理求坐标，讨论、，判断直线恒过定点即可.

（1）

由题设，，而，故直线为，

联立并整理得：，故，而，

所以，代入直线可得，故C坐标为.

（2）

设，则，

由，故，

由韦达定理有，

所以，故，同理得：，，

当时，取，则，同理，

故共线，此时过定点.

当时，，此时过定点.

综上，过定点.

22．(1)

(2)

【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；

（2）利用导数可求得函数的单调性，结合区间端点值和极值可求得在区间上取值情况，进而求出实数的取值范围．

【详解】（1）∵，∴，解得：，

∴，则，

∴在点处的切线方程为：，

即．

（2）由（1）知：，则，

∴当时，；

当时，；

∴在，上单调递增，在上单调递减，

又，，，，

∴，，

由，有，即函数与的图像有三个交点，

则有实数m的取值范围为．