安徽省安庆市2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学试卷（含解析）

安徽省安庆市2022-2023学年高三下学期第一次模拟

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：_____________

一、单选题

1．符合的集合的个数为（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ）

A．4 B． C．8 D．

3．若的展开式中的系数为，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数的图象在点处的切线为，若也为函数的图象的切线，则必须满足（    ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　

A．1 B． C．2 D．

8．定义运算 ，则函数的图像是（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：

根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（    ）A．              B．回归直线过点

C．当时，y的估计值为12.8 D．点处的随机误差为0.4

10．已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

11．如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点为棱上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与直线所成角的范围是

B．在棱上存在一点，使平面

C．若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面面积为

D．若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为

12．将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ）

A．直线一定过点

B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为

C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直

D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等

三、填空题

13．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________．

14．设集合且，则点在圆内部的概率为__________.

15．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．

16．（1）“”是“直线与直线垂直”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）；

（2）抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为__________.

（3）双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则__________.

（4）数，集合，则由的元素构成的图形的面积是__________.

四、解答题

17．在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.

(1)求的顶点的轨迹方程；

(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.

(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18．设等差数列的前项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)求证：．

19．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，某校团委积极开展党史培训和知识比赛活动，参加培训的“百人团”由一百多名来自初一、初二、初三的学生组成，人数按照年级分组统计如下表：

(1)用分层抽样的方法从培训的“百人团”中抽取6人参加知识问答比赛，求从这三个不同年级组中分别抽取的参赛人数；

(2)在（1）中抽出的6人中，任选2人组成一个党史宣讲小组，求这2人来自同一年级组的概率．

20．如图，矩形ABCD中，，，M为边CD的中点，将沿直线AM翻折成，且，点P为线段BE的中点．

(1)求证：平面AME；

(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值．

21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．

22．已知函数.

(1)求的单调性；

(2)证明：.

参考答案：

1．A

【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.

【详解】由，设，，故有个.

故选：A.

2．D

【分析】利用代入法，结合复数模的计算公式进行求解即可.

另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，

所以，

解得，所以；

另解：因为复数是关于x的方程的一个根，

所以复数也是关于x的方程的一个根，

所以有

解得，所以.

故选：D

3．B

【分析】求出的展开式的通项，得到项的系数，即可解得.

【详解】因为的展开式的通项为：，

当时，，由题意得，解得，

故选：B.

4．C

【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可

【详解】设，则，

因为，所以，

所以，

所以，化简得，

所以，所以，即的余弦值为.

故选：C.

5．B

【解析】方程有三个解转化直线与函数有三个交点，作出函数的图象，作出直线，可知，只要求得直线与函数的图象相切的什值，即可得结论．

【详解】转为直线与函数有三个交点.

显然当时，有一个交点：当时，只需与有两个交点即可.

由，得，与相切时，切点坐标为，

此时.

由图象可知，当时，关于的方程有三个不等的实数根．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是转化为直线与函数图象交点个数，进而转化为研究函数的性质，本题是用导数求出函数的切线方程方程．然后结合图象可得结论．

6．D

【分析】根据题意求得公切线的两种表现形式为与，且，进而得到，构造函数，利用导数及零点存在定理求得其零点的所在区间，从而得到的范围.

【详解】因为函数的导数为，

所以在点处的切线的斜率为，

故切线方程为，

设切线与相切的切点为，，

又的导数为，则在点处的切线的斜率为，

故，切线方程为，

由，，得，，

令，可得，，即，

所以，即，

令，则，

所以在上单调递增，

又因为，，

所以在上存在唯一零点，即，即，

所以的根．

故选：D．

【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：

（1）已知切点求切线方程；

（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；

（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．

7．C

【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，

所以，

，

联立、可得：，，，

该双曲线的虚轴长2，故选C．

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

8．A

【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.

【详解】解：因为运算，

所以，，

所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意.

故选：A

9．ABC

【分析】先算出样本中心点，进而求出，即可判断A,B；然后将代入回归直线方程可以判断C；最后将代入回归方程算出，进而算出随机误差判断D.

【详解】由题意可知，，故回归直线过点（10,8），且，故A，B正确．当时，，故C正确．点（10.5,6）处的随机误差为，故D不正确．

故选：ABC．

10．AB

【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.

【详解】对于A，，若，

可取

则，在上单减，故A正确.

对于B，，若，

，

此时可以取，使得函数在单减，故B正确.

对于C，，若，

即，

，故C错误.

对于D，，若，，

，故D错误.

故选：AB.

11．AC

【分析】由异面直线夹角求法可判断A；利用反证法结合线面垂直的判定及性质可判断B；利用线线平行得到平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，即可求得面积判断C；由面积公式知不变，利用等体积知可求得体积的最大值可判断D.

【详解】对于A，由直三棱柱，，为直线与直线所成角，

当与重合时，直线与直线所成角为0，当与重合时，直线与直线所成角为，所以直线与直线所成角的范围是，故A正确；

对于B，假设平面，又平面，，设中点为，

则，则平面，所以在平面上的射影为，

由三垂线定理得，又因为为正方形，所以点为中点，与点为棱上一点矛盾，故B错误.

对于C，取中点，连结，，则平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，，，

在直角中，，所以梯形的高为，梯形的面积为，故C正确.

对于D，因为，且，

所以当与重合时，三棱锥的体积最大，取中点，

则平面，得，故D错误.

故选：AC

【点睛】思路点睛：本题考查求异面直线成角，立体几何截面问题，体积运算，

（1）求异面直线所成角的常用方法是平移线段法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决；

（2）截面问题：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

12．BCD

【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.

【详解】由题意知，

，

两式相减，得，

A：由，得，

则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；

B：，故B正确；

C：因为，故C正确；

D：，，

则圆心到直线的距离为，

圆心到直线的距离为，

又，得，即直线与圆相离，

，得，即直线与圆相离，

所以过直线上任一点可作两圆的切线.

在直线上任取一点，

设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，

则

，

，

所以，即，故D正确.

故选：BCD.

13．

【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.

【详解】由､均为单位向量，，

得：，即，

所以，所以，

又，所以与的夹角为.

故答案为：

14．

【分析】先求出点的满足题意的所有情况，再求出点在圆内部的点的个数，由古典概率的公式代入即可得出答案.

【详解】由集合且，则点有如下情况：

共9个点.

满足在圆内部的点有：共4个点.

所以点在圆内部的概率为.

故答案为:.

15．

【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用

【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.

考点：含绝对值的不等式的解法.

【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.

16．     充分不必要     ##         

【分析】（1）由两直线垂直求出实数的值，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论；

（2）利用抛物线的定义可求得点的纵坐标；

（3）分析可知双曲线为等轴双曲线，根据正方形的边长可求得的值；

（4）分析集合表示的图形，以及所表示的图形，作出图形，即可求得所表示图形的面积.

【详解】（1）直线和垂直，

，解得或，

“”是“直线和直线垂直的充分不必要条件；

（2）由可得，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，

设，由抛物线的定义可得，所以；

（3）双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线

渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，即，

正方形的边长为，，即，

则，即，则；

（4）由得，即，

所以集合是半径为的圆及其内部，

由得，即，

及或，

作出的元素构成图形为如图所示的阴影部分，对应面积为圆面积的，即.

故答案为：（1）充分不必要；（2）；（3）；（4）.

17．(1)

(2)

(3)存在；理由见解析

【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；

（2）设，过点的直线方程为，代入双曲线方程，得，再由根的判别式和韦达定理即可求出的取值范围；

（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.

【详解】（1）设，由知，

是的重心，.

且向量与共线，在边的中垂线上，

，

又，

化简得，

即所求的轨迹方程是.

（2）设，过点的直线方程为，

代入得，

，

且，解得.

，则或，

，

则的取值范围是.

（3）设，则，即.

当轴时，，

即，故猜想.

当不垂直轴时，，

.

又与同在内，

.

故存在，使恒成立.

【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；

（2）设标准方程，求方程中的基本量

（3）求轨迹方程

相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；

（2）寻求关系式，，；

（3）将，代入已知曲线方程；

（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程

18．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列与通项基本运算，解得，，；

（2）求出通项，运用裂项相消法求和证明.

【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，

所以解得，，

所以．

（2）

．

又，所以，所以，

即．

得证.

19．(1)从这三个不同年组中抽取的参赛人数分别为1，3，2；

(2).

【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质求从各年级抽出的样本数；

（2）由（1）所得样本，应用组合数求任选2人方法数及2人来自同一年级的方法数，再由古典概型的概率求法求概率.

【详解】（1）样本容量与总体个数的比是，

样本中包含3个年级组的人数分别是：

初一年级的人数为，

初二年级的人数为，

初三年级的人数为，

所以，从这三个不同年组中抽取的参赛人数分别为1，3，2人.

（2）由（1）知，从这三个不同年龄组中，抽取的参赛人数分别为1，3，2，

设“从6人中任选2人组成宣讲小组”，则，

设“这2人来自同一年级组”，则，

∴这4人来自同一年级组的概率．

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AE的中点Q，连接QM，QP构造平行四边形可证；

（2）取AM的中点O，先证EO垂直于底面，根据（1）将问题转化为求角，然后结合已知可得.

【详解】（1）证明：取AE的中点Q，连接QM，QP，

因为P，Q均为中点，故且，

又因为，且，

所以，

所以四边形MCPQ为平行四边形，故，

又平面AME，平面AME

故平面AME；

（2）取AM的中点O，连接OE，OB，

因为AE=ME，所以且．

因为，

所以，所以

在Rt中，，

因为，故，

又∵，平面ABM，平面ABM

故平面ABM．

又

因此为直线PC与平面ABM所成角，

在Rt中，，

故．

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.

【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．

所以．

又，所以，解得．

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）设，，

由，得．

则，．

因为线段中点的横坐标为，

所以．

解得，即，经检验符合题意．

所以直线l的方程为．

22．(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域，求导，根据导数的符号即可求出函数的单调区间；

（2）令，利用导数易求出函数的最小值，则有，再利用作差法证明即可.

（1）

解：定义域为，

，

当或时，，当 时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）

证明：令，

当时，，当 时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以的最小值为，

故当时，， 即，

当时，，

因为，

所以，

所以，

所以.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，关键在于构造合适的函数.