安徽省2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试卷（含解析）

安徽省2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合A={x|y=}，B={x|y=ln|x-1|}，则A∩B=（    ）

A．{x|x≥0} B．{x|x>1}

C．{x|0≤x<1或x>1} D．{x|0≤x<1}

2．已知为虚数单位，若，则（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

4．已知双曲线（a>0，b>0）的左顶点为A，点B，直线AB与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，若线段PQ的垂直平分线经过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，，，，则b的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知是直线上一点，是圆的一条切线，是切点，若长度的最小值为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

7．从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有2名女医生参加的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数是定义在上的偶函数，并且对任意，都有，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．的图象关于轴对称 B．的值域是

C．在上单调递增 D．在上的所有零点之和为

10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=x-2与抛物线C交于A，B两点，则（    ）

A．抛物线C的准线方程为

B．点F到直线l的距离为

C．∠AOB

D．

11．以下四个命题表述正确的是（    ）

A．若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为

B．三棱锥中，分别为的中点，，则平面将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即

C．若直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为

D．在四面体中，若，则

12．已知函数，下列结论正确的有（    ）．

A．是奇函数 B．在上单调递增

C．无极大值 D．的最小值为

三、填空题

13．张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩（单位：分）分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为______.

14．的展开式中含项的系数为______（用数字作答）.

15．已知，则______

16．定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.已知数列是首项和公差均为1的等差数列.设m为正整数，若存在“数列”，对任意的正整数k，当时，都有成立，则m的最大值为___________.

四、解答题

17．已知数列满足．

(1)判断数列是否为等比数列；

(2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和．

18．研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：

参考数据：，．

(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值；

(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．

参考公式：，．

19．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．

(1)求证：；

(2)求与平面所成的角的正弦值．

20．由于年月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常．李克强总理在月日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意，已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，（为长度单位）．陈某准备过点修建一条长椅（点、分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息．

(1)求点到点的距离；

(2)为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值．

21．已知，是椭圆：的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且直线经过线段的中点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线经过的右焦点与交于，两点，且，求直线的方程．

22．已知函数.

(1)设是的最小零点，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，.

参考答案

1．C

【分析】化简集合A、B，根据集合交集定义即可求出答案.

【详解】由题意，，所以或.

故选: C

2．B

【分析】设，根据条件求出，然后可得答案.

【详解】设，因为

所以，所以

所以，，解得

所以

故选：B

3．C

【分析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值.

【详解】由题意设，

因为，所以，

所以

，

因为，

所以，解得，

所以，

因为，，，，

所以

,

故选：C.

4．B

【分析】先求出直线AB的方程，再联立双曲线的渐近线方程，从而得到点P，Q的坐标，进而可得到的垂直平分线方程，再将双曲线的右顶点的坐标代入即可得到a和b的关系，再结合a，b，c的基本关系即可求得e．

【详解】不妨设点在直线上，

由题可知，，，

由，得，，同理，

的中点为，则的垂直平分线方程为，

将代入整理得，则．

故选：B．

5．A

【分析】先根据，求出，再由正弦定理，求解即可.

【详解】在中，

由正弦定理可知

即.

故选：A.

6．D

【分析】由切线的性质可得，利用勾股定理可知当长度取最小值时，的长度取得最小值，即圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得正实数的值.

【详解】圆的标准方程为，该圆的圆心为，半径为，

由圆的切线的性质可知，由勾股定理可得，

因为，则，

即圆心到直线的距离为，所以，，，解得.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用切线长的最值求参数，解本题的关键在于利用切线长、圆的半径以及点到圆心的距离三者之间满足勾股定理得出的最小值，再结合点到直线的距离公式求解.

7．B

【分析】利用分类计数原理与组合求得总的基本事件与满足要求的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】由题意从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，

如果至少有2名女医生参加，则有种选法，

所以至少有2名女医生参加的概率为.

故选：B.

8．B

【分析】由题意可得，关于直线对称，，且在上单调递减，在上单调递增，根据以上信息即可得出不等式的解集.

【详解】函数是定义在上的偶函数，则，所以关于直线对称，，

对任意，都有，可得在上单调递减，则在上单调递增，

所以，由不等式得或，

即不等式的解集为.

故选：B.

9．ACD

【分析】根据奇偶性的定义可判断A，由导数和单调性的关系可判断B，由复合函数的单调性可判断C，由零点的定义可判断D.

【详解】因为，所以，

所以是偶函数，即的图象关于轴对称，则A正确．

因为

．

设，则，

故．由，得；

由，得或．

则在和上单调递减，

在上单调递增．因为，

，，

所以，即的值域是，则B错误．

当时，．因为在上单调递减，

且在上单调递减，所以在上单调递增，则C正确．

令，得或．

因为，所以，所以或或，

则在上的所有零点之和为，故D正确．

故选：ACD

10．AB

【分析】根据抛物线方程求得准线、焦点，结合点到直线的距离公式、向量垂直、弦长等知识求得正确答案.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，A选项正确.

直线，即，

到的距离为，B选项正确.

由解得或，

不妨设，

则，

所以，C选项错误.

，D选项错误.

故选：AB

11．BD

【分析】根据倾斜角的定义即可判断A；由题意可得，点到平面的距离是点到平面的距离的，再根据棱锥的体积公式计算即可判断B；分直线l过原点和不过原点两种情况讨论，即可判断C；将分别用表示，再根据数量积的运算律及空间向量的线性运算即可判断D.

【详解】解：对于A，若直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为，故A错误；

对于B，因为分别为的中点，所以，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，

因为，所以，

则，，

则，

所以，故B正确；

对于C，当直线l过原点时，直线方程为，

当直线l不过原点时，设直线方程为，

则有，解得，

所以直线方程为，即，

综上，所求直线方程为或；

对于D，在四面体中，，

因为，

所以，

即，

所以，

即，所以，

所以，故D正确.

故选：BD.

12．BC

【分析】对于A，判断是否互为相反数即可;对于B，根据导函数在这个区间的正负即可;对于C，根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D，根据函数的单调性可知，在处，取最小值，代入即可.

【详解】对于A，

，

A错误；

对于B，，

当时，，

且为增函数，所以在上，单调递减；

在上，单调递增；

且，故B正确；

对于C，由单调区间可知， 无极大值，C正确；

对于D，由单调区间可知，，故D错误；

故选：BC.

13．91

【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.

【详解】解：先将这8次成绩从小到大排列为76，78，82，85，86，88，94，95，

因为，

所以75%分位数为.

故答案为：

14．20

【分析】将看成一个整体，利用5次方的二项式公式展开，然后分别考察各项进一步展开后的情况，寻找到各项展开后含有的系数，进而求和即得.

【详解】=

只有第一项和第三项的展开式中含有,系数分别是,,

故答案为：20.

【点睛】利用二项式定理研究三项式的展开式中特定项的系数问题时，有两种思路：

一是利用通分，分解因式转化成两个二项式的乘积的问题;二是将三项式中的某两项组合成一个整体，利用二项式定理展开后，再考虑各项的进一步展开式.

15．##

【分析】利用二倍角公式、两角和的余弦公式结合弦化切可求得所求事件的概率.

【详解】

.

故答案为：.

16．5

【分析】求出数列 的通项公式；构造函数，利用导数讨论函数的单调性，找到零点，进而找到最大值.

【详解】由题意知， ， , ，

恒成立，

当 时，

当 时，，

当 时，两边取对数可得，对有解，

即

令，则

当 时，，此时， 单调递减，

所以，当 时，

令，则

令，则

当 时，即，

所以， 在 上单调递减，

即当 时，，则，

化简，得

令，则，

由得，则，

所以， 在 上单调递减，

又因为，

所以，存在 ，使得

所以整数m的最大值为5，此时， .

故答案为：5

17．(1)见解析

(2)

【分析】（1）对递推式变形，再讨论首项即可

（2）分别求出，的通项，再错位相减和分组求和即可

【详解】（1）由题知

若,则,此时不是等比数列

若,则是首项为,公比为3的等比数列

（2）因为,所以,即

当

当,也满足,所以

所以

数列的前项和为

数列的前项和

所以

所以

所以数列的前项和

18．(1)

(2)33人

【分析】（1）根据题意由求解；

（2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可.

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴．

（2）∵，

∴，∴．

∵，

∴，

∴．

又∵，

解得．

∴，

∴，当时，，

∴可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作于，连接，由平面平面，得到平面，进而得到，然后求得，根据且为中点，利用三线合一证明；

（2）以为坐标原点，，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，求得是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，由求解.

【详解】（1）如图所示：作于，连接，

由平面平面，且平面平面，

平面，

得平面，平面，

所以，

因为，，，由勾股定理得，

所以，

所以，，

在中，由余弦定理得：，

所以，

在直角三角形中，由勾股定理可得，

又且为中点，

所以

（2）如图，以为坐标原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，，，

设是平面的一个法向量，

则，取，得

设与平面所成的角为，

所以.

所以与平面所成的角的正弦值为.

20．(1)

(2)当时，三角形区域面积取最小值

【分析】（1）连接、，计算出，利用余弦定理可求得的长；计算出，可得出，利用正弦定理可求得的长，再利用勾股定理可求得的长；

（2）利用三角形的面积公式可得出，利用基本不等式可求得的最小值，即可求得面积的最小值.

【详解】（1）解：连接、，在中，因为，，则，

由余弦定理可得：，所以，.

在中，由余弦定理可得，．

在中，，

由正弦定理可得，解得．

在直角中，，所以，.

（2）解：因为，

．

因为，所以，，

当且仅当时，等号成立，因此，．

21．(1)

(2)或

【分析】（1）由直线过中点得，再将点代入椭圆方程得到方程组，解出即可；

（2）首先排除斜率为0的情况，从而设：，联立椭圆得到韦达定理式，根据得到关于的等式，代入韦达定理式，解出即可.

【详解】（1）因为，，所以的中点为，

直线经过线段的中点，所以，

又因为点在椭圆上，故，

故可得，，

所以

（2）若直线的斜率为0时，可得，，易得，故不满足题意；

若直线的斜率不为0时，设：，

联立，

消去得，

，，

则，，

因为，

所以，即，

得，即

得，

得，

所以或

所以直线：或．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）得出函数的定义域，令求出零点，结合已知得出，即可求导根据曲线的切线的导数求法得出答案；

（2）根据与在上的正负结合条件可得，只需证明时，，令，根据导数得出其单调性，进而可得只需证，令，根据导数得出其单调性，即可证明在上成立，即在上成立，即可证明原命题.

【详解】（1）函数的定义域为，

令，得，或，

是的最小零点，

，为，

，则

曲线在点处的切线方程为.

（2）在上为负，在上为正，在上为正，在上为负，

又，

当时，，当是，，当时，，

故只需证时，，

令，则，是反比例函数平移，易得在上单调递增，

且，故当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，，

当时，，即，

，

要证，只需证，

令，则，

令，

则，

当时，，则在时，，

即在上单调递减，

，

在上单调递减，

，故在上恒成立，

综上可得原命题成立.