专题09 空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

（一）平面

平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．

平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．

平面的表示方法

(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角

画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．

(2)两个相交平面：  

画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）

运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言

空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

（二）平面的基本性质

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

推理模式：．  如图示：或者：∵，∴

公理1的作用：①判定直线是否在平面内；

②判定点是否在平面内；

③检验面是否是平面．

公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

推理模式：如图示：       

 或者：∵，∴

公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置；

②判断点是否在线上

今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．

公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

推理模式：与重合

或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．

(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．

（三）空间两直线的位置关系

（四）平行直线

公理4：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：．

(1)它是判断空间两条直线平行的依据；  

 (2)它说明平行关系具有传递性

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．

（五）异面直线

定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；

(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线

(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．

异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

   推理模式：直线与直线是异面直线

（六）异面直线所成的角

定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．

(1)异面直线所成的角与点的位置无关．

(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．

(3)异面直线所成角的范围是．

求异面直线所成角的步骤：

（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；

（2）证平行关系成立；

（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；

（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．

（七）直线、平面的位置关系

空间直线与平面的位置关系有以下三种：

(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.

(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．

(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.

两个平面的位置关系有且只有一下两种：

(1)两个平面平行---没有交点

(2)两个平面相交---有一条公共直线

空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．

考点1 点、线、面之间位置关系的表示

【例1】．按下列叙述画出图形（不必写出画法）：α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，α∩m＝N，M∈m，b∥m．

变式训练

【变1-1】．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示，正确的是（　　）

A．A∈l，l∈α B．A∈l，l∉α C．A⊂l，l⊂α D．A∈l，l⊂α

【变1-2】．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

考点2 点、线共面问题

【例2】．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（　　）

A． B． 

C． D．

变式训练

【变2-1】．下列叙述中错误的是（　　）

A．若点P∈α，P∈β且α∩β＝l，则P∈l 

B．三点A，B，C能确定一个平面 

C．若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面 

D．若点A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α

【变2-2】．下列结论中不正确的是（　　）

A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 

B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 

C．若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上 

D．任意两条直线不能确定一个平面

考点3 证明点共线、线共点问题

【例3】．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，对角线A1C与平面BDC1交于点O．AC、BD交于点M、E为AB的中点，F为AA1的中点，

求证：（1）C1、O、M三点共线

（2）E、C、D1、F四点共面

（3）CE、D1F、DA三线共点．

变式训练

【变3-1】．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（　　）

A．M一定在直线AC上 

B．M一定在直线BD上 

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 

D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

【变3-2】．已知三个不重合的平面α，β，γ，三条不同的直线a，b，c，若α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，且a和b不平行．求证：a，b，c三条直线必过同一点．

考点4 空间中直线与直线的位置关系

【例4】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为 　     　．

变式训练

【变4-1】．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变4-2】．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则直线m，n（　　）

A．平行或相交 B．相交或异面 

C．平行或异面 D．平行、相交或异面

考点5 空间中直线与平面的位置关系

【例5】．下列命题中正确的是　   　（填序号）．

①若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

②若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条一定与该平面相交；

③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．

变式训练

【变5-1】．设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面所在的平面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为（　　）

A．{2，4} B．{2，6} C．{4，6} D．{2，4，6}

【变5-2】．给出下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；

②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；

③若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线；

④若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α．

其中说法正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．310．

考点6 空间平面与平面的位置关系

【例6】．在底面为正六边形的六棱柱中，若两个互相平行的面视为一组，则共有　4　组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有　    　个．

变式训练

【变6-1】．如果三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系可以是 　   　.（填序号）

①三个平面两两平行；

②三个平面两两相交，且交于同一条直线；

③三个平面两两相交，且有三条交线；

④两个平面平行，且都与第三个平面相交．

【变6-2】．平面 α∥平面 β，直线 a⊆α，下列四个说法中，正确的个数是

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内的无数条直线平行；

③a与β内的任何一条直线都不垂直；

④a与β无公共点．（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

1．已知不重合的直线l，m，n和不重合的平面α，β，下列说法中正确的是（　　）

A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β 

B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 

C．若α⊥β，l⊥β，则l∥α 

D．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∥n，则m∥l

2．一封闭的正方体容器ABCD﹣A1B1C1D1，P，Q，R分别为AD，BB1，A1B1的中点，如图所示．由于某种原因，在P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水最多时，容器中水的上表面的形状是（　　）边形

A．3 B．4 C．5 D．6

3．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线   B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线   D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

4．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　）

A．点P B．点B C．点R D．点Q

5．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（　　）

A．平行 

B．相交 

C．是异面直线 

D．可能相交，也可能是异面直线

6．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A、B，AB与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ与直线AB垂直的次数为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．平行四边形ABCD中，∠ABD＝55°，∠BAD＝85°，将△ABD绕BD旋转至与面BCD重合，

在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是（　　）

A．AB∥CD B．AB⊥CD C．AD⊥BC D．AC⊥BD

8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1B1上任一点，则AD1与CM位置关系是 　    　．

9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n．

②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β．

③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．

④若m∥α，n∥β，α∥β则m⊥n．

其中正确的命题序号是　    　．

10．在空间四边形ABCD中，E，H分别为AD，DC的中点，F，G分别为AB，BC上远离点B的三等分点，则直线FE与GH的位置关系是 　    　．

11．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；

③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β．

其中正确的命题序号是　   　．

12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为　③④　（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．

13．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的序号是　     　．

①C1，M，O三点共线；

②C1，M，O，C四点共面；

③C1，M，O，A四点共面；

④D1，D，O，M四点共面．

14．已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．

15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：

（1）D、B、F、E四点共面；

（2）若A1C∩平面DBFE＝R，则P、Q、R三点共线．

16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且＝＝．

（1）证明：E，F，G，H四点共面；

（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．