专题16 随机事件与概率-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

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体系搭建

一．随机事件
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
二．互斥事件与对立事件
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．

（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
三．古典概型及其概率计算公式
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
解题技巧
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
四.概率的基本性质
（1）概率的取值范围：[0，1]．
（2）必然事件的概率为1．
（3）不可能事件的概率为0．
（4）互斥事件的概率的加法公式：
如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）．
如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1．
注意事项：
①特别的，若事件B与事件A互为对立事件，则A∪B为必然事件，P（A∪B）=1．在由加法公式得到P（A）=1-P（B）
②若某事件发生当且仅当事情A发生或B发生，则称此事件为事件A与B的并事件，记作（A∪B）
③若某事件发生当且仅当事件A发生且B发生，则称此事件为事件A与B的交事件，记作（A∩B）
④若C∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件D与事件A互为对立事件，其含义是：事件F与事件E在任何一次实验中有且仅有一个发生．
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）=P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）


五、列举法计算基本事件数及事件发生的概率
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．


例题分析

考点1 样本点与样本空间
【例1】．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为：y．用（x，y）表示一个样本点．则满足条件“为整数”这一事件包含的样本点个数为 　　个．





Ø变式训练
【变1-1】．一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是（　　）
A．Ω＝{（男，女），（男，男），（女，女）}
B．Ω＝{（男，女），（女，男）}
C．Ω＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}
D．Ω＝{（男，男），（女，女）}


【变1-2】．已知集合A＝{﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个


考点2 事件类型的判断
【例2】．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（　　）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件


Ø变式训练
【变2-1】．下列事件是随机事件的有（　　）
A．若a、b、c都是实数，则a•（b•c）＝（a•b）•c
B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，出现反面
D．在标准大气压下，水的温度达到90℃时沸腾
【变2-2】．下列事件：
①在空间内取三个点，可以确定一个平面；
②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；
③某电影院某天的上座率会超过50%；
④函数y＝logax（0＜a＜1）在定义域内为增函数；
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．
其中，　 　是随机事件，　 　是必然事件．


考点3 事件关系的判断
【例3】．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球．设事件A＝“1个红球和2个白球”，事件B＝“2个红球和1个白球”，事件C＝“至少有1个红球”，事件D＝“既有红球又有白球”．则：
（1）事件D与事件A，B是什么关系？
（2）事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系？








Ø变式训练
【变3-1】．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（　　）
A．A⊆B
B．A＝B
C．A+B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【变3-2】．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3，那么A＝A1∪A2∪A3表示（　　）
A．全部击中 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中



考点4 互斥事件与对立事件
【例4】．某小组有2名男生，2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥但不对立的两个事件是（　　）
A．至少有一名男生与全是女生
B．至少一名男生与全是男生
C．至少有一名男生与至少一名女生
D．恰有一名男生与恰有两名女生



Ø变式训练
【变4-1】．2021年湖南省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A＝“他选择政治和地理”，事件B＝“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（　　）
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件
C．既不是对立事件，也不是互斥事件
D．无法判断



【变4-2】．下列各组事件中，是互斥事件但不是对立事件的是（　　）
A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数
D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次


考点5 古典概型的特征
【例5】．下列有关古典概型的说法中，错误的是（　　）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率


Ø变式训练
【变5-1】．判断下列试验是不是古典概型．
（1）在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽；
（2）口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
（3）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
（4）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数；
（5）某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲．





【变5-2】．下面是古典概型的是（　　）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．为求任意的一个正整数平方的个位数是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止


考点6 古典概型的概率计算
【例6】．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．













Ø变式训练
【变6-1】（多选）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（　　）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是


【变6-2】．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则logxy＝1的概率为（　　）
A． B． C． D．


考点7 概率的基本性质
【例7】．围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机抽取2粒，都是黑子的概率是，都是白子的概率是，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率．


Ø变式训练
【变7-1】．在一次试验中，若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P（A）＝2﹣a，P（B）＝4a﹣5，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B． C． D．


【变7-2】．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．


【变7-3】．某射击队的队员为在射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如表所示：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次，
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；
（3）命中不足8环的概率．










1．欧几里得大约生活在公元前330～前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作．若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（　　）
A．A与C是互斥事件 B．B与C是互斥事件
C．A与D是对立事件 D．B与D是对立事件



3．掷一个骰子，事件A为“出现的点数为偶数”，事件B为“出现的点数少于6”，记事件A，B的对立事件为，，则＝（　　）
A． B． C． D．



4．连续掷一枚质地均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，则下列说法正确的是（　　）
A．事件“a＝b”的概率为0
B．事件“m＞12”为必然事件
C．事件“m＝2”与“m≠3”为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件



5．甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（　　）
A． B． C． D．



6．设A，B为两个随机事件，以下命题错误的为（　　）
A．若A，B是独立事件，P（A）＝，P（B）＝，则
B．若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝1
C．若A，B是互斥事件，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝
D．若，，且，则A，B是独立事件


7．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是（　　）

A． B． C． D．


8．澳大利亚的心理学家MichaelWhite设计出了一种被人称为“怀特错觉”的图片．这种图片只有三种颜色：黑、白、灰，但大多数人都会看到四种颜色．这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种．某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色（他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中），根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为（　　）

A．0.45 B．0.55 C．0.05 D．0.95
（多选）9．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（　　）
A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8
B．事件A，B间的关系为A⊆B
C．事件A∪B发生的概率为
D．事件A∩B发生的概率为


（多选）10．下列说法正确的是（　　）
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若A，B是互斥事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B），P（AB）＝0
C．某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取
50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取10人
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是


11．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于30次．其中随机事件的序号为 　 　．


12．某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为 　 　．


13．在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也．”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足a2+b2＝c2的正整数组（a，b，c）．现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是 　 　．


14．、分别是事件A、B的对立事件，如果A、B两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是 　 　．（填写所有成立的等式序号）
①P（A∪B）＝P（A）+P（B）
②
③
④


15．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日﹣12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分数据的频率分布直方图如图所示：
（1）根据频率分布直方图，求a的值；
（2）若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在[80，85）内的概率．




16．北京2022年冬奥会，向世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢键子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛．
（Ⅰ）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
（Ⅱ）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率．






17．垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统，为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；
（2）学校要求对不及格（60分以下）的同学进行补考，现按分层抽样的方法在[50，70）的同学抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有一人需要补考的概率．





18．高考英语考试分为两部分，一部分为听说考试，满分50分，一部分为英语笔试，满分100分．英语听说考试共进行两次，若两次都参加，则取两次考试的最高成绩作为听说考试的最终得分，如果第一次考试取得满分，就不再参加第二次考试．为备考英语听说考试，李明每周都进行英语听说模拟考试训练，如表是他在第一次听说考试前的20次英语听说模拟考试成绩．
假设：①模拟考试和高考难度相当；②高考的两次听说考试难度相当；③若李明在第一次考试未取得满分后能持续保持听说训练，到第二次考试时，听说考试取得满分的概率可以达到．
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（Ⅰ）设事件A为“李明第一次英语听说考试取得满分”，用频率估计事件A的概率；
（Ⅱ）基于题干中假设，估计李明英语高考听说成绩为满分的概率的最大值．