四川省高考数学复习 专题04 数列（文科）解答题30题专项提分计划

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四川省高考数学复习
专题4 数列（文科）解答题30题专项提分计划

1．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知公差大于0的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据基本量与等比中项的性质求解即可；
（2）根据等比数列的前项和公式求解即可.
（1）
设公差为，因为，，成等比数列，则，
即，，解得，（舍），
所以；
（2）
，，所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以．
2．（2022·四川雅安·统考一模）已知为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，的前n项和为，求成立的n的最大值.
【答案】(1)
(2)7

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；
（2）代入等比数列的前项和公式即可.
【详解】（1）设数列的公差为：，
，
，
.
，
即.
（2），，
，
数列为等比数列，所以
由，即，
化简得：，解得，，
所以，要使成立的n的最大值为：7.
3．（2022·四川广安·统考模拟预测）在等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求证．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）设等差数列的公差为d，再根据题意列基本量的关系式求解即可；
（2）代入可得，再根据裂项相消求和，结合的单调性证明即可
（1）
设等差数列的公差为d，则，，
∵，∴，解得，
∴．
（2）
∵，
∴
因为，所以，故，即得证
4．（2022·四川雅安·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】(1) 要证明数列是等比数列，需要把已知递推公式变形为等于非零常数，求出数列的通项，再利用累加法求的通项公式.
(2) 求出，不等式等价于恒成立，令，利用单调性求的最大值即可.
【详解】（1）由，得，则，
又，则，
所以，数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
则，则时，
．
当时，满足上式，所以，的通项公式为．
（2）由（1）可知，数列的首项为1，公比为2的等比数列，则，
由，即恒成立．
令，则，
则时，，即数列递增；
当时，，即数列递减，
则的最大值为，所以，实数的取值范围是．
5．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和Tn．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法和组合求和法求数列的前n项和Tn.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由，，
可得，即得，解得或（舍去），
故 ，所以的通项公式为；
（2）若，则，故，即，
即
所以
.
6．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）已知等差数列满足：
(1)求数列的通项公式;
(2)记，求数列的前项和 .
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用“基本量”法，即可求解.
（2）利用裂项相消,即可求和.
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
所以，
（2）解：，
所以数列的前项和

.
7．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知数列的前项和满足．
(1)求，并证明数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，证明见解析；
(2).

【分析】（1）由与的关系可得，从而可得，
可知是一个以2为首项，公比为2的等比数列；
（2）利用错位相减法即可求得的前项和.
【详解】（1）当时，，
，
当时，①，
②，
由②①得，
，
，
∴是一个以2为首项，公比为2的等比数列．
（2），,
①
②　
由①②，得
，
.
8．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知数列，满足，且．
(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前n项和．
【答案】(1) 或.
(2)

【分析】(1)由已知条件求出等比数列的公比和通项，得到数列为等比数列，可求出通项公式；
(2)由等差数列的通项利用累乘法求得数列的通项，再用裂项相消求的前n项和．
【详解】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或，
由 ， 或 ，
由，所以 ，又 ，
即数列是以1为首项， 为公比的等比数列
故 或.
（2）依题意得等差数列公差，则，
由，所以 ，
从而
，
.
9．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用与的关系求解即可；（2）先求出，然后利用错位相减法求出即可.
【详解】（1）由已知，，则时，，
两式相减，得，即，
所以，为公比为2的等比数列．
由，得，
则．
所以的通项公式．
（2）由已知，得，①
则时，，得﹔
时，，②
①–②得，，即，又符合该式，
所以．
所以，，
同乘以，得，
两式相减，得，
所以，
10．（2023·四川德阳·统考一模）已知等差数列的首项为1，公差d≠0，前n项和为，且为常数．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据条件知 ，据此求出d；
（2）运用错位相减法求和.
【详解】（1）由题意知：，即 ， ，
化简得： ， ；
经检验，成立.
（2）由（1）知： ， …①，
…② ，
①-②得：
，
；
综上，，.
11．（2022·四川遂宁·校考二模）设数列的前项和为，且满足，是公差不为的等差数列，，是与的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）令可得的值，当时，与已知条件两式相减可得，由等比数列的定义可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列的通项公式，设的公差为，将整理成关于的方程，解出的值，即可得到的通项公式；
（2）由（1）可得数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．
【详解】（1）解：在中，令得，，
当时，，
，即，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
设的公差为，由题意可得，即，
整理得，
解得或舍去，
．
（2）解：由题意可得，



．
12．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，若，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）因为，故，
故即.
而，故，故，
故，且，故，
所以为等比数列，且首项为2，公比为2，从而.
（2）,
故，
故，
所以，
所以.
13．（2022·四川·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；
(2)由(1)可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.
（1）
当时，，
当时，①
②
由①-②得，即.
当时也成立，所以数列的通项公式为
（2）
因为，
所以，
所以.
14．（2022·四川绵阳·绵阳中学实验学校校考模拟预测）已知是数列的前项和，且．
(1)求的通项公式．
(2)若，是的前项和，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由求通项公式，注意；
（2）从第2项向后用裂项相消法求和．
（1）
时，，
，
所以；
（2）
时，，，
所以，
所以.
15．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，，，，，，，，，，，求的前项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由可求得数列的通项公式；
（2）确定数列，，，，，，，，，，，的项数，可得出当时，，由此可求得的值.
【详解】（1）解：因为，当时，，
当时，，
也满足，所以，对任意的，.
（2）解；在和中插入个相同的数，
构成一个新数列，，，，，，，，，，，，
其项数为，
因为，即当时，，
因此，.
16．（2022·四川雅安·统考三模）已知数列，满足，；正项等差数列满足，且，，，成等比数列.
(1)求和的通项公式：
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）利用等比等差数列的通项公式通过基本量法计算即可；
（2）写出通项，可得其为等比数列，根据等比数列求和公式求和后比较即可得证.
(1)
∵，∴，即.
又当时，有，且，∴，而也符合上式
∴数列是首项､公比均为的等比数列，∴；
设正项等差数列的公差为d，∵，且，，成等比数列，
∴，即，解得：或（舍），
∴，故，;
(2)
证明：由（1）可得，，
∴

17．（2022·四川成都·石室中学校考三模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求，及数列的通项公式；
(2)设，求使得成立的最小正整数n的值.
【答案】(1)，，；
(2)63.

【分析】(1)根据已知条件，令n=1，2可求出、，n≥2时，用n-1替换已知式子的n得到式子与已知式子作差即可得，再根据与的关系即可求出的通项公式；
(2)求出，根据等差数列求和公式求出，解不等式即可．
(1)
∵①，
∴当n=1时，，即，；
当n=2时，，即，将代入并整理得，．
当时，②，
由①－②得，，∴，
因此，当时，，
当n=2时，，∴在n=2时不成立，
故
(2)
由(1)可得，，
则，
由，得．
注意到随着n的增大而增大，且，，因此所求n的最小值为63．
18．（2022·四川广安·广安二中校考二模）已知函数，数列满足，数列为等差数列，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）易得，再根据数列为等差数列，满足，求解；
（2）由（1）得到，再利用分组求和法求解.
(1)
解：由题意得：，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
，，
等差数列的公差，
；
(2)
由（1）得：；
，
，
，
.
19．（2022·四川攀枝花·统考三模）在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由①②利用等比数列的基本量的运算可得，即得；由③利用与的关系即求：
（2）由题可得，利用分组求和法即得.
(1)
设正项等比数列的公比为，
选①，由，得，
∴，又，
∴，
解得或（舍去），
∴；
选②，是，的等差中项，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴；
选③，，
当时，，
∴或（舍去），
∴，
当时，，
故数列的通项公式为；
(2)
∵，
∴，
∴，
∴

.
20．（2022·四川眉山·仁寿一中校考二模）数列与满足：，是与的等差中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题意，，转化可得，即，由等比数列的通项公式即得解；
（2）代入可得，分组求和即可
(1)
∵是与的等差中项，
∴.∴.
∴，即.
∴.
∴数列的通项公式为.
(2)
由（1）知：.
∴.
∴.
∴

.
21．（2022·四川泸州·统考二模）设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求n的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；
（2）根据上一问结论先化简，再利用裂项抵消法进行求解.
(1)
解：选①：由得：
， 所以，
又因为，因此数列为等比数列，
设数列的公比为，则，由，
解得或（舍去），
所以；                                               
选②：因为，
当时，，又，
所以，即，所以，
所以当时，，
两式相减得，
即，
所以数列是，公比为2的等比数列，
所以；
选③：因为，
当时，，
所以，即，
当时，，
两式相减，得，
即，
当时，满足上式．
所以；
(2)
解：因为
，
设，
则；
令，得.
22．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．
①若，设数列的前项和为，求的取值范围；
②若，设数列的前项和为，求证．
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质列方程组求得和公差后可得通项公式；
（2）选①，用裂项相消法求得和，结合单调性可得范围；
选②，由错位相减法求得和后可得证不等式成立．
(1)
∵是递增的等差数列，∴数列的公差，
由题意得：，解得：，，
∴．
(2)
选①时，
∴
∵，∴
又∵单调递增，∴
∴
选②时，，
，
，
两式作差得：


∴
∵，∴，∴．
23．（2022·四川攀枝花·统考二模）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和项和．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).

【分析】（1）选①：令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
选②：利用累加法可求得数列的通项公式；
选③：令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
(1)
解：选①：当时，由可得出，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故；
选②：由已知可得，
所以，，，，，，
上述个等式相加得，
；
选③：当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得且，
所以，数列数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
(2)
解：，，
所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
24．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）在①且，②且，③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列的前项和为，且______?
(1)求数列的通项公式:
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）选择条件①或选择条件③，根据与的关系，得递推关系式，再求解数列的通项公式即可；选择条件②，根据条件得是隔项等差数列，按照等差数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）得，按照裂项求和之和即可证明不等式成立.
【详解】（1）解：（1）选择①
当时，，
，
两式作差得：，
整理得，
所以为常数列，因此，
所以.
选择②
得，

两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，
当时，，又，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综合得：；
选择③
又，得.
当时，，

两式相减得：，即.
又因为，所以，故为公差为1的等差数列，
得.
（2）证明：由（1）可得
所以



因为
所以
因此.
25．（2023·四川内江·统考一模）数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或

【分析】（1）根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；
（2）由（1）知，，再结合裂项求和与数列的单调性得，再解不等式即可.
【详解】（1）解：当，，①
，，②
①－②得（*）
在①中令，得，也满足（*），所以，，
（2）解：由（1）知，，
故，
于是，
因为随n的增大而增大，
所以，解得或
所以实数m的取值范围是或.
26．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，求的前n项和
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】（1）由，两式相除可得数列的递推公式，然后由递推公式变形可证，再由是等差数列可得数列的通项公式；
（2）由裂项相消法可得.
【详解】（1）当时，，得，
当时，有，，
相除得
整理为：，
即，
∴为等差数列，公差，首项为；
所以，整理为：.
（2），


27．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）设数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求的前项和取最小值时的值；
(3)证明：
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析

【分析】（1）利用递推关系，当时，，两式相减得，再用构造法得：，即可求出的通项公式；
（2）先求出的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.
（3）对进行放缩得：，再求的前项和即可证明此题.
（1）
因为，①
时，，
时，②
①-②得，所以，，
所以数列是为首项，为公比的等比数列，
故
（2）
，所以，
于是当时，；；当时，.所以当或时，取最小值.
（3）
．故
28．（2022秋·四川攀枝花·高三统考阶段练习）已知数列单调递增,其前n项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且,求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)由,可得当时,,两式相减得,再利用数列单调递增,确定数列是等差数列即可得到结果;
(2)先用累加法求出数列的通项公式,再利用裂项相消法即可求出数列的前n项和.
【详解】（1）因为,当时,.
所以当时,.
两式相减得,
因为数列单调递增,且,
所以当时,,,
所以当时,,即.
即数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
（2）由,,可得.
由,
可得
,
上式对也成立.
所以.
则.
29．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，或；

【分析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式；
（2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论.
【详解】（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立.
30．（2022·四川乐山·统考三模）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；
若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；
若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出.
（2）利用数学归纳法证明结论即可.
【详解】（1）若选①：
因为
所以，
两式相减得，
所以是隔项等差数列，
且，
所以为奇数，
为偶数，
所以.
若选②：，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
若选③：
因为①，
所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以的通项公式.
（2）当时，，能够被3整除；
假设当时，能被3整除，则有,所以，
则当时，，所以当时能被3整除.
综上所述，对一切，能被3整除.