四川省高考数学复习 专题14 不等式选讲解答题30题专项提分计划

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四川省高考数学复习
专题14 不等式选讲解答题30题专项提分计划

1．（四川省绵阳市2023届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）已知函数，若的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)已知均为正数，且满足，求证：．
【答案】(1)，
(2)证明见解析

【分析】（1）根据求出，再分类讨论解不等式，与已知解集比较可得；
（2）由，得，根据基本不等式得，再根据可证不等式成立.
【详解】（1）因为的解集为，所以，即，所以，
又，所以，即.
所以，
当时，,得，则，
当时，，得，
当时，，得，不成立，
综上所述：的解集为，
因为的解集为．所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以，当且仅当，时，等号成立，
所以，
所以，当且仅当，时，等号成立.
2．（四川省泸县第二中学2022届高考仿真考试（一）文科数学试题）已知a，b，c为正数，且满足．
(1)证明：；
(2)证明：
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；

【分析】（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
【详解】（1）∵a，b，c为正数，要证，∵
只需证，即证，即证，
∵a，b，c为正数，∴，∴，
∴∴，
∴当且仅当时取等；
（2）要证，只需证，即证，
根据柯西不等式可，
当且仅当取等号．从而.
3．（四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学（理）试题）已知，，且．
(1)证明：；
(2)若不等式对任意恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）根据题意可得，代入运算整理，结合二次函数的对称性求最值；（2）根据题意分析可得，结合和运算求解.
【详解】（1）∵，则，可得，
∴，
又∵开口向上，对称轴为，
∴当时，，当时，，
故.
（2）∵，当且仅当，即时等号成立；
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
∴，解得或，
故m的取值范围为.
4．（四川省成都市金牛区2023届高三上学期理科数学阶段性检测卷（二））已知函数
(1)当时，求函数的定义域；
(2)当函数的值域为R时，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分段法解不等式，求出函数的定义域；
（2）由的值域为R得到能取遍所有正数，结合绝对值三角不等式得到，故，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，令，
即①，或②，或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
所以定义域为；
（2）因为的值域为R，
故能取遍所有正数，
由绝对值三角不等式，
故，所以，故实数的取值范围是.
5．（四川省南充高级中学2022-2023学年高三上学期第4次模拟测试数学理科试题）已知：，．
(1)若，求不等式的解集；
(2)，若的图象与轴围成的三角形面积不大于54，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；
（2）先求出，由，解得：，则，由函数单调性得到，根据函数图象与轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出的取值范围.
【详解】（1）当时，
，
当时，成立；
当时，，则；
当时，不合题意，
综上，的解集为；
（2）因为，所以，
由，解得：，则，
当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，，
∴图象与轴围成的三角形面积为，
解得：，又，则，
∴的取值范围是.
6．（四川省资阳市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题）设函数．
(1)解不等式；
(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解；
（2）由（1）可得函数图象，即可求出函数的最小值，再利用基本不等式证明即可.
【详解】（1）解：因为，
所以不等式，即或或，
解得或或，
综上可得原不等式的解集为.
（2）解：由（1）可得函数的图象如下所示：

所以，即，所以，
又，，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以.
7．（四川省绵阳市2023届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若，，均为正数，且，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求解；
（2）由题意得，再由基本不等式及不等式的性质可证明.
【详解】（1）
≥=
≥．(当且仅当时，取等号)
∴函数f(x)的最小值为．
（2）因为，，均为正数，
所以，
∴．
由
≥9，
得．
∵，
∴．
∴，
∴．
8．（四川省成都市温江区2022届高考适应性考试数学（文）试题）已知函数，．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)求证：R，．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得，然后根据基本不等式即可求解.
（1）
时， ，
故当时，，所以；
当时，显然成立，
当时，，解得：
综上，不等式的解集为
（2）
．
9．（四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题）设 ．
(1)求 的解集;
(2)若的最小值为，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；
（2）由绝对值三角不等式可得，于是有，再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1），
当时，或或,
解得或或，
所以，故解集为；
（2），当且仅当
即时，等号成立，∴，∴，
∵a，b为正实数，
∴

，
当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为．
10．（四川省营山县第二中学2023届高三第六次高考模拟检测数学（文科）试题）设，，均为正数，且证明：
(1)；
(2)
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】(1)利用重要不等式，结合综合法即可得证；
(2)利用柯西不等式即可证明不等式.
【详解】（1）因为，，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又，所以
（2）由，且为正数，得，则，
则，
由柯西不等式可得：
，
当且仅当时，等号成立，
所以
11．（四川省绵阳中学2023届高三上学期1月模拟检测文科数学试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值是m，且，，，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用零点分区间法解决问题即可；
（2）由（1）可知，则，故，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以等价于或或，
解得或或，
故不等式的解集为.
（2）由（1）可知，则，又，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
故最小值为．
12．（四川省凉山州2023届高三第一次诊断性检测数学（理）试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据题意分类讨论去绝对值解不等式；
（2）根据绝对值三角不等式求的最小值，再结合恒成立问题解不等式即得.
【详解】（1）由于，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时．
综上：的解集为；
（2），
当且仅当时等号成立，
，即，
解得，
的取值范围是．
13．（四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题）已知．
(1)当时，解不等式；
(2)若，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)不等式的解集为；
(2)a的取值范围为．

【分析】（1）将代入，利用“零点分界法”去绝对值，解不等式即可.
（2）将不等式化为，去绝对值，分离参数可得，令函数()，利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，
①当时，不等式可化为，解得，∴，
②当时，不等式可化为，解得，∴，
③当时，不等式可化为，解得，∴，
综上可知，原不等式的解集为；
（2）当时，不等式，即，
整理得，
则，即，
又，故分离参数可得，
令函数()，显然在上单调递减，∴，
当时，(当且仅当时等号成立)，
∴实数的取值范围为.
14．（四川省乐山市高中2023届高三第一次调查研究考试文科数学试题）已知函数.
(1)求的最大值;
(2)若正数满足，证明:
【答案】(1)
(2)证明见解析.

【分析】（1）由题知，再求解最大值即可；
（2）根据基本不等式证明即可.
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，，
所以
因为当时，函数单调递减，或时，函数为常函数，
所以，函数的最大值为，即
（2）解：因为，，，
所以，
因为，由（1）知，即，
所以，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，证毕.
15．（四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试文科数学试题）已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若正数，，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出的最大值，让最大值等于即可得的值；
（2）由（1）知，，由利用基本不等式即可求证.
【详解】（1）由题意得，
因为函数的最大值为，所以，即.
因为，所以；
（2）由（1）知，，
因为，，，
所以，
当且仅当时，即，等号成立，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
16．（四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试（二）数学试题）已知函数．
(1)若，解不等式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，分段求得不等式的解集，最后取并集.
（2）根据，利用零点分段法写出的解析式，求其最小值，根据不等式恒成立，可求得的取值范围.
【详解】（1）时，
当时，，
当时，，
当时，，
综上所述: 解集为
（2）
当时，恒成立，
即，.
当时，恒成立，
即，
综上所述：
17．（四川省达州市普通高中2023届高三第一次诊断性测试理科数学试题）设函数.
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)若，且，求的最小值.
【答案】(1);
(2)9.

【分析】(1)由可得，两边同时平方可得：，于是得，进而有，求解即可；
(2)由可得，又由于关于直线对称，所以，进而得，再由，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）解：不等式可化为
，
两边同时平方可得：.
原不等式解集为
，
即.
；
（2）解：因为

即，
因为
关于直线对称，
，
，即.
所以，
当且仅当，即时取
所以的最小值为9.
18．（四川省遂宁市第二中学校2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷（二））已知函数．
(1)求不等式​的解集;
(2)设​的最小值为​．若正实数​满足​， 求​的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分、和三种情况解不等式即可；
（2）根据的单调性得到，然后利用柯西不等式求最值即可.
【详解】（1）①当时，，
由，解得，所以；
②当时，，
由，解得，所以；
③当时，，
由，解得，所以，
综上，原不等式的解集为.
（2）由（1）得，
所以在上单调递减，上单调递增，
当时，取得最小值为2，所以，即，
由柯西不等式得，
所以，当且仅当，即，，时等号成立，
所以的最小值为.
19．（四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）文科数学试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)记函数的最大值为M．若正实数a，b，c满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明详见解析

【分析】（1）利用零点分段法，将表示为分段函数的形式，进而求得不等式的解集
（2）先求得，然后利用柯西不等式证得结论成立.
【详解】（1），
由得：或或，
解得，所以不等式的解集为.
（2）由于，所以的最大值为，即，
所以正实数满足.

，
当且仅当，即时等号成立.
20．（四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试文科数学试题）已知函数．
(1)恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，设m的最大值为，a，b，c均为正实数，当时，求的最小值．
【答案】(1)m的取值范围为；
(2)的最小值为.

【分析】(1)由已知 ，由绝对值三角不等式可求最大值，再解不等式求实数的取值范围；(2)由向量的数量积的性质可得，
由此可得的最小值.
【详解】（1）因为恒成立，所以，
由绝对值三角不等式知，当且仅当时等号成立，所以，即，∴，所以m的取值范围为；
（2）由（1）得，，
设向量，，所以，
又，当且仅当，方向相同时等号成立，
所以，
（当且仅当时，等号成立）
所以，即的最小值为.
21．（四川省宜宾市2023届高三上学期第一次诊断性数学（理）数学试题）已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)当函数的最小值为时，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)5.

【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；
（2）结合绝对值三角不等式得，进而根据柯西不等式求解即可.
【详解】（1）解：由题知，，
或或
解得或或
所以，的解集为，
（2）解：由绝对值三角不等式得：
当且仅当，即时取等号，
因为函数的最小值为，
所以，，
所以，由柯西不等式得
当，即时取等号．
所以，的最大值为．
22．（四川省泸州市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为M，若正数a，b，c满足，证明．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）根据的取值分类讨论，分段求解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式求得，再根据基本不等式即可证明.
【详解】（1）当时，即，解得，不等式解集为；
当时，即，不等式解集为空集；
当时，即，解得，不等式解集为；
综上所述，的解集为.
（2），当且仅当，即时取得等号，故；
则，又，
则，
又，当且仅当时取得等号；
，当且仅当时取得等号；
，当且仅当时取得等号；
故，
当且仅当，且，即时取得等号.
故，时取得等号.
23．（四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；
（2）根据题意且对任意的恒成立，再求对应的最值即可得答案.
【详解】（1）解：当时，不等式，即，
所以或，
即得或，
解得或，
所以不等式的解集为或
（2）解：因为对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，即，即，
故只要且对任意的恒成立即可，
因为，，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
令，，
因为函数在上单调递增，
所以在上的单调递增，从而，
所以，，即实数的取值范围是
24．（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）已知函数．
(1)解不等式；
(2)设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析

【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；
（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）当时，，由可得，则；
当时，，由可得显然成立，则；
当时，，由可得，则；
综上：不等式的解集为；
（2），当且仅当即时取等，，则，
又，，均为正数，则
，当且仅当，即时等号成立，则.
25．（四川省广安市2021-2022学年高二下学期“零诊”考试数学（理）试题）设函数的最小值为t
(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且，求证：.
【答案】(1)3；
(2)证明见解析.

【分析】（1）分类讨论去中的绝对值，转化为分段函数，求出每段函数值的取值范围，即可求解；
（2）由（1）得，利用已知等式有，再应用基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）（1）
当时，；当时，；
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）由（1）可知，因为，，为正实数，


.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
26．（四川省宜宾市叙州区第一中学校2022届高三下学期高考适应性考试数学（文）试题）已知函数．
(1)解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分段讨论解绝对值不等式
（2）不等式恒成立，转化为最值问题求解
(1)
由得或或
解得或或，不等式的解集为．
(2)
由题意知，当时，恒成立．
若，则，即恒成立，
此时，，故；
若，则，即恒成立，此时，在上的最小值为，故．
综上所述，m的取值范围是．
27．（四川省成都市2022届高三下学期第一次适应性考试数学（文）试题）已知．
(1)若m＝2，求的解集；
(2)若实数a，b，c满足，，使成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）时，利用零点分段法解绝对值不等式，分别求解，，三种情况取并集即可；
（2）先利用基本不等式求出的最大值，再利用绝对值的三角不等式得到，原不等式转换为，求其解集即可.
(1)
∵m＝2，，
∴当，时，无解；
当时，，∴；
当时，，成立．
综上所述：的解集为．
(2)
∵，∴，
同理可得，，
所以当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∵，使成立，
由，当且仅当时等号成立，
∴，即．
28．（四川省大数据精准教学联盟2021-2022学年高三下学期第二次统一监测数学（文）试题）已知．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.

【分析】（1）利用代入法后转化为二次函数后配方即可求解；
（2）利用的等效转换后利用基本不等式即可求证.
（1）
解：由题意得：

当时，的最小值为
（2）



当且仅当，即时取等号；

29．（四川省射洪市2022届高三下学期高考模拟测试文科数学试题）已知，为任意实数，有，，
(1)若，求的最小值；
(2)求||，||，||三个数中最大数的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据已知条件算出，结合二次函数知识求得答案；
（2）由条件得，设 ，则，然后可利用绝对值三角不等式求得答案.
(1)
由题意： ， ，
∵ ，∴,
则
,
∴当x＝时， 取得最小值为．
(2)
由条件，，，
可得 ，
设 ，则 ，
，
∴，所以|a|，|b|，|c|三个数中最大数的最小值为．
30．（四川省攀枝花市2022届高三第三次统一考试文科数学试题）设函数．
(1)当时，解不等式；
(2)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用分类讨论的方法求解不等式作答.
（2）将给定不等式等价变形，再利用绝对值的三角不等式求出最大值，列式计算作答.
(1)
当时，不等式，
当时，不等式化为：，解得，则有，
当时，不等式化为：，解得，则有，
当时，不等式化为：，解得，则有，
综上得：或，
所以不等式的解集为：.
(2)
不等式，
因存在使得不等式成立，则存在使得不等式成立，
而，当且仅当时取“=”，
因此有，解得，
所以实数a的取值范围是.