第八章 立体几何初步——2022-2023学年高一数学期末复习重难点专项学案+期末模拟卷（人教A版2019必修第二册）

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第八章 立体几何初步（重难点专题复习）



【题型1 几何体的截面问题】
【方法点拨】
根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.
【例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（    ）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·高一校考期中）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1的中点为Q，过A，Q，B1三点的截面是（    ）
  
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【变式1-2】（2023春·浙江杭州·高一校联考期中）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6,P为BC的中点，Q为CC1的中点，过点A1,P,Q的平面截正方体所得的截面的面积S=（    ）

A．21152 B．21172 C．8124+96 D．2724+96
【变式1-3】（2023·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD−A1B1C1D1分成两部分，则该截面的周长为（    ）

A．32+25 B．22+5+3 C．92 D．22+25+2
【题型2 平面图形旋转形成的几何体】
【方法点拨】
对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半
圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
【例2】（2023·全国·高一专题练习）下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ）

A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（    ）
A．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥
B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台
C．以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱
D．圆面绕其一条直径所在直线旋转180°后得到的几何体是一个球
【变式2-2】（2023春·全国·高一专题练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（    ）
　　
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E为CD的中点，现以AE所在直线为旋转轴将该长方形旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）
A．102π B．2823π C．10π D．82π
【题型3 斜二测画法】
【方法点拨】
根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.
【例3】（2023春·河南周口·高一校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（    ）

A．16 B．12 C．4+82 D．4+42
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（　　）

A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
【变式3-2】（2023春·河南郑州·高一校考期中）如图，矩形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，则原图形是（　　）

A．面积为62的菱形 B．面积为62的矩形
C．面积为324的菱形 D．面积为324的矩形
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4,C′D′=2，则下列说法正确的是（    ）

A．AB=2 B．A′D′=22
C．四边形ABCD的周长为4+22+23 D．四边形ABCD的面积为62
【题型4 简单几何体的表面积与体积】
【方法点拨】
求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体
积计算公式，进行求解即可.
求解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、
体积计算公式，进行求解即可.
【例4】（2023春·广西柳州·高一校考期中）如图所示，圆柱与圆锥的组合体，已知圆锥部分的高为12，圆柱部分的高为2，底面圆的半径为1，则该组合体的体积为（   ）
  
A．π3 B．2π C．13π6 D．5π2
【变式4-1】（2023春·河南周口·高一校考期末）有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为3的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（    ）
A．216−43π B．216−163π
C．270−163π D．270−43π
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯23高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（    ）

A．683πcm2 B．24πcm2 C．763πcm2 D．25πcm2
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=CA=AA1，点D是棱AA1上的点，AD=14AA1，若截面BDC1分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ）

A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【题型5 球的截面问题】
【方法点拨】
利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要
途径.
【例5】（2023·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（    ）
A．433π B．423π
C．833π D．823π
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（    ）

A．6π6 B．π9
C．π6 D．3π3
【变式5-2】（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，AC⊥BC，AC=BC=4，PC=6，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为（    ）
A．7π B．233π C．8π D．253π
【变式5-3】（2023·江西·校联考二模）若球O是正三棱锥A−BCD的外接球，BC=3,AB=23，点E在线段BA上，BA=3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ）
A．8π3 B．2π C．4π3 D． π
【题型6 几何体与球的切、接问题】
【方法点拨】
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称
性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行
求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应
包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
【例6】（2023·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为23和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥P-ABC体积最大时，其外接球半径为（    ）
A．2 B．5 C．10 D．322
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥P−ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（    ）

A．256π3 B．82π3
C．32π3 D．36π
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5−1和3，则此组合体的外接球的表面积是（    ）

A．16π B．20π C．24π D．28π
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知某正三棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为21919，球O1为该三棱锥的内切球.若球O2与球O1相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球O2与球O1的表面积之比为（    ）
A．49 B．19 C．925 D．125
【题型7 直线与直线的位置关系】
【方法点拨】
1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.
2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与
已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证
明原结论是正确的.
【例7】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，长方体ABCD−A′B′C′D′中，给出以下判断，其中正确的是（    ）

A．直线AC与A′B相交
B．直线AD′与BC′是异面直线
C．直线B′D′与DC′有公共点
D．A′B//D′C
【变式7-1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BB1,DC的中点，则异面直线MN和BC1所成角的余弦值为（    ）

A．36 B．34 C．33 D．32
【变式7-2】（2023·全国·高一专题练习）四棱锥P−ABCD如图所示，则直线PC（    ）

A．与直线AD平行 B．与直线AD相交
C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线
【变式7-3】（2023·江苏·高一专题练习）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线AF与直线BQ是异面直线；②直线BE与直线MN是异面直线；
③直线BQ与直线MN共面；④直线BE与直线AF是异面直线.
其中正确结论的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1


【题型8 直线与平面、平面与平面的位置关系】
【方法点拨】
判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，
借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.
两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面
之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.
【例8】（2023春·青海西宁·高三校联考开学考试）若m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）
A．若m//α,α//β，则m//β
B．若m⊥α,α⊥β，则m//β
C．若m//n,n//α，则m//α
D．若m⊥α,α//β，则m⊥β
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）α,β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ）
A．若m⊥n,m⊄α,n⊂α，则m⊥α B．若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//n
C．若α⊥β,n⊂α，则n⊥β D．若m⊥α,n⊂α，则m⊥n
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，γ，下列命题错误的是（    ）
A．若α∥β,β∥γ，则α∥γ
B．若α∥β,β⊥γ，则α⊥γ
C．若α∥β,m∥α，则m∥β
D．若α∥β,n⊂α，则n∥β
【变式8-3】（2023春·山东青岛·高一校考期中）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）
A．若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B．若n//m，n⊥α，则m⊥α
C．若m⊥α，m⊥n，则n//α
D．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

【题型9 直线与平面平行的判定】
【方法点拨】
使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们
可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
【例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是△ACD、△BCD的重心．以下平面中与直线MN平行的是（    ）
①平面ABC；    ②平面ABD；    ③平面ACD；    ④平面BCD．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有（    ）个
①．     ②．
③．④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式9-2】（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（    ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】（2023春·全国·高一专题练习）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1内的一动点，M为线段DC的中点，则下列说法错误的是（    ）
A．平面PAM内任意一条直线都不与BC平行
B．平面PAB和平面PCM的交线不与平面ABCD平行
C．平面PBC内存在无数条直线与平面PAM平行
D．平面PAM和平面PBC的交线不与平面ABCD平行
【题型10 平面与平面平行的判定】
【方法点拨】
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.
【例10】（2023·全国·高一专题练习）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（    ）．
①α、β都垂直于平面r，那么α∥β
②α、β都平行于平面r，那么α∥β
③α、β都垂直于直线l，那么α∥β
④如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（    ）
A．α、β都垂直于一个平面γ
B．平面α内有无数条直线与平面β平行
C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
【变式10-2】（2023·全国·高三专题练习）在正方体EFGH−E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是（    ）
A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1E与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G
【变式10-3】（2023春·安徽马鞍山·高一校考期中）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（    ）
A． B．
C． D．
【题型11 线面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：
(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
【例11】（2023·陕西商洛·统考三模）如图，四棱锥P−ABCD的底面是等腰梯形，AD//BC，BC=2AB=2AD=2，PC=3，PC⊥底面ABCD，M为棱AP上的一点.

(1)证明：AB⊥CM；
(2)若三棱锥P−CDM的体积为112，求PMPA的值.




【变式11-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）已知棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1，M，N分别为棱CC1，A1B1中点．

(1)证明：C1N∥平面A1BM；
(2)证明：AB1⊥平面A1BM．




【变式11-2】（2023·江西·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BD⊥平面AB1C，其垂足D落在直线B1C上.

(1)求证：AC⊥B1C；
(2)若P是线段AB上一点，BD=1，BC=AC=2，三棱锥B1−PAC的体积为33，求APPB的值.




【变式11-3】（2023春·天津西青·高一校考期中）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA1=2，E是BC的中点.

(1)求证：BD1//平面DEC1；
(2)求证：直线DE⊥平面B1BCC1；
(3)求直线BD1与平面D1DCC1所成角的正弦值.




【题型12 面面垂直判定定理的应用】
【方法点拨】
利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通
过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
【例12】（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，AN⊥SC且交SC于点N.

(1)求证：SB∥平面ACM；
(2)求证：平面SAC⊥平面AMN.




【变式12-1】（2023·四川·校联考模拟预测）如图所示，直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，ED∥AB，AB=2DE=2BD=2，AC=BC，异面直线DE与AC所成角为45°.
  
(1)求证：平面ACE⊥平面BCD；
(2)若点F在CE上，当△AFB面积最小时，求三棱锥F−ABE的体积.




【变式12-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在几何体ABC−A1B1C1中，AB=BC=3，AC=3，点D，E在棱AC上，且AD=DE=EC，三棱柱DBE−A1B1C1是直三棱柱.

(1)求证：平面A1BE⊥平面ABB1；
(2)若A1D=2，求点A1到平面AB1C的距离.




【变式12-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=2，M为PD的中点，R为PB的中点，平面α过M、C、R三点且与面PAC交于直线l，l交PA于点Q.

(1)求证：面PAB⊥面ABCD；
(2)求证：PQPA=13；
(3)求平面BCQ与平面ABCD所成夹角的正切值.




【题型13 空间角的计算】
空间角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角，根据具体问题，结合这几种空间角的一
般求解步骤，进行转化求解即可.
【例13】（2023春·江西景德镇·高一校考期中）如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，▱ABCD为正方形，PD=6，AB=8，点E为棱PB的中点．

(1)记过A、D、E三点的平面与平面PBC的交线为l，求证：l//平面PAD；
(2)求PB与平面ADE所成角的正弦值．




【变式13-1】（2023春·浙江宁波·高一校考期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=83，∠DAB=π3，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折为△A′DE，若F为线段A′C的中点．在△ADE翻折过程中，

(1)求证：BF//平面A′DE；
(2)若二面角A′−DE−C=60°，求A′C与面A′ED所成角的正弦值.




【变式13-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且∠ADC=∠BCD=90°，AD=2BC=2，DC=3，PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD //平面MAC．

(1)判断M点在PB的位置并说明理由；
(2)记直线DM与平面PAC的交点为K，求DKKM的值；
(3)若异面直线CM与PA所成角的余弦值为22，求二面角M−CD−A的平面角的正切值．




【变式13-3】（2023·全国·高一专题练习）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E,F分别在AB,CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A′EFD′，点A′∉平面BCFE．

(1)求证：CD′ //平面A′BE；
(2)求异面直线EF与BD′所成的角；
(3)在翻折的过程中，设二面角A′−BC−E的平面角为θ，求tanθ的最大值．




【题型14 点、线、面的距离问题】
【方法点拨】
结合具体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.
【例14】（2023·四川巴中·校考模拟预测）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，AB⊥AD，E，F分别是棱BC，PA的中点.

(1)证明：EF//平面PCD.
(2)若AB=1,AD=PD=2,CD=3,∠PDC=120∘，求点C到平面DEF的距离.




【变式14-1】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60∘，AA1=3，O1是A1C1和B1D1的交点，M是O1C的中点.
  
(1)证明：AM⊥平面CB1D1；
(2)求直线BD平面CB1D1的距离.




【变式14-2】（2023·浙江·高三专题练习）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC⊥平面AA1B1B，△ABC是正三角形，D是棱BC上一点，且CD=3DB，A1A=A1B.

(1)求证：B1C1⊥A1D；
(2)若AB=2且二面角A1−BC−B1的余弦值为35，求点A到侧面BB1C1C的距离.




【变式14-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：

(1)平面ADD1A1与平面BCC1B1的距离.
(2)点D1到直线AC的距离.
(3)直线AB与面A1DCB1的距离.