专题02 向量的数量积与三角恒等变换（知识点清单）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

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专题02 向量的数量积与三角恒等变换【知识梳理】一、两个向量的夹角和向量在轴上的正射影1、(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.2、已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.【例题1】已知向量，，则在方向上的投影为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得，，故在方向上的投影为.【例题2】已知非零在非零方向上的投影是m，m∈R，下列说法正确的是（    ）A．在方向上的投影一定是mB．在方向上的投影一定是kmC．在方向上的投影一定是kmD．在方向上的投影一定m【答案】D【详解】解：∵在方向上的投影是m，∴，∵，k≠0，，∴在(k≠0)方向上的投影为，当k>0时，在k方向上的投影为m.故选：D.【跟踪训练1】 ，，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】向量在向量方向上的投影为.【跟踪训练2】 向量的模为10，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影为（    ）A．5 B． C． D．【答案】B【详解】由题意所求投影的模为．【跟踪训练3】 已知单位向量满足，则向量在向量方向上的投影为（  ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，所以解得向量在向量方向上的投影为故选：A.  二.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝＝.③夹角：cos θ＝＝.④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.【例题1】四边形中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，四边形为直角梯形，，所以．故选：B．【例题 2】 已知菱形的边长为，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，因为，，所以，，，，故选：B【跟踪训练1】 在边长为3的等边三角形中，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，又等边三角形的边长为3则故选：B【跟踪训练2】 若是半径为的圆上的三个点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知为直径，与成角，故故选：B【跟踪训练3】 在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】建立如图平面直角坐标系，则∴E点坐标为，.故选：D   三.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【例题1】 已知非零向量、满足，，若，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，所以，，因为，则，解得.【例题2】 已知，，若关于的不等式恒成立，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，且关于的不等式恒成立，所以，所以，整理得，所以，所以，，又，所以故选：B【跟踪训练1】 已知平面向量，与，与的夹角为，且与垂直，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】与垂直，，，， ，与的夹角为，，解得，故选：A【跟踪训练2】 已知向量、满足，，，则（    ）A．2 B． C．  D． 【答案】C【详解】故选：C.【跟踪训练3】 已知平面向量，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，可得，解得.故选：A．四.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.【例题1】计算的值是（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】解：．【例题2】（    ）.A．1 B． C． D．【答案】B【详解】由.【跟踪训练1】已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（    ）A．α<<β B．β<<αC． <α<β D． <β<α【答案】B【详解】∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．【跟踪训练2】已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．3【答案】D【详解】由题意可得，，，所以，，所以.【跟踪训练3】已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，又在上单调递增，所以，，解得，由得，又，因此，所以．故选：C． 五.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝.【例题 1】已知角终边上一点M的坐标为，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由角终边上一点M的坐标为，得，，故，故选：A.【例题 2】已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，即，故选：B【跟踪训练1】已知锐角满足，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解法一：由可知.又，∴，，∴.故选：D.解法二：由可知，即，则.故选：D.【跟踪训练2】已知点是角的终边与单位圆的交点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由三角函数的定义得，所以．故选：A【跟踪训练3】若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，由，得，所以，，故选：A． 六.三角恒等变换的应用函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).【例题 1】若，，则的值为（    ）A．  B． －C． ± D．±【答案】A【详解】因为，所以，又，所以，所以，故选：A.【例题 2】已知，则=（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由得，即，解得，因为，所以【跟踪训练1】已知，，则（    ）A． B．或1 C． D．或1【答案】C【详解】解:由，，则,即,即,又,所以,即,又,则,则,【跟踪训练2】已知，满足，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，当时，，∵，∴，，∴；当时，，不合题意；综上可知，，故选：A．【跟踪训练3】已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，