专题2.1 三角（专题练习）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

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专题2.1 三角【专项训练】【基础题】+【提升题】【基础题】1．（2021·上海市川沙中学高一期末），且，则________________.【答案】【分析】直接由特殊角的三角函数值得到答案.【详解】因为，且所以.故答案为：2．（2021·上海华师大二附中）已知，，则等于________．【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值.【详解】，，因此，．故答案为：．3．（2020·上海市川沙中学高一期末）若为第二象限的角，则__________．【答案】【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再结合诱导公式即可求出.【详解】为第二象限的角，，.故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.4．（2020·上海市建平中学高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.【答案】【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，所以面积.故答案为：.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..5．（2020·上海高一期末）大于且终边与角重合的负角是________.【答案】【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于且终边与角重合的负角是.故答案为：【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.6．（2020·上海高一期末）若，则______．【答案】【分析】将展开代入即可.【详解】因为，所以.故答案为：．7．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知是第二象限角，，则_______________.【答案】【分析】由为第二象限角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．【详解】解：是第二象限角，且，，则．故答案为：．8．（2021·上海曹杨二中高一期末）化简：___________.【答案】1【分析】利用诱导公式可求代数式的值.【详解】原式，故答案为：1.9．（2021·上海曹杨二中高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．【答案】；试题分析：由题圆心角为，半径为；则：考点：弧度制下的扇形面积算法.10．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角的终边经过点P(3m，-4m)(m<0)，则sin+cos=_____.【答案】【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可．【详解】由题意得：则，故故答案为：11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）已知角终边落在直线上，求值：_______．【答案】2或【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得和的值，可得要求式子的值．【详解】解：当角终边落在直线上，为锐角，均为正值，且，再结合，求得，，则．当角终边落在直线上，，均为负值，且，再结合，求得，，则，故答案为：2或．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属于基础题．12．（2020·上海市行知中学高一期末）已知，，则_______【答案】【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.13．（2020·上海市川沙中学高一期末）方程在上的解_________．【答案】【分析】根据余弦函数性质以及特殊角三角函数值直接求解.【详解】因为，所以故答案为：【点睛】本题考查简单三角方程、余弦函数性质，考查基本求解能力，属基础题.14．（2020·上海高一期末）若将化成（，）的形式，则________.【答案】【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得解.【详解】方法一：，由待定系数法，得，又，∴.方法二：由辅助角公式及诱导公式可得，即.故答案为：【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.15．（2020·上海市建平中学高一期末）已知，，则______.【答案】【分析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】因为，可得，根据三角函数的基本关系式，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16．（2020·上海高一期末）已知，则____________.【答案】2【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为所以，解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.17．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与角终边重合的角的集合是________【答案】【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得：与角终边重合的角是，所以与角终边重合的角的集合是.故答案为：【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.18．（2020·上海交大附中高一期末）已知，，则_______.【答案】【分析】根据角的范围,可判断.由诱导公式化简所给条件式,可求得.将所求式子平方化简,再开根号即可求解.【详解】因为则 所以由诱导公式可知则由正弦二倍角公式代入可得故答案为: 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,根据角的范围化简三角函数式,注意角的范围及三角函数的符号,属于基础题.19．（2020·上海交大附中高一期末）若，则______.【答案】【分析】根据同角三角函数关系商数式,用表示.结合平方关系,即可求得的值.结合诱导公式及正弦二倍角公式,即可求解.【详解】因为则则由同角三角函数关系式代入可得解得由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得故答案为: 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角的化简应用,属于基础题.20．（2020·上海交大附中高一期末）已知，，则______.【答案】【分析】根据正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式,代入化简即可求得的值.【详解】因为由正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式代入化简可得即当时, 所以则故答案为: 【点睛】本题考查了正余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的化简应用,属于基础题.21．（2020·上海市建平中学高一期末）若，则__________.【答案】【解析】由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，得，又因为，则，即.22．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于______．【答案】﹣试题分析:利用任意角三角函数定义求解．解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为﹣．考点：任意角的三角函数的定义．【提升题】一、填空题1．（2019·上海交大附中高一期末）已知，且为第三象限角，则的值等于______；【答案】【分析】根据条件以及诱导公式计算出的值，再由的范围计算出的值，最后根据商式关系：求得的值.【详解】因为，所以，又因为且为第三象限角，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，中间涉及到诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.三角函数中的求值问题，一定要注意角的范围，避免出现多解.2．（2019·上海上外附中高一期末）已知，，则______.【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用两角和的正切公式，求得的值，再结合的范围，求得的值．【详解】，，，，，，故答案：.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．3．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）若角的终边经过点，则___________.【答案】3【分析】直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可【详解】由任意角三角函数的定义可得：．则故答案为3【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．4．（2019·上海市建平中学高一期末）已知，若方程的解集为，则__________．【答案】【分析】将利用辅助角公式化简，可得出的值.【详解】，其中，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.5．（2019·上海高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.【答案】【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值【详解】因为所以角最大值为【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题6．（2019·上海市奉贤中学高一期末）设，其中，则的值为________.【答案】【分析】由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值．【详解】，所以，因为，故．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用．7．（2019·上海高一期末）若为幂函数，则满足的的值为________.【答案】【分析】根据幂函数定义知，又，由二倍角公式即可求解.【详解】因为为幂函数，所以，即,因为,所以，即，因为，所以，.故填.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.8．（2019·上海曹杨二中高一期末）走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.【答案】.【分析】设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，故答案为.【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．（2019·上海市川沙中学高一期末）在中，,其面积，则长为________.【答案】49【分析】根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.10．（2019·上海市川沙中学高一期末）已知，则_________.【答案】【分析】根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.【详解】依题意，由于，所以，所以.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题.二、解答题11．（2019·上海市实验学校高一期末）已知，，，求.【答案】11【分析】根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 ，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.【详解】由，由，可得又由，所以，由，得，可得，所以，即.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.12．（2019·上海市实验学校高一期末）在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求的值；（2）若，求的最大值；（3）若，，为的中点，求线段的长度.【答案】（1）； （2）； （3）.【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，在中，，则又由.（2）在中，由余弦定理可得，即，可得，当且仅当等号成立，所以的最大值为.（3）设，如图所示，在中，由余弦定理可得，即，即，解得，在中，由余弦定理,可得，……①在中，由余弦定理,可得，……②因为，所以，由①+②，可得，即，解得，即.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．13．（2019·上海市实验学校高一期末）已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解；（2）由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得，再集合两角差的正切公式，即可求解.【详解】（1）由题意知，，，所以，则.（2）由三角函数的基本关系式，可得，则又由，解得或，又因为，可得，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简、求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的基本公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．（2019·上海高一期末）已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为.（1）求、的值；（2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）可根据单位圆定义求出，再由二倍角正弦公式即可求解；（2）先求出由可求得，结合反三角函数即可求得【详解】（1）由题可知：，，，；（2）由，，又，【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题15．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明【详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，∴cosα，sinβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）得证【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．16．（2019·上海高一期末）如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）【答案】【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为，则，，，，所以，答：电视塔的高为约.【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题17．（2019·上海市奉贤中学高一期末）在中，已知，，且，求.【答案】或【分析】首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．【详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，故或，即或．【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．18．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）已知的内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求得则面积可求【详解】（1）由正弦定理得 故；（2），由余弦定理，，解得因此，【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题19．（2019·上海高一期末）在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求角的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．