2023年云南省丽江市中考数学二模试卷（含解析）

2023年云南省丽江市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截至年月日，世界第四大水电站云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破亿千瓦时，相当于替代标准煤约亿吨，减排二氧化碳约亿吨．亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量，要使木条与平行，则的度数应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从班上名排球队员中，挑选名个头高的参加校排球比赛．若这名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这名队员身高数据的(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某几何体如图所示，该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在中，弦垂直平分半径，点在上不与点，重合，则的度数为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  如图，以边长为的等边顶点为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于，，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  按一定规律排列的等式：，，，，，按此规律(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是______．

14.  因式分解：______．

15.  如图，是等边三角形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，则的面积为______．

16.  若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为          ．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：

本次共调查了______ 名学生，并补全上面条形统计图．
本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为______ ；众数为______ ．
该校九年级有名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生约有多少人？

19.  本小题分
某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点位于村西南方向和村南偏东方向上．村在村的正东方向且两村相距有关部门计划在、两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．参考数据：，

 

20.  本小题分
小明与小刚做游戏，在甲、乙两个不透明的口袋中，分别装有完全一样的小球，其中甲口袋中的个小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的个小球分别标有数字，，，小明先从甲袋中随意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为．
请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小刚获胜，它们谁获胜的概率大？请说明理由．

21.  本小题分
如图，▱中，，相交于点，，分别是，的中点．
求证：；
设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

22.  本小题分
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润．

23.  本小题分
为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，，在同一平面内．当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点传递到铁环上，会有较好的启动效果．

求证：．
实践中发现，切点只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离最小，测得已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．

24.  本小题分
如图，抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，点为线段上的动点，过作交于点．
求该抛物线的解析式；
求面积的最大值，并求此时点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
根据亿，再用科学记数法的表示即可．
本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
要使与平行，则，
．
故选：．
先求出的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．
本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，
 

4.【答案】 

【解析】解：共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，所以小明需要知道自己的成绩是否入选．
我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第名学生的成绩是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．
故选：．
由于共有名排球队员，挑选名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的大小．
本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用二次根式的减法法则，完全平方公式，幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：这个几何体的左视图为：
．
故选：．
到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：移项得，，
得，．
在数轴上表示为：

故选：．
先移项，合并同类项，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，，，
当在所对的优弧上时，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
同理：，
，
，
当在所对的劣弧上时，
由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，此时，
的度数是或，
故选：．
分两种情况，由弦垂直平分半径，求出的度数，由圆周角定理即可求解．
本题考查圆周角定理，关键是要分两种情况讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，交于点．


在等边中，，，
．
在中，，


，
故选：．
作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积扇形的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
；
将绳子对折再量木条，木条剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，，，
按此规律，
故选：．
根据前几个式子找到变化规律，再求解．
本题考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，

≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：这个正多边形的边数为，
所以这个正多边形的内角和．
故答案为．
先利用多边形的外角和为计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于度．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，属于基础题．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
点在反比例函数的图象上，
，
是等边三角形，，
，
．
故答案为．
过点作于，如图，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后根据等边三角形的性质得到．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积，且保持不变．也考查了等边三角形的性质．
 

16.【答案】或或 

【解析】

【分析】
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与轴只有一个交点时，据此求解可得．
本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
【解答】
解：当，即时，函数解析式为，与轴只有一个交点；
当，即时，根据题意知，，
整理，得：，
解得：或；
综上，的值为或或．
故答案为：或或．  

17.【答案】解：


 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：本次调查的人数为：人，
完成作业时间为小时的有：人，
补全的条形统计图如图所示：

故答案为：；
由中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是，
，则中位数是，
故答案为：，；
名，
答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生约有人．
用天完成作业所用时间为小时的学生人数除以可得样本容量，再用样本容量分别减去其他三组的人数可得“小时”的人数，并补全条形统计图即可；
根据条形统计图分析出中位数和众数；
用样本中每天完成作业所用时间为小时的学生的比例乘总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

19.【答案】解：过点作于点，

由题意知：，，
，，
，
，
解得：，
故该公路不穿过纪念园． 

【解析】过点作于点，根据题意可得，，由可得关于的方程，计算可求解的长，进而可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用方向角，构造直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：列表如下：

由列表可知，所有等可能的结果有种；

共有种等可能的情况数，其中，都是方程的解有种，
小明获胜的概率是，
小刚获胜的概率是，
小刚获胜的概率大． 

【解析】根据题意列出图表得出种等可能的结果数即可；
找出，都是方程的解的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求解．
 

21.【答案】证明：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
当时，，即，
由知：四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
当时，四边形是矩形．
故答案为：． 

【解析】利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形是平行四边形，进而得到；
先确定当时，四边形是矩形，从而得的值．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得：，经检验是方程的解，
猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元，
答：猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元；
由题意得，当时，每天可售出盒，
当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，
，
配方，得：，
时，随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为：元．
答：关于的函数解析式为，且最大利润为元． 

【解析】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式．
设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
 

23.【答案】证明：方法：如图，过点作，分别交于点，交于点．

与相切于点，
．
，
．
，
，
，，
为的切线，
．
，
，
；
方法：如图，延长交于点．

与相切于点，
，
，
，
．
为的切线，
，
．
在四边形中，．
，
．
；

解：如图，在中，

，，
．
由知，，
，
在中，
，
，
．
，
．
，
四边形为矩形，
，
． 

【解析】方法：如图，过点作，分别交于点，交于点首先证明，；再根据是切点得出后面就很简单的证明出结论；方法：如图，延长交于点因为为的切线，所以根据切线性质得到，，再根据四边形、三角形的内角和即可证明；
利用中图的辅助线即可解答．首先根据条件，，得到再利用证明出的，  再求出四边形为矩形，所以，从而得到．
本题重点考查切线的判定和性质，三角函数，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．是很好的中考题．
 

24.【答案】抛物线是常数的顶点为，与轴交于，两点，，，
，
，
解得，
抛物线的解析式为；

过作轴于，过作轴于，

设，则，
，
，
，，
，
∽，
，
，
∽，

，即，
，



，
，
当时  有最大值，
面积的最大值为，此时点坐标为． 

【解析】根据，求出，把、的坐标代入抛物线，即可求解；
过作轴于，过作轴于，设，则，易证∽，利用相似三角形的性质即可表示出的长，又因为，进而得到面积和的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住图形中某些特殊的数量关系和位置关系．此题综合性较强，中等难度，是一道很好的试题．