2023年甘肃省武威九中中考数学四诊试卷（含解析）

这是一份2023年甘肃省武威九中中考数学四诊试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省武威九中中考数学四诊试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的绝对值为(    )A.  B.  C.  D. 2.  华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米数据用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  有理数、、、在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是(    )     
 A.  B.  C.  D. 4.  如图，直线，平分，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 5.  对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图，在中，、分别是和上的点，，若，那么(    )A.
B.
C.
D. 7.  九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，是的直径，，，则(    )A.
B.
C.
D. 9.  生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是，则这个正六边形的半径和扳手的开口的值分别是(    )
 A. ， B. ， C. ， D. ，10.  如图矩形中，，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点向对角线作垂线，垂足为，设，的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是(    )
 A.  B.
C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.  把多项式分解因式的结果是______ ．12.  使得代数式有意义的的取值范围是______．13.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______．14.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．
  
 15.  如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为，圆锥的侧面积为______．
 16.  按下面的程序计算：

若开始输入的值为，则最后输出的结果为        ．17.  如图，在平面直角坐标系中，点为原点，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，则菱形的面积为______．
 18.  规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第个图案用______根火柴棒．

 三、解答题（本大题共10小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．20.  本小题分
先化简，后求值．已知实数满足，求的值．21.  本小题分
如图，中，．
在边上作一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，，求的长．
22.  本小题分
如图是某古城门修复后的照片，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该城门楼的高度如图所示，他们沿坡度：的登城阶梯从底部的处前行米到达处米，测得城门楼最高点的仰角为，楼底部的仰角为测量员的身高忽略不计，已知城门楼高米，求城门楼距离地面的高度结果保留整数参考数据：，，，．

 23.  本小题分
经典国学著作是中华民族文化教育的庞大载体，是民族生存的根基，为进一步培养学生的人文素养，某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学为主题的诵读比赛，分“单人项目”和“双人项日“两种形式，诵读的篇目有四种类型：人生管理；家国情怀；励志劝勉；山明水秀，且每种类型包含的篇目数相同，参赛者需从中随机抽取一篇进行诵读．
若小甘参加“单人项目”，求他抽中的篇目恰好属于“家国情怀”的概率；
张帆和李欣参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的篇目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们恰好抽到“、人生管理”和“励志劝勉”类篇目的概率是多少？画树状图或列表求解24.  本小题分
某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项，分别记为、、、，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图．

请解答下列问题：
本次问卷共随机调查了______ 名学生，扇形统计图中对应的圆心角为______ 度；
请补全条形统计图；
若该校有名学生，试估计该校选择“非常了解”的学生有多少人？25.  本小题分
某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
求这天的温度与时间的函数关系式；
解释线段的实际意义；
若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
26.  本小题分
如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．
求证：是的切线；
若，的半径为，求的长．
27.  本小题分
阅读材料：如图，四边形的对角线，交于点，点是边上的一点，过点分别作，交直线，于点，，显然四边形是平行四边形．

探究发现：
当对角线，满足______时，四边形是矩形．
如图，若四边形是矩形，且是的中点，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．
拓展延伸：
如图，在四边形为矩形的条件下，若点是边延长线上的一点，此时，，三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．28.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线过、两点，连接．
求抛物线的解析式；
求证：∽；
点是抛物线上的一点，点为抛物线上位于直线上方的一点，过点作轴交直线于点，点为抛物线对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 2.【答案】 【解析】解：；
故选：．
由科学记数法知；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．利用有理数与数轴的对应关系结合有理数的运算法则计算即可解答．
【解答】
解：从、、、在数轴上的位置可知：，，．
A、，选项正确；
B、、异号，则，即，故选项错误；
C、由数轴可知，故选项正确；
D、，则，故选项正确．
故选B．  4.【答案】 【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得，
即，
去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
故选：．
 6.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：依题意，得．
故选：．
根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：为直径，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出的长，再将转化为进行计算．
本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想思考问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是，则，
连接，过作于；

，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选：．
根据正六边形的性质，边长等于半径，可得，连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长．
此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．
 10.【答案】 【解析】解：在矩形中，，，
由勾股定理可得，
根据点的运动，需要分段讨论：
当点在上时，
，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，；
此时，即，
；是开口向上的一段抛物线；排除，，
当点在上时，
，
，
，
∽，
：：：：：：，
，
，
，；
此时，即，
，开口向下的抛物线，
故选：．
由勾股定理可得，根据点的运动，需要分段讨论：当点在上时，易证∽，由，可得，根据三角形面积公式得到；当点在上时，易得∽，根据比例可求得的长，再根据三角形面积公式得到与的关系，最后结合选项判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式．
 11.【答案】 【解析】解：

．
直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：代数式有意义，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数且分母不为零列不等式，求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
 13.【答案】且 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故答案为：且．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．同时也考查了一元二次方程的定义，熟练掌握这些内容是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：作轴于点，

由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
，
点坐标为．
故答案为．
作轴于点，由旋转的性质和矩形的性质可得，，进而求解．
本题考查旋转的基本性质、矩形的性质和点的坐标．
 15.【答案】 【解析】解：如图，，，
在中，，
，即圆锥的底面圆的半径为，
，即圆锥的母线长为，
圆锥的侧面积．
故答案为．
先利用三角函数计算出，再利用勾股定理计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 16.【答案】 【解析】解：第一次运算结果为：，
第二次运算结果为：，
因为大于，所以最后输出的结果为，
故答案为：．
先把代入代数式中，求值后若大于输出答案，若小于或等于返回第一步再次计算，判定即可得出答案．
本题主要考查了代数式求值，根据题意所给程序运算方法进行计算判定是解决本题的关键．
 17.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．
连接交于，由菱形的性质可知根据反比例函数中的几何意义，得出的面积，从而求出菱形的面积的面积的倍．
【解答】
解：连接交于．
四边形是菱形，
．
点在反比例函数的图象上，
的面积，
菱形的面积的面积．  18.【答案】 【解析】解：观察图形的变化可知：
摆第个图案要用火柴棒的根数为：；
摆第个图案要用火柴棒的根数为：；
摆第个图案要用火柴棒的根数为：；

则摆第个图案要用火柴棒的根数为：；
故第个图案要用火柴棒的根数为：．
故答案为：．
观察图形的变化即可得第个图形火柴棒的个数；摆第个图案要用的火柴棒；摆第个图案要用的火柴棒；即可得第个图形的火柴棒个数，从而可求解．
本题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答的关键．
 19.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用乘法公式以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：原式


，
，
原式
． 【解析】先算除法，再通分算减法，最后用整体代入求值．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简及整体思想的应用．
 21.【答案】解：如图，点即为所求；
作于点，如图，
平分，于，，
．
在和中
，
≌，
，
在中，，
，，
设，则，，
在中，，
，解得．
答：的长为． 【解析】作的平分线交于点，则点到点的距离与点到边的距离相等；
作于点，如图，根据角平分线性质得，则可证明≌得到，再利用勾股定理计算出，则，设，则，，在中，利于勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理．
 22.【答案】解：如图：过点作，垂足为，

由题意得：
，，，，
斜坡的坡度：，
，
在中，，
，
米，
米，
米，
设米，
在中，米，
在中，米，
米，
，
，
解得：，
米，
米，
城门楼距离地面的高度约为米． 【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，根据已知可得，再在中，利用含度角的直角三角形的性质可得米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是截图的关键．
 23.【答案】解：他抽中的篇目恰好属于“家国情怀”的概率为；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“、人生管理”和“励志劝勉”类篇目的结果数为；
所以他们恰好抽到“、人生管理”和“励志劝勉”类篇目的概率为． 【解析】直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 24.【答案】   【解析】解：由题意可知，本次问卷共随机调查的学生数是：名，
扇形统计图中对应的圆心角为 ，
故答案为：，；
人，
补全条形统计图如图所示：

名，
答：估计该校选择“一般了解”的学生有人．
“比较了解”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出“一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数，
求出“非常了解”的人数，即可补全条形统计图；
用该校的总人数乘以“非常了解”的人数所占的百分比即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
 25.【答案】解：设线段解析式为
线段过点，，
，解得
线段的解析式为：，
在线段上当时，，
坐标为，
线段的解析式为：，
设双曲线解析式为：，
，
，
双曲线的解析式为：，
关于的函数解析式为：，
线段表示恒温系统设定恒温为；
把代入中，
解得：，
小时，
恒温系统最多可以关闭小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【解析】应用待定系数法分段求函数解析式；
根据题意和图象即可知道答案；
把代入中，即可求得结论．
本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．线段表示恒温系统设定恒温为；
 26.【答案】证明：连接，
，
，
，
．
为直径，
，
即，
．
．
是的半径，
直线是的切线；

解：的半径为，
，
，，
，
，
，
，
．
． 【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得根据圆周角定理得到，即，求得根据切线的判定定理即可得到结论；
解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，也考查了圆周角定理．
 27.【答案】 【解析】解：要使平行四边形是矩形，
，
，
故答案为．
四边形是菱形．
证明：
在矩形中，，
点是的中点，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
解：，
理由：在矩形中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，

由矩形的判断方法即可，
由三角形的中位线判断出，得到邻边相等平行四边形是菱形；
先判断出四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得到，即可．
本题是四边形的比较简单的综合题，主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．
 28.【答案】解：直线过、两点，
当时，代入，得，即，
当时，代入，得，即，
把，分别代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
抛物线与轴交于点，
，
解得，，
点的坐标为，
，，
在中，，，
，
，
，
，
又，
∽；
设点的坐标为，
则点的坐标为，


，
，
当时，线段的长度最大，
此时，点的坐标为，
，，
点和点关于对称轴对称，
如图，

连接交对称轴于点，此时最小，
连接交直线于点，则，点的坐标为，
，
，
的最小值为． 【解析】直线过、两点，可求、两点坐标，把，分别代入，可得解析式．
抛物线与轴交于点，即，可得点的横坐标，由相似三角形的判定得：∽．
设点的坐标为，则点的坐标为，由坐标得，当时，线段的长度最大，此时，点的坐标为，即点和点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，此时最小，连接交直线于点，则，由勾股定理得，根据，即可求解．
本题考查二次函数的应用，解本题的关键熟练掌握数形结合思想、二次函数的性质、对称性、相似三角形的判定等．