2023年广东省广州市荔湾区真光实验中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省广州市荔湾区真光实验中学中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1.  中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列命题正确的是(    )

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形

6.  如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

下列结论不正确的是(    )

A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线与轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为

9.  如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如果式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  因式分解：        ．

13.  如图，在直径的中，弦于，且是半径的中点，则弦的长是______结果保留根号．

14.  某滑雪场用无人机测量雪道长度如图，通过无人机的镜头测一段水平雪道一端处的俯角为，另一端处的俯角为，若无人机镜头处的高度为米，点，，在同一直线上，则雪道的长度为           米结果保留整数，参考数据，，
 

15.  如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

16.  如图，在矩形中，，，点，分别是边，的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为在这一运动过程中，点所经过的路径长是          ．
 

17.  解方程组：．

18.  如图，在▱中，，，，分别是，，，上的点，且，求证：．

19.  已知，则代数式 ______ ．

20.  某校在七、八年级进行了“学党史”知识竞赛百分制，并从七、八年级中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，整理如下：
七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，；
八年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中 ______ ， ______ ， ______ ；
这次比赛中______ 年级的成绩更稳定；
我校七年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛成绩优秀的七年级学生有多少人？

21.  如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、．
求，，的值；
求的面积；
作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．

22.  近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

23.  如图，已知中，；以为直径作，与边相切于点，交边于点，为中点，连接．
求证：是的切线；
尺规作图：点是线段上一动点，当最小时，请在图中画出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，，求出的长度．

24.  已知直线：交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过、两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
求二次函数的表达式；
直线：与抛物线交于、两点，求面积的最小值；
为线段上不与端点重合的点，直线：过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．

25.  已知，如图，在矩形中，，，点是边上的动点，把点绕着点逆时针旋转得到点，连接、、、．
当点、、三点在同一条直线上时，求的长；
如图，点在的延长线上，且，连接，当点在上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
如图，在点由向运动的过程中，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知：，所以：
A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用数轴上，的位置进行比较得出答案．
此题主要考查了实数与数轴，正确应用数形结合是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
移项，得．
故选：．
根据不等式的计算方法计算即可．
本题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法，细心计算即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，
不能进行合并计算，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
选项C符合题意；
选项D不符合题意；
故选：．
运用合并同类项、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算方法进行逐一计算辨别．
此题考查了整式加减、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除的计算能力，关键是能准确理解以上运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
C、一个角为且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆的半径为，则圆的面积为：，正方形面积为：，
故随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率为：．
故选：．
直接表示出各部分面积，进而得出落在阴影部分的概率．
此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的长，
故选：．
根据矩形的性质和三角函数的定义得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，矩形的性质，熟练正确弧长公式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由表格可得，
，
解得，
，
该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意，
当时，，
当时，，故选项C错误，符合题意；
函数的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
 

9.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形是菱形，
，
菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
与、与关于原点对称，
、经过点，
，
，
，
作轴于，轴于，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
连接、，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出，，解直角三角形求得，作轴于，轴于，证得∽，得到，根据反比例函数系数的几何意义即可求得结果．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接；
中，，，
由勾股定理得：；
．
连接，在构建的中，由勾股定理可求出的值；由垂径定理知：，由此得解．
此题主要考查了勾股定理及垂径定理的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
在中，，
米，
在中，，
则米，
则米，
答：两点间的距离约为米．
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
 

15.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图中，连接交于点，连接首先求出，利用勾股定理求出由，推出点在以为直径的上运动，当点与点重合时，如图中，连接，，点的运动轨迹是求出，再利用弧长公式求解．
【解答】
解：如图中，连接交于点，连接．

四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，
点在以为直径的上运动，
当点与点重合时，如图中，连接，，点的运动轨迹是．

此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长
故答案为：  

17.【答案】解：，
得，，
；
把代入得，，
；
原方程组的解为． 

【解析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，即，
原式．
故答案为：．
原式利用完全平方公式及平方差公式化简，整理后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】      八 

【解析】解：，
将七年级抽样成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
中位为分，
七年级的成绩出现次数最多是分，共出现次，
众数分，
故答案为：，，；

七年级的方差是，八年级的方差是，
八年级的成绩更稳定．
故答案为：八．

由题意得：人，
答：估计参加此次竞赛成绩优秀的七年级学生有人．
根据平均数、众数和中位数的定义进行求解即可；
根据方差的意义即可得出答案；
用总人数乘以竞赛成绩优秀的七年级学生所占的百分比即可．
此题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．
 

21.【答案】解：双曲线过点，
，
又直线过点、，
，
解得，，
答：，，；
由可得反比例函数的关系式为，
直线的关系式为，
当时，，解得，即，
，
由点可得，
，


；
设直线的关系式为，，代入得，
，，
，，
直线的关系式为，
设平移后的关系式为，由于平移后与有唯一公共点，
即方程有唯一解，
也就是关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，舍去，
，
答：的值为． 

【解析】根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出、、的值；
根据点的坐标得出三角形的底和高，利用三角形的面积公式进行计算即可；
求出直线的函数关系式，设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
即，
半径，
是的切线；

解：如图：

过作的垂线，交于，交于；
连接，与交于点；
此时的即为使最小的点；

解：是的切线，
，
又，，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
故C的长度为． 

【解析】连接，根据角的关系证即可得证；
过作的垂线，交于，交于；连接，与交于点；即可确定点的位置；
利用特殊角三角函数和勾股定理分别求出，，的长度，再证∽，根据线段比例关系即可求出的长度．
本题主要考查圆的综合知识，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练应用相似三角形得出线段比例关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：由知，点、的坐标分别为、，
，则点或，
对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
即时，随的增大而增大，
当点为时，抛物线的对称轴为：，
当时，随的增大而减小，与题设矛盾，
故点，
则抛物线的表达式为：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；

设点、的横坐标为，，
联立和并整理得：
，
则，，
则，
，故有最小值，当时，的最小值为：；
，
即上述函数过点，设该点为，

则面积，
故面积的最小值为；

由函数的表达式知，，

设，则，
则∽，
则，
而，
则与面积之和，
故与面积之和的最小值为：． 

【解析】对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有即时，随的增大而增大，当点为时，抛物线的对称性为，当时，随的增大而减小，与题设矛盾，故点，进而求解；
求出，进而求解；
由，得到与面积之和，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 

25.【答案】解：连接，

在中，，，
，
，
点绕着点逆时针旋转得到点，
，
点、、三点在同一条直线上，
点与点重合，
，
为中点，
；

不变．
理由如下：

过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
点绕着点逆时针旋转得到点，
，，
，
又，
，
，
，
≌，
，
，
，
；

以为边向右侧作等边，连接，

为等边三角形，
，，
又，，
，
≌，
，
当在或时，有最大值为，
当在中点时，有最小值为，
的取值范围是． 

【解析】连接，由直角三角形的性质得出，得出点与点重合，求出，由矩形的性质可得出答案；
过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，由三角形面积公式可得出答案；
以为边向右侧作等边，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，由的最大值及最小值可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．